Тигеҙһеҙлек: өлгөләр араһындағы айырма

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
"'''Тигеҙһеҙлек''' математикала — ике һанды йәки башҡа Математик объект|мате…" исемле яңы бит булдырылған
 
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
2 юл: 2 юл:


; Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
; Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
* <math>a < b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''бәләкәй'' тигәнде аңлата.
* <math>a < b</math> — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй'' тигәнде аңлата.
* <math>a > b </math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''ҙурыраҡ'' тигәнде аңлата.
* <math>a > b </math> — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙурыраҡ'' тигәнде аңлата.
<math>a > b </math> һәм <math>b < a</math> тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. <math>></math> һәм <math><</math> тамғалары '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе <math><</math> тамғаһы <math>></math> тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.
<math>a > b </math> һәм <math>b < a</math> тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. <math>></math> һәм <math><</math> тамғалары '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе <math><</math> тамғаһы <math>></math> тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.


; Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
; Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
* <math>a \leqslant b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''бәләкәй йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \leqslant b</math> — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''бәләкәй йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \geqslant b</math> — <math>a</math> <math>b.</math>-нан ''ҙур йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
* <math>a \geqslant b</math> — <math>a</math> <math>b</math>-нан ''ҙур йәки тигеҙ'' тигәнде аңлата
<math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә <math>\le</math> һәм <math>\ge</math> тамғаларын ҡулланалар. <math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғалары тураһында шулай уҡ улар '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр.
<math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә <math>\le</math> һәм <math>\ge</math> тамғаларын ҡулланалар. <math>\leqslant</math> һәм <math>\geqslant</math> тамғалары тураһында шулай уҡ улар '''ҡапма-ҡаршы''' тип әйтәләр.


; Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
; Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
* <math>a \neq b </math> — <math>a</math> <math>b</math>-ға ''тигеҙ түгел'' тигәнде аңлата.
* <math>a \neq b </math> — <math>a</math> <math>b</math>-ға ''тигеҙ түгел'' тигәнде аңлата.
* <math>a \gg b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b.</math>-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
* <math>a \gg b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
* <math>a \ll b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b.</math>-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.
* <math>a \ll b</math> — <math>a</math> дәүмәле <math>b</math>-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.


Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.
Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.


[[Элементар математика]]ла һанлы тигеҙһеҙлектәрҙе өйрәнәләр. [[Дөйөм алгебра]]ла, [[Анализ (математика бүлеге)|анализда]], [[Геометрия|геометрияла]] һан булмаған объекттар араһындағы тигеҙһеҙлектәрҙе лә ҡарайҙар.
В [[Элементарная математика|элементарной математике]] изучают числовые неравенства. В [[Общая алгебра|общей алгебре]], [[Анализ (раздел математики)|анализе]], [[Геометрия|геометрии]] рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.


== Бәйле билдәләмәләр ==
== Связанные определения ==
Бер үк тамғалы тигеҙһеҙлектәр '''бер исемлеләр''' тип аталалар (ҡайһы берҙә «бер мәғәнәле» йәки «бер төрлө мәғәнәле» терминдары ҡулланыла).
Неравенства с одинаковыми знаками называются '''одноимёнными''' (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).


Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
: <math>a<b<c</math> — это краткая запись пары неравенств: <math>a<b</math> и <math>b<c.</math>
: <math>a<b<c</math> — <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.


== Һанлы тигеҙһеҙлектәр ==
== Числовые неравенства ==
Һанлы тигеҙһеҙлектәр [[ысын һандар]]ҙан торалар ([[Комплекслы һан]]дар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ <math>(x,y,\dots).</math> үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, ([[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләр]] кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, <math>18x < 414</math> тигеҙһеҙлеге — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> тигеҙһеҙлеге — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, <math>2^x > x+4 </math> тигеҙһеҙлеге— трансцендент{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.
Числовые неравенства содержат [[вещественные числа]] (для [[Комплексное число|комплексных чисел]] сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных <math>(x,y,\dots).</math> Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично [[Уравнение|уравнениям]]) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство <math>18x < 414</math> — алгебраическое первой степени, неравенство <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> — алгебраическое третьей степени, неравенство <math>2^x > x+4 </math> — трансцендентное{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.


=== Свойства ===
=== Үҙсәнлектәре ===
Һанлы тигеҙһеҙлектәрҙең үҙсәнлектәре ҡайһы бер яҡтан [[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләрҙең]] үҙсәнлектәренә яҡын<ref name=ME/>:
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам [[Уравнение|уравнений]]<ref name=ME/>:
* Тигеҙһеҙлектең ике яғына ла бер үк һанды ҡушырға мөмкин.
* К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
* Тигеҙһеҙлектең ике яғынан да бер үк һанды алырға мөмкин. Эҙемтә: тигеҙләмәләге кеүек, тигеҙһеҙлектең теләһә ниндәй быуынын ҡапма-ҡаршы тамғаһы менән тигеҙһеҙлектең икенсе яғына сығарырға мөмкин. Мәҫәлән, <math>a+b<c</math> тигеҙһеҙлегенән, <math>a<c-b</math> тигеҙһеҙлеге килеп сыға.
* От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из <math>a+b<c</math> следует, что <math>a<c-b.</math>
* Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''ыңғай'' һанға ҡабатларға мөмкин.
* Обе части неравенства можно умножить на одно и то же ''положительное'' число.
* Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, <math>a<b</math> һәм <math>c<d</math> булһа, ул саҡта <math>a+b<c+d.</math> ''Ҡапма-ҡаршы тамғалы'' тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
* Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, <math>a<b</math> и <math>c<d,</math> то <math>a+b<c+d.</math> Неравенства ''с противоположными знаками'' можно аналогично почленно вычитать.
* Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
* Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса [[логарифм]]ларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
* Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также [[логарифм]]ировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).


; Башҡа үҙсәнлектәре:
; Другие свойства:
* (Транзитивность) Если <math>a<b</math> и <math>b<c,</math> то <math>a<c</math> и аналогично для прочих знаков.
* (Транзитивлыҡ) Әгәр <math>a<b</math> һәм <math>b<c</math> булһа, ул саҡта <math>a<c</math> һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
* Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ''тиҫкәре'' һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ''ҙурыраҡ'' ''бәләкәйерәк''кә, ''ҙур йәки тигеҙ'' ''бәләкәй йәки тигеҙ''гә һ. б.
* Если обе части неравенства умножить на одно и то же ''отрицательное'' число, то знак неравенства изменится на противоположный: ''больше'' на ''меньше'', ''больше или равно'' на ''меньше или равно'' и т. д.


=== Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу ===
=== Решение неравенств ===
Әгәр тигеҙһеҙлеккә билдәһеҙ дәүмәл символы инһә, ул саҡта тигеҙһеҙлекте сығарыу, билдәһеҙҙең ниндәй ҡиммәттәрендә тигеҙһеҙлек үтәлә тигән һорауҙы асыҡлауҙы аңлата. Миҫалдар:
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
: <math>x^2<4</math> выполняется при <math>-2<x<2.</math>
: <math>x^2<4</math> <math>-2<x<2</math> булғанда үтәлә.
: <math>x^2>4</math> выполняется, если либо <math>x>2,</math> либо <math>x<-2.</math>
: <math>x^2>4</math> тигеҙһеҙлеге <math>x>2,</math> йәки <math>x<-2</math> булғанда үтәлә.
: <math>x^2<-4</math> не выполняется никогда (решений нет).
: <math>x^2<-4</math> тигеҙһеҙлеге бер ҡасан да үтәлмәй (сығарылышы юҡ).
: <math>x^2>-4</math> выполняется при всех <math>x</math> ([[Тождество (математика)|тождество]]).
: <math>x^2>-4</math> тигеҙһеҙлеге <math>x</math>-тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә ([[Тождество (математика)|тождество]]).


'''Иғтибар''': әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр <math>x>3</math> тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: <math>x^2>9,</math>, килеп сыҡҡан <math>x<-3,</math> хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.
'''Внимание''': если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство <math>x>3</math> возвести в квадрат: <math>x^2>9,</math> то появится ошибочное решение <math>x<-3,</math> не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.


==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
==== Неравенства первой степени ====
Неравенство первой степени имеет общий формат: <math>ax>b</math> или <math>ax<b,</math> где <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на <math>a</math> и, если <math>a<0,</math> измените знак неравенства на противоположный{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=178}}. Пример:
Неравенство первой степени имеет общий формат: <math>ax>b</math> или <math>ax<b,</math> где <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на <math>a</math> и, если <math>a<0,</math> измените знак неравенства на противоположный{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=178}}. Пример:
: <math>5x-11>8x+1.</math> Приведём подобные члены: <math>-3x>12,</math> или <math>x<-4.</math>
: <math>5x-11>8x+1.</math> Приведём подобные члены: <math>-3x>12,</math> или <math>x<-4.</math>
97 юл: 97 юл:
: См. следствия этого неравенства в статье [[Абсолютная величина]].
: См. следствия этого неравенства в статье [[Абсолютная величина]].


== Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары ==
== Знаки неравенства в языках программирования ==
«Тигеҙ түгел» символы төрлө [[программалау телдәре]]ндә төрлөсә һүрәтләнә.
Символ «не равно» в разных [[Язык программирования|языках программирования]] изображается по-разному.


{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
|- style="background-color:#BBCCFF"
! Символ
! Символ
! Телдәр
! Языки
|---- style="text-align:center"
|---- style="text-align:center"
| !=
| !=
121 юл: 121 юл:
|}
|}


== Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары ==
== Коды знаков неравенств ==
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="1" style="border-collapse:collapse;"
|- style="background-color:#BBCCFF"
|- style="background-color:#BBCCFF"
! rowspan=2 | Символ
! rowspan=2 | Символ
! rowspan=2 | Изображение
! rowspan=2 | Һүрәтләнеше
! colspan=2 | Юникод
! colspan=2 | Юникод
! rowspan=2 | Русское название
! rowspan=2 | Урыҫса исеме
! colspan=3 | HTML
! colspan=3 | HTML
! rowspan=2 | LaTeX
! rowspan=2 | LaTeX
141 юл: 141 юл:
| U+003C
| U+003C
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than sign}}
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than sign}}
| style="text-align:left" | Меньше
| style="text-align:left" | Бәләкәй
| &amp;#x3C;
| &amp;#x3C;
| &amp;#60;
| &amp;#60;
151 юл: 151 юл:
| U+003E
| U+003E
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than sign}}
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than sign}}
| style="text-align:left" | Больше
| style="text-align:left" | Ҙур
| &amp;#x3E;
| &amp;#x3E;
| &amp;#62;
| &amp;#62;
161 юл: 161 юл:
| U+2A7D
| U+2A7D
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | Меньше либо равно
| style="text-align:left" | Бәләкәй йәки тигеҙ
| &amp;#x2A7D;
| &amp;#x2A7D;
| &amp;#10877;
| &amp;#10877;
171 юл: 171 юл:
| U+2A7E
| U+2A7E
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or slanted equal to}}
| style="text-align:left" | Больше либо равно
| style="text-align:left" | Ҙур йәки тигеҙ
| &amp;#x2A7E;
| &amp;#x2A7E;
| &amp;#10878;
| &amp;#10878;
181 юл: 181 юл:
| U+2264
| U+2264
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or equal to}}
| style="text-align:left" | {{sc|Less-than or equal to}}
| style="text-align:left" | Меньше либо равно
| style="text-align:left" | Бәләкәй йәки тигеҙ
| &amp;#x2264;
| &amp;#x2264;
| &amp;#8804;
| &amp;#8804;
191 юл: 191 юл:
| U+2265
| U+2265
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or equal to}}
| style="text-align:left" | {{sc|Greater-than or equal to}}
| style="text-align:left" | Больше либо равно
| style="text-align:left" | Ҙур йәки тигеҙ
| &amp;#x2265;
| &amp;#x2265;
| &amp;#8805;
| &amp;#8805;
201 юл: 201 юл:
| U+226A
| U+226A
| style="text-align:left" | {{sc|Much less-than}}
| style="text-align:left" | {{sc|Much less-than}}
| style="text-align:left" | Много меньше
| style="text-align:left" | Күпкә бәләкәй
| &amp;#x226A;
| &amp;#x226A;
| &amp;#8810;
| &amp;#8810;
211 юл: 211 юл:
| U+226B
| U+226B
| style="text-align:left" | {{sc|Much greater-than}}
| style="text-align:left" | {{sc|Much greater-than}}
| style="text-align:left" | Много больше
| style="text-align:left" | Күпкә ҙур
| &amp;#x226B;
| &amp;#x226B;
| &amp;#8811;
| &amp;#8811;

07:05, 5 июнь 2018 өлгөһө

Тигеҙһеҙлек математикала — ике һанды йәки башҡа математик объектты түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш[1].

Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
  • -нан бәләкәй тигәнде аңлата.
  • -нан ҙурыраҡ тигәнде аңлата.

һәм тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. һәм тамғалары ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе тамғаһы тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.

Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
  • -нан бәләкәй йәки тигеҙ тигәнде аңлата
  • -нан ҙур йәки тигеҙ тигәнде аңлата

һәм тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә һәм тамғаларын ҡулланалар. һәм тамғалары тураһында шулай уҡ улар ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр.

Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
  • -ға тигеҙ түгел тигәнде аңлата.
  • дәүмәле -нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
  • дәүмәле -нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.

Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.

Элементар математикала һанлы тигеҙһеҙлектәрҙе өйрәнәләр. Дөйөм алгебрала, анализда, геометрияла һан булмаған объекттар араһындағы тигеҙһеҙлектәрҙе лә ҡарайҙар.

Бәйле билдәләмәләр

Бер үк тамғалы тигеҙһеҙлектәр бер исемлеләр тип аталалар (ҡайһы берҙә «бер мәғәнәле» йәки «бер төрлө мәғәнәле» терминдары ҡулланыла).

Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:

һәм тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.

Һанлы тигеҙһеҙлектәр

Һанлы тигеҙһеҙлектәр ысын һандарҙан торалар (Комплекслы һандар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, (тигеҙләмәләр кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, тигеҙһеҙлеге — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, тигеҙһеҙлеге — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, тигеҙһеҙлеге— трансцендент[2].

Үҙсәнлектәре

Һанлы тигеҙһеҙлектәрҙең үҙсәнлектәре ҡайһы бер яҡтан тигеҙләмәләрҙең үҙсәнлектәренә яҡын[1]:

  • Тигеҙһеҙлектең ике яғына ла бер үк һанды ҡушырға мөмкин.
  • Тигеҙһеҙлектең ике яғынан да бер үк һанды алырға мөмкин. Эҙемтә: тигеҙләмәләге кеүек, тигеҙһеҙлектең теләһә ниндәй быуынын ҡапма-ҡаршы тамғаһы менән тигеҙһеҙлектең икенсе яғына сығарырға мөмкин. Мәҫәлән, тигеҙһеҙлегенән, тигеҙһеҙлеге килеп сыға.
  • Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ыңғай һанға ҡабатларға мөмкин.
  • Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, һәм булһа, ул саҡта Ҡапма-ҡаршы тамғалы тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
  • Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
  • Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса логарифмларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
Башҡа үҙсәнлектәре
  • (Транзитивлыҡ) Әгәр һәм булһа, ул саҡта һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
  • Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк тиҫкәре һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ҙурыраҡ бәләкәйерәккә, ҙур йәки тигеҙ бәләкәй йәки тигеҙгә һ. б.

Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу

Әгәр тигеҙһеҙлеккә билдәһеҙ дәүмәл символы инһә, ул саҡта тигеҙһеҙлекте сығарыу, билдәһеҙҙең ниндәй ҡиммәттәрендә тигеҙһеҙлек үтәлә тигән һорауҙы асыҡлауҙы аңлата. Миҫалдар:

булғанда үтәлә.
тигеҙһеҙлеге йәки булғанда үтәлә.
тигеҙһеҙлеге бер ҡасан да үтәлмәй (сығарылышы юҡ).
тигеҙһеҙлеге -тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә (тождество).

Иғтибар: әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: , килеп сыҡҡан хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.

Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр

Неравенство первой степени имеет общий формат: или где (работа со знаками и аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на и, если измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:

Приведём подобные члены: или

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы получаем два решения: для первого неравенства для второго: Соединяя их, получаем ответ:

Пример 2. Решения: и Второе решение поглощает первое, так что ответ:

Пример 3. Решения: и они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

или

Если квадратное уравнение имеет вещественные корни то неравенство можно привести к виду соответственно:

или

В первом случае и должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].

Квадратный трёхчлен с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).

Пример 1. Разделив на приведём неравенство к виду: Решив квадратное уравнение получаем корни поэтому исходное неравенство равносильно такому: Согласно приведенному выше правилу, что и является ответом.

Пример 2. Аналогично получаем, что и имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо либо

Пример 3. Уравнение не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех При левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ).

Пример 4. Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].

где натуральное число.
См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары

«Тигеҙ түгел» символы төрлө программалау телдәрендә төрлөсә һүрәтләнә.

Символ Телдәр
!= C, Java, PHP, Python
<> Basic, Pascal
~= Lua
/= Haskell, Fortran, Ada
# Modula-2, Oberon

Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары

Символ Һүрәтләнеше Юникод Урыҫса исеме HTML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятеричное Мнемоника
< U+003C Ҡалып:Sc Бәләкәй &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
> U+003E Ҡалып:Sc Ҙур &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater
U+2A7D Ҡалып:Sc Бәләкәй йәки тигеҙ &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
U+2A7E Ҡалып:Sc Ҙур йәки тигеҙ &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
U+2264 Ҡалып:Sc Бәләкәй йәки тигеҙ &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Ҡалып:Sc Ҙур йәки тигеҙ &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq
U+226A Ҡалып:Sc Күпкә бәләкәй &#x226A; &#8810; \ll
U+226B Ҡалып:Sc Күпкә ҙур &#x226B; &#8811; \gg

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Иҫкәрмәләр

Әҙәбиәт

Ҡалып:Математические знаки