Кошиҙың интеграль формулаһы

Кошиҙың интеграль формулаһы — комплекслы үҙгәреүсәнле голоморфлы функциялар өсөн, функцияның нөктәләге ҡиммәтен уның нөктәне уратып алған контурҙағы ҡиммәттәре менән бәйләүсе бәйләнеш.

Был формула комплекслы анализдың иң мөһим үҙенсәлектәренең береһен сағылдыра: өлкәнең сиктәрендәге ҡиммәттәрен белгән хәлдә, өлкәнең эске теләһә ниндәй нөктәһендәге ҡиммәтен табырға була.

Формулировкаһы

$D$ — комплекслы яҫылыҡта $\Gamma =\partial D$ өлөшлө-шыма сиге булған өлкә булһын, $f(z)$ ${\overline {D}}$-ла голоморфлы функция, һәм $z_{0}$ — $D$ өлкәһенең эске нөктәһе. Ул саҡта Кошиҙың ошондай формулаһы дөрөҫ:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.$

Формула шулай уҡ, $f(z)$ $D$-ның эсендә голоморфлы һәм замыканиелә өҙлөкһөҙ, шулай уҡ $D$-ның сиге өлөшлө-шыма түгел, ә бары тик турайтылмалы тип фараз иткәндә лә дөрөҫ.

Иҫбатлау

Етерлек бәләкәй ρ радиуслы, үҙәге z₀ нөктәһендә булған S_ρ әйләнәһен ҡарайыҡ. Γ контурҙары һәм S_ρ менән сикләнгән (йәғни $D$ өлкәһенең S_ρ әйләнәһенең эске нөктәләренән башҡа нөктәләренән торған) өлкәлә, интеграл аҫты функцияһының үҙенсәлектәре юҡ, һәм Кошиҙың интеграль формулаһы буйынса был өлкәнең сиге буйлап уның интегралы нулгә тигеҙ. Был, ρ-ға бәйһеҙ рәүештә түбәндәге тигеҙлек дөрөҫ тигәнде аңлата

$\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.$

$S_{\rho }$ буйынса интегралдарҙы иҫәпләү өсөн $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\varphi \in [0;2\pi ]$ параметрлауын ҡулланабыҙ.

Иң тәүҙә $f(z)=1$ осрағы өсөн айырым Коши формулаһын иҫбатлайбыҙ:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =1.$

Уны дөйөм осраҡты иҫбатлау өсөн ҡулланабыҙ:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz.$

$f(z)$ функцияһы $z_{0}$ нөктәһендә комплекслы дифференциалланыусы булғанлыҡтан,

${\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).$

$f'(z_{0})$-тың интегралы нулгә тигеҙ:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.$

$o(1)$ быуынының интегралын $\rho \to 0$ мөмкин тиклем бәләкәй итергә була. Ләкин ул $\rho$-ға бөтөнләй бәйле түгел, тимәк ул нулгә тигеҙ. Нәтижәлә табабыҙ

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz=0.$

Эҙемтәләр

Коши формулаһының төрлө күп эҙемтәләре бар. Ул — бөтә комплекслы анализдың төп теоремаһы. Бына уның эҙемтәләренең бер нисәһе:

Голоморфлы функцияларҙың аналитик булыуы

$f(z)$ функцияһы голоморфлы булған өлкәнең теләһә ниндәй $z_{0}$ нөктәһенең эргә-яғында, ул дәрәжәле рәттең суммаһы менән тап килә:

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$,

шуның менән бергә уның йыйылыусанлыҡ радиусы, $f(z)$ функцияһы голоморфлы булған, үҙәге $z_{0}$ нөктәһендә булған түңәрәктең радиусынан кәм түгел, ә $c_{n}$ коэффициенттарын интеграль формулалар буйынса иҫәпләргә мөмкин:

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz$.

Был формулаларҙан, ${|z-z_{0}|<r}$ түңәрәгендә голоморфлы функцияларҙың $c_{n}$ коэффициенттары өсөн Коши тигеҙһеҙлеге килеп сыға:

$c_{n}\leq r^{-n}M(r)$,

бында $M(r)$ — $f(z)$ функцияһы модуленең ${|z-z_{0}|=r}$ әйләнәһендә максимумы, ә уларҙан — сикле бөтөн аналитик функциялар тураһында Лиувилль теоремаһы килеп сыға: әгәр функция бөтә комплекслы яҫылыҡта голоморфлы һәм сикле булһа, ул константа.

Бынан тыш, коэффициенттар өсөн формулаларҙы нулдән айырмалы радиуслы йыйылыусан дәрәжәле рәттең суммаһының голоморфлығы тураһында теорема һәм дәрәжәле рәттең коэффициенттарын уның суммаһының сығарылмаһы аша күрһәтеүсе формула менән бәйләп

$c_{n}={{f^{(n)}(z_{0})} \over n!}$

$f(z)$ функцияһының сығарылмаларының интеграль күрһәтмәһе килеп сыға:

$f^{(n)}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.$

Коши тигеҙһеҙлегенә оҡшаш рәүештә, сығарылмаларҙың баһаһы, сикләнгән $D$ өлкәһендә голоморфлы функциялар ғаиләһенең, әгәр был ғаилә $D$-ла тигеҙ сикләнгән булһа, тигеҙ дәрәжәле өҙлөкһөҙлөгө тураһында теореманы килтереп сығара. Арцел-Асколи теоремаһы менән бергә, функцияларҙың компактлы ғаиләһе тураһында Монтель теоремаһы килеп сыға: сикле $D$ өлкәһендә голоморфлы функцияларҙың теләһә ниндәй тигеҙ сикле ғаиләһенән, $D$-ла ниндәйҙер голоморфлы функцияға тигеҙ йыйылған функциялар эҙмә-эҙлелеген айырып алырға мөмкин.

Голоморфлы функцияларҙың ҡулса өлкәләрҙә Лоран рәте рәүешендә күрһәтелеүе

Әгәр $f(z)$ функцияһы $\{r<|z-z_{0}|<R\}$ күренешендәге $D$ өлкәһендә голоморфлы булһа, ул был өлкәлә Лоран рәте суммаһы итеп күрһәтелә:

$f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$,

өҫтәүенә $c_{n}$ коэффициенттары интеграль формулалар буйынса иҫәпләп сығарылырға мөмкиндәр:

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz$,

ә Лоран рәте үҙе $D$-ла $D$-нан һәр компактта $f(z)$ функцияһына тигеҙ йыйыла.

$c_{-1}$ коэффициенты өсөн формула йыш ҡына, алгебраик ысулдарҙы һәм вычеттар теорияһын ҡулланып, $f(z)$ функцияһынан төрлө контурҙар буйынса интегралдарҙы иҫәпләү өсөн ҡулланыла.

Шулай уҡ Лоран рәте терминдарында голоморфлы функцияларҙың айырылған махсус нөктәләрен классификациялау башҡарыла.

Голоморфлы функциялар өсөн урта тураһында теорема

Әгәр $f(z)$ функцияһы $\{|z-z_{0}|<R\}$ түңәрәгендә голоморфлы булһа, ул саҡта һәр $r\,(0<r<R)$ өсөн

$f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\,d\varphi$

шулай уҡ әгәр $B_{r}$ — радиусы $r$ һәм үҙәге $z_{0}$ нөктәһендә булған түңәрәк булһа, ул саҡта

$f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy$

Урта тураһында теоремаларҙан голоморфлы функциялар өсөн модулдең максимум принцибы килеп сыға: әгәр $f(z)$ функцияһы $D$ өлкәһендә голоморфлы һәм $D$ эсендә уның модуленең локаль максимумы булһа, ул саҡта был функция константа.

Модулдең максимум принцибынан голоморфлы функцияларҙың ысын һәм уйланма өлөштәре өсөн максимум принцибы килеп сыға: әгәр $f(z)$ функцияһы $D$ өлкәһендә голоморфлы һәм $D$ эсендә уның ысын йәки уйланма өлөшөнөң локаль максимумы йәки минимумы булһа, ул саҡта был функция константа.

Берҙән-берлек тураһында теоремалар

Модулдең максимум принцибынан һәм голоморфлы функцияларҙың дәрәжәле рәт рәүешендә күрһәтелеүсәнлегенән тағы ла өс мөһим һөҙөмтә килеп сыға:

• Шварц леммаһы: әгәр $f(z)$ функцияһы ${|z|<1}$ түңәрәгендә голоморфлы, $f(0)=0$ һәм был түңәрәктән бөтә $z$ нөктәләре өсөн $|f(z)|\leq 1$ булһа, ул саҡта был түңәрәктә һәр ерҙә $|f(z)|\leq |z|$,
• дәрәжәле рәттәр өсөн берҙән берлек теоремаһы: $z_{0}$ нөктәһендә бер төрлө Тейлор рәте булған голоморфлы функциялар, был нөктәнең ниндәйҙер эргә-яғында тап киләләр,
• голоморфлы функцияның нулдәре тураһында теорема: әгәр $D$ өлкәһендә голоморфлы $f(z)$ функцияһының нулдәренең $D$ эсендә сикләнмә нөктәһе булһа, ул саҡта $f(z)$ функцияһы $D$-ла бөтә ерҙә нулгә тигеҙ.

Һылтанмалар

• Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (инг.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Әҙәбиәт

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.