Галуа теорияһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Дифференциаль Галуа теорияһы

Галуа теорияһы — алгебраның, яландар теорияһының ҡайһы бер мәсьәләләрен, ниндәйҙер мәғәнәлә уларҙы ябайыраҡ итеп, төркөмдәр теорияһы телендә әйтеп бирергә мөмкинлек биреүсе бүлеге ул. Эварист Галуа был теорияның төп раҫлауҙарын бирелгән күпбыуындың (рациональ коэффициентлы) тамырҙары алмаштырмалары терминдарында әйтеп бирә; ул «төркөм» терминын, композицияға ҡарата йомоҡ һәм тождестволы алмаштырмаһы булған алмаштырмалар күмәклеген һүрәтләү өсөн беренсе булып ҡулланыусы була.

Галуа теорияһына хәҙерге ҡараш ирекле яландың киңәйтелеүе автоморфизмдарын, был киңәйтелеүгә ярашлы Галуа төркөмө ярҙамында өйрәнеүҙән ғибәрәт.

Ҡушымталар

Галуа теорияһы түбәндәге классик мәсьәләләрҙе сығарыуға берҙәм күркәм ҡараш булдыра:

1. Ниндәй фигураларҙы циркуль һәм линейка ярҙамында төҙөргә мөмкин?
2. Ниндәй алгебраик тигеҙләмәләр стандарт алгебраик операциялар (ҡушыу, алыу, ҡабатлау, бүлеү һәм тамыр алыу) ярҙамында сығарыла алалар?

Тамырҙар симметрияһы

Тамырҙар симметрияһы — күпбыуын тамырҙары күмәклегендәге шундай алмаштырмалар, улар өсөн тамырҙары ҡәнәғәтләндергән рациональ коэффициентлы теләһә ниндәй алгебраик тигеҙләмәне (бер нисә үҙгәреүсәнле), алмаштырылған тамырҙары ла ҡәнәғәтләндерә.

Миҫал: квадрат тигеҙләмә

$ax^{2}+bx+c$ икенсе дәрәжә күпбыуынының $x=-b/(2a)$ нөктәһенә ҡарата симметрик ике тамыры $x_{1}$ һәм $x_{2}$ бар. Ике варианттың булыуы мөмкин:

• Әгәр был тамырҙар рациональ булһа, ул саҡта $x-x_{1}=0$ тигеҙләмәһен бер генә тамыр ҡәнәғәтләндерә, һәм тигеҙләмә төркөмө тривиаль.
• Әгәр был тамырҙар иррациональ булһа, ул саҡта төркөмдөң бер генә тривиаль булмаған элементы $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ бар, һәм $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ изоморфлы.

Ҡатмарлыраҡ миҫал

$(x^{2}-5)^{2}-24$ күпбыуынын ҡарайыҡ.

Уның тамырҙары: $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Был күпбыуын тамырҙарының $4!=24$ төрлө алмаштырмалары бар, ләкин улар бөтәһе лә симметрия түгелдәр. Галуа төркөмө элементтары рациональ коэффициентлы теләһә ниндәй алгебраик тигеҙләмәләрҙе һаҡларға тейеш.

Шундай тигеҙләмәләрҙең береһе — $a+d=0$. $a+c\neq 0$ булғанлыҡтан, $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$ алмаштырмаһы Галуа төркөмөнә инмәй.

Бынан тыш, $(a+b)^{2}=8$ булыуын күрергә була, ләкин $(a+c)^{2}=12$. Шуға күрә $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$ алмаштырмаһы төркөмгә инмәй.

Ахыр килеп, күпбыуындың Галуа төркөмө дүрт алмаштырманан тора икәнен табабыҙ:

$(a,\ b,\ c,\ d)\to (a,\ b,\ c,\ d)$

$(a,\ b,\ c,\ d)\to (c,\ d,\ a,\ b)$

$(a,\ b,\ c,\ d)\to (b,\ a,\ d,\ c)$

$(a,\ b,\ c,\ d)\to (d,\ c,\ b,\ a)$

һәм $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$-ға изоморфлы Клейндың дүртенсе төркөмө була.

Яландар теорияһы терминдарында әйтеп биреү

Яландар теорияһы Галуа төркөмөнә ирекле Галуа киңәйтелеүе автоморфизмдары төркөмө тигән дөйөм билдәләмә бирә.

Был телдә күпбыуын тамырҙары «симметрияларына» ҡағылышлы бөтә раҫлауҙарҙы әйтеп биреп була. Атап әйткәндә, был күпбыуындың коэффициенттары K яланына инһен, ти. K яланының күпбыуын тамырҙары менән L алгебраик киңәйтелеүен ҡарайыҡ. Ул саҡта күпбыуындың Галуа төркөмө — K яланының элементтарын урынында ҡалдырыусы, L яланының автоморфизмдар төркөмө, йәғни $L\supset K$ киңәйтелеүенең Галуа төркөмө. Мәҫәлән, алдағы миҫалда $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q}$ киңәйтелеүенең Галуа төркөмө ҡаралды.

Хәл итерлек төркөмдәр һәм тигеҙләмәләрҙе радикалдарҙа сығарыу

Полиномиаль $P(x)=0$ тигеҙләмәләренең сығарылыштары радикалдарҙа күрһәтеләләр шул саҡта һәм бары шул саҡта ғына, әгәр был тигеҙләмәнең Галуа төркөмө хәл итерлек булһа.

Теләһә ниндәй $n$ өсөн $n$-се дәрәжәләге шундай тигеҙләмә бар, уның Галуа төркөмө $S_{n}$ симметрик төркөмөнә изоморфлы, йәғни бөтә мөмкин булған алмаштырмаларҙан тора. $S_{n}$ төркөмдәре $n>4$ булғанда хәл итерлек булмағанлыҡтан, тамырҙары радикалдар ярҙамында күрһәтелә алмаған $n$-сы дәрәжә күпбыуындар бар — Абель — Руффини теоремаһы.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Галуа теорияһына абстрактлыраҡ ҡараш Александр Гротендик тарафынан 1960 йылда төҙөлә. Был ҡараш Галуа теорияһының төп һөҙөмтәләрен, бирелгән үҙсәнлектәргә (мәҫәлән, коҡабатландыҡтарҙың һәм Декарт квадраттарының булыуына) эйә булған, теләһә ниндәй категорияларға ҡулланырға мөмкинлек бирә.
  • Атап әйткәндә, ул Галуа теорияһы һөҙөмтәләрен ҡаплауҙар теорияһына күсерергә мөмкинлек бирә. Был теорияны яландар киңәйтелеүе категорияһына ҡулланыу өсөн, требуется изучение свойств яландарҙың тензорлы ҡабатландығы үҙсәнлектәрен өйрәнеү талап ителә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Разрешимая группа

Әҙәбиәт

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.(недоступная ссылка)

• Постников М. М. Теория Галуа. М.: Физматгиз, 1963.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
• Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
• Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
• Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.