Риман сфераһы

Риман сфераһы
Кем хөрмәтенә аталған	Георг Фридрих Бернхард Риман[d]
Ҡайҙа өйрәнелә	Комплекслы анализ һәм Риман геометрияһы[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Риман сфераһы Викимилектә

Ри́ман сфераһы — ысын һандар күмәклеген тура һыҙыҡ күренешендә һәм комплекслы һандар күмәклеген яҫылыҡ рәүешендә һүрәтләгән кеүек, ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ күмәклегенең сфера рәүешендә күренеп торған һүрәтләнеше ул. Шул сәбәпле «Ри́ман сфераһы» терминын йыш ҡына, «Киңәйтелгән комплекслы яҫылыҡ» термины менән бер рәттән, «Киңәйтелгән сикһеҙ алыҫ нөктә менән тулыландырылған комплекслы һандар күмәклеге» терминына синоним һымаҡ ҡулланыла.

Формаль ҡарашта Риман сфераһы тип, $\mathbb {R} ^{3}$ арауығында $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ тигеҙләмәһе менән бирелгән, $Oxy$ яҫылығына комплекслы яҫылыҡ менән тиңләштерелгән стереографик проекцияһы менән сфераны аңлайҙар. Һүҙ тап ошо формаль билдәләнгән конструкция тураһында барасаҡ.

Тасуирламаһы

Риман сфераһы стереографик проекция ярҙамында яҫылыҡҡа күсерелә

Өс үлсәмле $\mathbb {R} ^{3}$ Евклид арауығын ҡарайыҡ. Өс үлсәмле арауыҡ нөктәләренең координаталарын $(\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3}$ тип тамғалайбыҙ. $\mathbb {R} ^{3}$ арауығында $O\xi \eta$ яҫылығына $(0;0;0)$ нөктәһендә тейеүсе, диаметры $1$-гә тигеҙ булған $S$ сфераһын ҡарайбыҙ. Бындай сфера

$S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$ тигеҙләмәһе менән бирелә.

Яҫылыҡтың һәр $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ нөктәһенә сфераның $M\in S$ нөктәһен түбәндәгесә ярашлы ҡуйырға мөмкин. $N=(0;0;1)$ һәм $(\xi ;\eta ;0)$ нөктәләре аша тура һыҙыҡ үткәрәбеҙ; был тура һыҙыҡ сфераны тағы ла бер нөктәлә киҫеп үтә, уны $(\xi ;\eta ;0)$ нөктәһенә ярашлы нөктә тип иҫәпләйбеҙ ҙә инде. Был ярашлыҡ үҙәге $N$ булған стереографик проекция тип атала. Яҫылыҡтың һәр нөктәһенә ул сфераның берҙән бер нөктәһен ярашлы ҡуя. Ләкин сфераның бөтә нөктәһенә лә яҫылыҡтың нөктәһе ярашлы була алмай: $N$ нөктәһенә яҫылыҡтың бер нөктәһе лә ярашлы түгел. Шулай итеп, $O\xi \eta$ яҫылығы һәм $S\setminus \{N\}$ сфераһы араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡ бар.

$O\xi \eta$ яҫылығын $\mathbb {C}$, $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$ комплекслы яҫылығы менән тиңләштерергә мөмкин. Ул саҡта юғарыла билдәләнгән ярашлыҡ өҙлөкһөҙ үҙ-ара бер мәғәнәле $\tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\}$ сағылышын бирә. Был сағылышты бөтә сфераға биекцияға тиклем төҙөп бөтөрөү өсөн, дополним множество $\mathbb {C}$ күмәклеген тағы ла бер нөктә менән тулыландырабыҙ, уны $N$ нөктәһенең прообразы тип иҫәпләйбеҙ. Был нөктәне сикһеҙ алыҫ нөктә тип атайбыҙ һәм $\infty$ тип тамғалайбыҙ. $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ биекцияһын алырбыҙ. $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ күмәклеге комплекслы һандарҙың киңәйтелгән күмәклеге, ә $S$ сфераһы — Риман сфераһы тип атала.

Тасуирланған конструкция йыш ҡына күп дәреслектәрҙә комплекслы һандарҙың киңәйтелгән күмәклеге төшөнсәһен күргәҙмәле билдәләү өсөн ҡулланыла. Ысынлап та, асыҡ күмәклектәрҙең $\pi$ буйынса прообраздарын асыҡ күмәклектәр, сикһеҙлеккә операциялар өҙлөкһөҙлөк буйынса таралалар тип фаразлап, был күмәклектә топологияны билдәләргә мөмкин. Риман сфераһы ярҙамында билдәләмә комплекслы һандар күмәклегенең киңәйеү асылын тулыһынса тасуирлай, өҫтәүенә, уның асыҡ интерпретацияһын кәүҙәләндерә.

Формаль билдәләмәһе

$R^{3}$ арауығында

$S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$ тигеҙләмәһе менән бирелгән $S$ сфераһы,

$\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}$ тип бирелгән $\pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ сағылышы менән бергә, Риман сфераһы тип атала.

Билдәләмәлә сағылышты киреһенә үҙгәртергә мөмкин, бынан мәғәнәһе юғалмай.

Координаталар

Комплекслы һандарҙың киңәйтелгән күмәклегендә һанлы координаталар өс ысул менән индерелә:

• аффиналы комплекслы координата $z$, $\infty$ ҡиммәтен ҡабул итергә һәләтле;
• проектив тиң комплекслы координаталар $[z_{0}:z_{1}]$;
• өс үлсәмле ысын координаталар $\xi ,\eta ,\zeta$,улар

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$ тигеҙләмәһе менән бәйле

Бер координатанан икенсеһенә күсеү түбәндәге формулалар менән бирелә:

$z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}$

$z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z|^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.$

$z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}$

Сферик метрика

Риман сфераһы $\mathbb {C}$ күмәклегендә Евклид метрикаһынан айырмалы метрика индерергә мөмкинлек бирә. Был метрика сферик метрика тип атала. Ул Риман сфераһындағы ярашлы нөктәләр араһында Евклид метрикаһы кеүек билдәләнә. Йәғни, ике $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ һандары өсөн

$\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}$

Был алыҫлыҡтың тура аңлатмаһын табыу ҡыйын түгел.

$\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}$

Евклид һәм сферик метрикалар $\mathbb {C}$ күмәклегендә эквивалентлы. Сферик метриканың үҙенсәлеге шунда, ул Евклид метрикаһынан айырмалы рәүештә киңәйтелгән комплекслы һандар күмәклегенә дауам ителергә мөмкин. Бындай дауам итеү тап шулай уҡ билдәләнә. Ике $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ элементтары өсөн

$\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}$

Был алыҫлыҡ өсөн тура аңлатма, нөктәләрҙең береһе сикһеҙлек булған осраҡта, икенсе төрлө яҙыла.

$\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2}}}}$

Автоморфизмдар

$U\subset \mathbb {C} \cup \infty$ өлкәһендә автоморфизмдар тип был өлкәнең үҙенә голоморфлы биектив сағылыштары атала. Автоморфизмдар осрағында киңәйтелгән комплекслы һандар күмәклегендә ғәҙәттә «Риман сфераһы автоморфизмдары» терминын ҡулланалар — нисек итеп «Риман сфераһы» терминын «киңәйтелгән комплекслы һандар күмәклеге» терминына синоним сифатында ҡулланған кеүек миҫал. Риман сфераһы автоморфизмдары булып кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр (йәки Мёбиус үҙгәртеүҙәре тора).

$\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0$ булһын, ти.

$f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$ кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүе

$f(z)={\frac {az+c}{bz+d}}$ тип билдәләнә, ул был аңлатма туранан-тура билдәләнмәгән бөтә нөктәләрҙә лә өҙлөкһөҙлөккә тиклем һуҙылған.

Риман сфераһында кәсерле-һыҙыҡлы сағылыштар әйләнәне әйләнәгә күсерәләр.

Ҡулланыу

Математиканан тыш, Риман сфераһы теоретик физикала билдәле.

Махсус сағыштырмалыҡ теорияһында Риман сфераһы күк сфераһыныңмоделе булып тора. Мёбиус үҙгәртеүҙәре Лоренц үҙгәртеүҙәре менән бәйле, һәм яҡтылыҡҡа яҡын тиҙлек менән хәрәкәт итеүсе күҙәтеүсе өсөн күк сфераһының боҙолоуын тасуирлайҙар.

Мёбиус һәм Лоренц үҙгәртеүҙәре шулай уҡ спинорҙар менән бәйле. Квант механикаһында Риман сфераһы 2 үлсәмле арауыҡ тасуирлаған системаларҙың торощон параметрлай (ҡарағыҙ q-бит), бигерәк тә электрон кеүек 1/2 спинлы массив киҫәксәләрҙең спинын. Был контекста Риман сфераһын Блох сфераһы тип атайҙар һәм унда «киңлек-оҙонлоҡ» координаталарын ябай сфералағы кеүек тиерлек ҡулланалар, тик $\theta$ киңлеген полюстан иҫәпләйҙәр һәм мөйөштө 2-гә бүләләр, шулай $0<\theta <\pi /2$ (см. рис.)

Был осраҡта түбәндәге бәйләнештәр дөрөҫ:

$z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta$

$\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.$

Полярлашыу оптикаһында Риман сфераһын Пуанкаре сфераһы, ә координаталар күсәрҙәрен — Стокс параметрҙары тип атайҙар.

Сфераның эске өлкәһе

Сфераның эске өлкәһе (шар) үрҙә әйтелгән ҡулланыуҙарҙың икеһендә лә мәғәнәүи аңлатма биреү мөмкинлеген бирә. Күк сфераһы кеүек арауыҡ-ваҡыттың яҡтылыҡҡа оҡшаш йүнәлештәре йыйылмаһы булып тора, уның эске өлкәһе лә ваҡытҡа оҡшаш йүнәлештәргә, йәғни ысынбарлыҡта яҡтылыҡҡа тиклемге релятивистик тиҙлектәргә тап килә. Был арауыҡ «гиперболик» (Лобачевский яҫылығы кеүек, тик 2 үлсәмле түгел, ә 3 үлсәмле булғанда, даими тиҫкәре кәкрелеккә эйә) була; уға тәбиғи рәүештә Мёбиус үҙгәртеүҙәре тәьҫире тарала.

Блох сфераһының эске өлкәһе q-биттың ҡатнаш тороштары тип аталған тороштарына тап килә һәм геометрик яҡтан ябай шар кеүек ҡоролған.

Әммә икеһе лә ыңғай һанға ҡабатланыуға тиклем аныҡлыҡ менән ҡаралған, 2×2 үлсәмле, ыңғай билдәләнгән Эрмит матрицалары менән тасуирланалар.

Әҙәбиәт

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Һылтанмалар

• Римана сфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Ҡалып:Springer