Пи (һан)

Түңәрәк диаметры бергә тигеҙ тип иҫәпләнгән осраҡта түңәрәктең оҙонлоғо «пи» һаны була.

$\pi~$ («пи» тип әйтелә) — түңәрәк оҙонлоғоноң түңәрәк диаметрына сағыштырмаһына тигеҙ булған математик константа. Греф алфавитындағы «пи» хәрефе менән билдәләнә. Элекке исеме — лудольф һаны.

Трансцендентлыҡ һәм иррационаллек

• $\pi$ — иррациональ һан, йәғни уны теүәл итеп, m/n кәсере рәүешендә күрһәтеп булмай, m һәм n бөтөн һандар булғанда.
• $\pi$ — трансцендент һан, йәғни ул бөтөн коэффициентлы күпбыуындың тамыры була алмай.

Нисбәттәр

$\pi$ һаны менән бәйләнгән формулалар бар:

• Франсуа Виет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots$

• Валлис формулаһы:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

• Лейбниц рәте:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

• Эйлер берҙәйлеге:

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

• «Пуассон интегралы» йәки «Гаусс интегралы»

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

• Интеграль синус:

$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi$