Тигеҙһеҙлек: өлгөләр араһындағы айырма

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
127 юл: 127 юл:
! rowspan=2 | Һүрәтләнеше
! rowspan=2 | Һүрәтләнеше
! colspan=2 | Юникод
! colspan=2 | Юникод
! rowspan=2 | Урыҫса исеме
! rowspan=2 | Башҡортса исеме
! colspan=3 | HTML
! colspan=3 | HTML
! rowspan=2 | LaTeX
! rowspan=2 | LaTeX

07:07, 5 июнь 2018 өлгөһө

Тигеҙһеҙлек математикала — ике һанды йәки башҡа математик объектты түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш[1].

Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр
  • -нан бәләкәй тигәнде аңлата.
  • -нан ҙурыраҡ тигәнде аңлата.

һәм тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. һәм тамғалары ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе тамғаһы тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.

Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр
  • -нан бәләкәй йәки тигеҙ тигәнде аңлата
  • -нан ҙур йәки тигеҙ тигәнде аңлата

һәм тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә һәм тамғаларын ҡулланалар. һәм тамғалары тураһында шулай уҡ улар ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр.

Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары
  • -ға тигеҙ түгел тигәнде аңлата.
  • дәүмәле -нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
  • дәүмәле -нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.

Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.

Элементар математикала һанлы тигеҙһеҙлектәрҙе өйрәнәләр. Дөйөм алгебрала, анализда, геометрияла һан булмаған объекттар араһындағы тигеҙһеҙлектәрҙе лә ҡарайҙар.

Бәйле билдәләмәләр

Бер үк тамғалы тигеҙһеҙлектәр бер исемлеләр тип аталалар (ҡайһы берҙә «бер мәғәнәле» йәки «бер төрлө мәғәнәле» терминдары ҡулланыла).

Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:

һәм тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.

Һанлы тигеҙһеҙлектәр

Һанлы тигеҙһеҙлектәр ысын һандарҙан торалар (Комплекслы һандар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, (тигеҙләмәләр кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, тигеҙһеҙлеге — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, тигеҙһеҙлеге — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, тигеҙһеҙлеге— трансцендент[2].

Үҙсәнлектәре

Һанлы тигеҙһеҙлектәрҙең үҙсәнлектәре ҡайһы бер яҡтан тигеҙләмәләрҙең үҙсәнлектәренә яҡын[1]:

  • Тигеҙһеҙлектең ике яғына ла бер үк һанды ҡушырға мөмкин.
  • Тигеҙһеҙлектең ике яғынан да бер үк һанды алырға мөмкин. Эҙемтә: тигеҙләмәләге кеүек, тигеҙһеҙлектең теләһә ниндәй быуынын ҡапма-ҡаршы тамғаһы менән тигеҙһеҙлектең икенсе яғына сығарырға мөмкин. Мәҫәлән, тигеҙһеҙлегенән, тигеҙһеҙлеге килеп сыға.
  • Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ыңғай һанға ҡабатларға мөмкин.
  • Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, һәм булһа, ул саҡта Ҡапма-ҡаршы тамғалы тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
  • Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
  • Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса логарифмларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).
Башҡа үҙсәнлектәре
  • (Транзитивлыҡ) Әгәр һәм булһа, ул саҡта һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
  • Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк тиҫкәре һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ҙурыраҡ бәләкәйерәккә, ҙур йәки тигеҙ бәләкәй йәки тигеҙгә һ. б.

Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу

Әгәр тигеҙһеҙлеккә билдәһеҙ дәүмәл символы инһә, ул саҡта тигеҙһеҙлекте сығарыу, билдәһеҙҙең ниндәй ҡиммәттәрендә тигеҙһеҙлек үтәлә тигән һорауҙы асыҡлауҙы аңлата. Миҫалдар:

булғанда үтәлә.
тигеҙһеҙлеге йәки булғанда үтәлә.
тигеҙһеҙлеге бер ҡасан да үтәлмәй (сығарылышы юҡ).
тигеҙһеҙлеге -тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә (тождество).

Иғтибар: әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: , килеп сыҡҡан хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.

Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр

Неравенство первой степени имеет общий формат: или где (работа со знаками и аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на и, если измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:

Приведём подобные члены: или

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы получаем два решения: для первого неравенства для второго: Соединяя их, получаем ответ:

Пример 2. Решения: и Второе решение поглощает первое, так что ответ:

Пример 3. Решения: и они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

или

Если квадратное уравнение имеет вещественные корни то неравенство можно привести к виду соответственно:

или

В первом случае и должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].

Квадратный трёхчлен с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).

Пример 1. Разделив на приведём неравенство к виду: Решив квадратное уравнение получаем корни поэтому исходное неравенство равносильно такому: Согласно приведенному выше правилу, что и является ответом.

Пример 2. Аналогично получаем, что и имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо либо

Пример 3. Уравнение не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех При левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ).

Пример 4. Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].

где натуральное число.
См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары

«Тигеҙ түгел» символы төрлө программалау телдәрендә төрлөсә һүрәтләнә.

Символ Телдәр
!= C, Java, PHP, Python
<> Basic, Pascal
~= Lua
/= Haskell, Fortran, Ada
# Modula-2, Oberon

Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары

Символ Һүрәтләнеше Юникод Башҡортса исеме HTML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятеричное Мнемоника
< U+003C Ҡалып:Sc Бәләкәй &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
> U+003E Ҡалып:Sc Ҙур &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater
U+2A7D Ҡалып:Sc Бәләкәй йәки тигеҙ &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
U+2A7E Ҡалып:Sc Ҙур йәки тигеҙ &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
U+2264 Ҡалып:Sc Бәләкәй йәки тигеҙ &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Ҡалып:Sc Ҙур йәки тигеҙ &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq
U+226A Ҡалып:Sc Күпкә бәләкәй &#x226A; &#8810; \ll
U+226B Ҡалып:Sc Күпкә ҙур &#x226B; &#8811; \gg

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Иҫкәрмәләр

Әҙәбиәт

Ҡалып:Математические знаки