Дифференциаль иҫәпләмә

Дифференциаль иҫәпләмә — математик анализдың сығарылма һәм дифференциал төшөнсәләре һәм уларҙы функцияларҙы тикшереү өсөн ҡулланыу ысулдары өйрәнелгән бүлеге. Дифференциаль иҫәпләмәнең төҙөлөүе Исаак Ньютон һәм Готфрид Лейбниц исемдәре менән бәйле. Тап улар төп ҡағиҙәләрҙе аныҡ әйтеп бирәләр һәм дифференциаллау һәм интеграллауҙың үҙ-ара кире характерын билдәләйҙәр. Дифференциаль иҫәпләмәне төҙөү (интеграль иҫәпләмә менән бергә) математика үҫешендә яңы осор асты. Бының менән рәттәр теорияһы, дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы һәм башҡалар кеүек күп фәндәр бәйле. Математик анализ ысулдары математиканың бөтә бүлектәрендә лә ҡулланыу таптылар. Математиканы тәбиғәт фәндәрендә һәм техникала ҡулланыу өлкәһе киң тарала.

Дифференциаль иҫәпләмә математиканың, билдәләмәһе һәм өйрәнеүе математик анализға инеш темаһын тәшкил иткән шундай мөһим төшөнсәләргә нигеҙләнә: ысын һандар (һанлы тура һыҙыҡ), функция, сик, өҙлөкһөҙлөк. Бөтә был төшөнсәләр дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләрҙең үҫеше һәм нығыныуы барышында хәҙергесә аңлатыу алдылар.

Дифференциаль иҫәпләмәнең төп идеяһы функцияны бәләкәйҙә өйрәнеүҙән тора. Анығыраҡ әйткәндә дифференциаль иҫәпләмә, һәр нөктәһенең етерлек бәләкәй эргә-яғында үҙ-үҙен тотошо һыҙыҡлы функцияның йәки күпбыуындың үҙ-үҙен тотошона яҡын булған функцияларҙы өйрәнеү өсөн аппарат бирә. Шундай аппарат булып дифференциаль иҫәпләмәнең үҙәк төшөнсәләре тора: сығарылма һәм дифференциал.

Бер үҙгәреүсәнле функцияларҙың дифференциаль иҫәпләмәһе

Сығарылма

$g(h)$ функцияһы $h=0$ эргә-яғында бирелһен ти һәм теләһә ниндәй $\epsilon$ > 0 өсөн шундай $\delta$ табылһын, бында

$|h|<\delta$ булыу менән $|g(h)/h^{n}|<\epsilon ,$

ул саҡта $g(h)$ — $o(h^{n})$ тәртиптәге сикһеҙ бәләкәй тип әйтәләр.

$f(x)$ — $(a,b)$ киҫегендә бирелгән ысын ҡиммәтле функция булһын ти. Был функцияны, әгәр теләһә ниндәй $x\in (a,b)$ һәм теләһә ниндәй $n$ өсөн

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(x)h^{n}+o(h^{n})$ булһа, $(a,b)$ интервалында сикһеҙ дифференциалланыусы тип атайҙар.

Шулай итеп, локаль, киҫектең теләһә ниндәй нөктәһенең эргә-яғында функция күпбыуын менән теләһә күпме яҡшы яҡыная. $(a,b)$ киҫегендә шыма функциялар $C^{\infty }(a,b)$ шыма функциялар ҡулсаһын төҙөй.

$f^{(n)}(x)$ коэффициенттары

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(m+n)}(x)h^{n}+o(h^{n})$

Был функцияларҙы $f(x)$ функцияһының сығарылмаһы тип атайҙар. Беренсе сығарылма сикләнмә һымаҡ иҫәпләнергә мөмкин.

$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

$f(x)$ функцияһына уның $f'(x)$ сығарылмаһын ярашлы ҡуйған операторҙы

$D={\frac {d}{dx}}$ тип тамғалайҙар.

Шуның менән бергә ике шыма f һәм g функциялары өсөн

$D(f+g)=Df+Dg$ һәм $D(fg)=fDg+gDf$ дөрөҫ.

Ошондай үҙсәнлектәргә эйә булған операторҙы шыма функциялар ҡулсаһын дифференциаллау тип атайҙар.

$(a,b)$ киҫегендә голоморфлы һәр аналитик функция шыма функция була, ләкин киреһе дөрөҫ түгел. Аналитик һәм шыма функцияларҙың төп айырмаһы шунда, беренселәре тулыһынса бер нөктәнең эргә-яғындағы үҙ-үҙен тотошо менән билдәләнәләр, икенселәре — юҡ. Мәҫәлән, шыма функция бер нөктәнең эргә-яғында даими булырға мөмкин, ләкин бөтә ерҙә даими булмаҫҡа мөмкин. Элементар функциялар үҙҙәренең (асыҡ) билдәләнеү өлкәһендә аналитик булалар, тимәк, шыма функция ла булалар. Ләкин, аналитик функцияларҙан айырмалы рәүештә, шыма функциялар төрлө интервалдарҙа төрлө элементар аңлатмалар менән бирелергә мөмкиндәр.

Тейеүсе тура һыҙыҡ

Функцияның графигы (ҡара кәкре һыҙыҡ) һәм тейеүсе тура һыҙыҡ (ҡыҙыл тура һыҙыҡ)

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$ тура һыҙығы

$y=f(x)$ кәкре һыҙығын

$(c,f(c))$ нөктәһендә шулай итеп киҫеп үтә, бында

$f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)={\frac {1}{2}}f''(c)(x-c)^{2}+o((x-c)^{2})$ аңлатмаһының тамғаһы

$f''(c)\not =0$ шарты үтәлгәндә һәр ваҡыт бер үк ҡала, шуға күрә лә

$y=f(x)$ кәкре һыҙығы

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$ тура һыҙығынан бер яҡта ята.

Күрһәтелгән үҙсәнлеккә эйә булған тура һыҙыҡты кәкре һыҙыҡҡа $x=c$ нөктәһендә тейеүсе тура һыҙыҡ тип атайҙар (Б. Кавальери буйынса).

$y=f(x)$ кәкре һыҙығының

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$ тура һыҙығынан бер яҡта ятмаған $x=c$ нөктәһен бөгөлөү нөктәһе тип атайҙар, шуның менән бергә тура һыҙыҡты барыбер тейеүсе тура һыҙыҡ тип атайҙар. Бер төрлөлөк өсөн тейеүсе тура һыҙыҡ төшөнсәһенең үҙен, ике осраҡ та уға тап килһен өсөн, икенсе төрлө индерәләр.

Экстремум нөктәләре

$x=c$ нөктәһе Локаль максимум (минимум) нөктәһе тип атала, әгәр бөтә модуле буйынса етерлек бәләкәй $h$ өсөн

$f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)$ булһа.

$f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0$ нисбәтенән шунда уҡ $f'(c)=0$ — максимумдың кәрәкле шарты, ә $f''(c)<0$ — максимумдың етерлек шарты икәне күренә. $f''(c)=0$ шарты максимум, минимум һәм бөгөлөү нөктәләрен айыра.

Өҙлөкһөҙ функциялар

$f$ функцияһы $[a,b]$ интервалының остарында ла бирелһен, ти; $f$ функцияһы $[a,b]$ киҫегендә өҙлөкһөҙ тип әйтәләр, әгәр теләһә ниндәй $\epsilon$ өсөн шундай $\delta$ табылһа, бында

$|h|<\delta$ шарты үтәлеү менән $|f(x)-f(x+h)|<\epsilon$ булһа,

һәм $x,\,x+h$ нөктәләре $[a,b]$ интервалы тышына сыҡмаһа. Вейерштрасс теоремаһы, киҫектә шыма функция был киҫектә үҙенең минималь һәм максималь ҡиммәттәрен ҡабул итә тип раҫлай. Функцияның өҙлөкһөҙлөк төшөнсәһе ғәҙәттә функцияның сикләмәһе төшөнсәһе менән бәйләнә. $[a,b]$ интервалында өҙлөкһөҙ функциялар $C[a,b]$ өҙлөкһөҙ функциялар ҡулсаһын төҙөй.

Тарихы

XII быуатта Хулагу төрөк-монгол дәүләтенең математигы Шәрәфетдин ат-Туси, дифференциаль иҫәпләмәлә мөһим һөҙөмтә булған куб функцияһының сығарылмаһын беренсе булып таба. «Трактат об уравнениях» хеҙмәтен яҙа, унда ыңғай сығарылышы булмаған куб тигеҙләмәләрҙе сығарыу өсөн, дифференциаль иҫәпләмә менән бәйле, функцияның сығарылмаһы һәм кәкре һыҙыҡтың максимумдары һәм минимумдары кеүек концепция эшләй.

Дифференциаль иҫәпләмәнең төп теоремалары

$[a,b]$ киҫегендә өҙлөкһөҙ һәм $(a,b)$ интервалында шыма функциялар ҡулсаһы бер нисә мөһим үҙсәнлеккә эйә:

• Ролль теоремаһы: $f(a)=f(b)$ булһа, ул саҡта $c\in (a,b)$ максимум йәки минимум нөктәһе бар, унда $f'$ нулгә әйләнә.
• Лагранж теоремаһы: шундай $c\in (a,b)$ нөктәһе бар, уның өсөн

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$ үтәлә.

• Коши теоремаһы: әгәр $(a,b)$ интервалында $g'\not =0$ булһа, ул саҡта шундай $c\in (a,b)$ нөктәһе бар, уның өсөн

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Лагранж теоремаһынан Лагранж формаһында ҡалдыҡ быуын менән Тейлор формулаһын сығаралар: теләһә ниндәй $(a',b')\subset (a,b)$ киҫегендә шундай $c_{n}$ нөктәләре бар, бында

$f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a')^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}$

бында

$R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c_{n})(b'-a')^{n+1}$

Был формула ярҙамында, функцияның һәм уның сығарылмаларының $a'$ нөктәһендәге билдәле ҡиммәттәре буйынса, функцияның $b'$ нөктәһендәге ҡиммәтен яҡынса иҫәпләргә мөмкин.

Коши теоремаһынан Лопиталь ҡағиҙәһен сығаралар: әгәр $f(b)=g(b)=0$ йәки $f(b)=g(b)=\infty$, һәм $(a,b)$ интервалында $g'\not =0$ булһа, ул саҡта

$\lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},$

шулай уҡ икенсе сикләнмәнең булыуы беренсеһенең булыуын килтереп сығара.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Вариацион иҫәпләмә
• Күп үҙгәреүсәнле функциялар анализы
• Интеграль иҫәпләмә
• Тарихи очерк һәм библиографияны Математик анализ мәҡәләһендә ҡарағыҙ.
• Коммутатив алгебралар өҫтөндә дифференциаль иҫәпләмә

Әҙәбиәт

• Граве Д. А.,. Дифференциальное исчисление // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)
• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. Москва: Советская энциклопедия, 1977 г.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 год.