Элементар алгебра

Элемента́р а́лгебра — ысын һәм комплекслы һандар өҫтөндә алгебраик аңлатмалар һәм тигеҙләмәләрҙе өйрәнеүсе, алгебраның иң боронғо бүлеге.

Төп төшөнсәләр

Алгебрала, конкрет һандарҙы хәрефле символдарға алмаштырып, математик аңлатмаларҙы (формулаларҙы) дөйөм күренештә яҙыу ҡабул ителгән, шуның арҡаһында бер типтағы мәсьәләләрҙе сискәндә максималь дөйөм һөҙөмтәгә өлгәшеп була. Алгебраның төп йөкмәткеһе булып, тигеҙләмәләрҙе сығарыу, бәйлелектәрҙе анализлау, өйрәнелеүсе системаларҙы һәм башҡа практик мәсьәләләрҙе оптималләштереү өсөн кәрәк булған, формулаларҙы тождестволы үҙгәртеүҙәр ҡағиҙәләре тора.

Хәрефтәр һәм һандарҙан тыш, элементар алгебра формулаларында арифметик ғәмәлдәр: (ҡушыу, алыу, ҡабатлау, бүлеү, дәрәжәгә күтәреү, тамыр алыу) һәм элементар функциялар (логарифм, тригонометрик функциялар) ҡулланыла. Тигеҙлек тамғаһы менән тоташтырылған ике формула тигеҙләмә тип атала.

Әгәр ике аңлатма араһында ғәмәл символы күрһәтелмәһә, ҡабатлау ғәмәле тип иҫәпләнелә:

$ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a^{2}+b^{2})$

Формулаға миҫал: өсмөйөштөң майҙаны $S$ яҡтарының береһенең оҙонлоғо $a$ һәм $a$ яғына төшөрөлгән бейеклеге $h$ аша түбәндәгесә күрһәтелә:

$S={1 \over 2}ah$

Иң ябай алгебраик аңлатма — ул бер йәки күберәк хәрефле символға ҡабатланған һанлы ҡабатлашыусынан торған бербыуын,. Миҫалдар:

$1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w$

Бербыуындарҙың алгебраик суммаһы (йәғни сумма һәм/йәки айырмаһы) күпбыуындар тип атала. Бер күпбыуынды икенсеһенә бүлеүҙән килеп сыҡҡан бүлендек күренешендәге аңлатмалар алгебраик кәсер тип аталалар. Алгебраик кәсерҙәр менән ғәмәлдәр ябай кәсерҙәр менән ғәмәлдәргә оҡшаш — числителен һәм знаменателен ҡабатлашыусыларға тарҡатыу, бер нисә кәсерҙе уртаҡ знаменателгә килтереү, числителен һәм знаменателен ҡыҫҡартыу һ. б. ш.

Элементар алгебра закондары

Аңлатманың ҡиммәтен табыу

Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе йәйәләр менән күрһәтелә. Әгәр йәйәләр булмаһа, кәмей барыу тәртибендә өҫтөнлөк түбәндәгесә.

1. Дәрәжәгә күтәреү.
2. Функцияны иҫәпләү.
3. Ҡабатлау һәм бүлеү.
4. Ҡушыу һәм алыу.

Миҫалдар:

• $a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
• $\sin x^{2}=\sin(x^{2})$
• $\sin a+b=(\sin a)+b$

Аңлатманың ҡиммәтен иҫәпләгәндә хәрефле символдар урынына, конкрет мәсьәләгә ярашлы, уларҙың һан ҡиммәттәрен ҡуялар. Аңлатманың мәғәнәһе булғандағы һан ҡиммәттәре күмәклеге, был аңлатманың мөмкин булған ҡиммәттәр өлкәһе тип атала. Миҫал: ${\frac {a+b}{a-b}}$ аңлатмаһы өсөн мөмкин булған ҡиммәттәр өлкәһе — $a\neq b$ булған бөтә $a,b$ парҙары.

Ғәмәлдәр үҙсәнлектәре

• Ҡушыуҙың коммутативлығы (урын алмаштырыу үҙсәнлеге) :

$a+b=b+a.\$

• Алыу ҡушыуға кире ғәмәл.
• b һанын алыу, b-ға ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу менән бер:

$a-b=a+(-b).\$

• Ҡабатлауҙың коммутативлығы (урын алмаштырыу үҙсәнлеге) :

$a\cdot b=b\cdot a\$

• Бүлеү ҡабатлауға кире ғәмәл.
• Нулгә бүлергә ярамай.
• b һанына бүлеү b-ға кире һанға ҡабатлауға тиң:

${a \over b}=a\left({1 \over b}\right).$

• Дәрәжәгә күтәреү коммутатив түгел. Шуға күрә уның ике кире ғәмәле бар: тамыр алыу һәм логарифмлау.
  • Миҫал: әгәр $3^{x}=10$, ул саҡта $x=\log _{3}10.$ Әгәр $x^{2}=10$, ул саҡта $x={\sqrt {10}}.$
• Тиҫкәре һандан йоп дәрәжәле тамыр юҡ (ысын һандар араһында). Ҡара комплекслы һандар.
• Ҡушыу ғәмәленең ассоциативлыҡ (төркөмләү) үҙсәнлеге: $(a+b)+c=a+(b+c).$
• Ҡабатлау ғәмәленең ассоциативлыҡ (төркөмләү) үҙсәнлеге: $(ab)c=a(bc).$
• Ҡабатлау ғәмәленең дистрибутивлыҡ (таратыу) үҙсәнлеге: $c(a+b)=ca+cb.$
• Дәрәжәгә күтәреү өсөн дистрибутивлыҡ (таратыу) үҙсәнлеге: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}.$
• Дәрәжә күрһәткестәрен ҡушыу: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
• Дәрәжә күрһәткестәрен ҡабатлау: $(a^{b})^{c}=a^{bc}.$

Тигеҙлек үҙсәнлектәре

• Әгәр $a=b$ һәм $b=c$ булһа, ул саҡта $a=c$ (тигеҙлектең транзитивлығы).
• $a=a$ (рефлексивлыҡ).
• Әгәр $a=b$ булһа, ул саҡта $b=a$ (симметриялыҡ).

Башҡа закондар

• Әгәр $a=b$ һәм $c=d$ булһа, ул саҡта $a+c=b+d.$ (тигеҙлектең аддитивлығы)
  • Әгәр $a=b$ булһа, ул саҡта теләһә ниндәй c өсөн $a+c=b+c$
• Әгәр $a=b$ һәм $c=d$ булһа, ул саҡта $ac$ = $bd.$ (тигеҙлектең мультипликативлығы)
  • Әгәр $a=b$ булһа, ул саҡта теләһә ниндәй c өсөн $ac=bc.$
• Әгәр ике символдың ҡиммәттәре тап килһә, ул саҡта береһе урынына икенсеһен ҡуйырға мөмкин (урынына ҡуйыу принцибы).
• Әгәр $a>b$ һәм $b>c$ булһа, ул саҡта $a>c$ (тәртиптең транзитивлығы).
• Әгәр $a>b$ булһа, ул саҡта теләһә ниндәй c өсөн $a+c>b+c$.
• Әгәр $a>b$ һәм $c>0$ булһа, ул саҡта $ac>bc.$
• Әгәр $a>b$ һәм $c<0$ булһа, ул саҡта $ac<bc.$

Ҡайһы бер алгебраик тождестволар

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Бином Ньютона

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Тигеҙләмәләрҙе сығарыу

Тигеҙләмә — ул:

$f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )$ күренешендәге тигеҙлек.

Тигеҙләмәне сығарыу — аргументтың, был тигеҙлек дөрөҫ булғандағы, ҡиммәттәрен табыу мәсьәләһе ул. Аргументтарҙың мөмкин булған ҡиммәттәренә өҫтәлмә шарттар ҡуйылыуы мөмкин (бөтөн һан, ысын һан булыуы һәм башҡалар). Тигеҙләмәләрҙе сығарыу — алгебраның һәм ғөмүмән алғанда математиканың төп мәсьәләләренең береһе, фәндең тарихи үҫеше барышында был мәсьәләнең төрлө төрҙәре өсөн бик күп ысулдар (алгоритмдар) эшләнгән.

Тарихи очерк

Ҡарағыҙ [Алгебра]] фәненең атамаһы килеп сығыу тарихы.

Һандарҙың дөйөм үҙсәнлектәрен һәм иҫәпләү алгоритмдарын махсус символик метателдә яҙыу идеяһы күптән барлыҡҡа килә, әммә башта хәрефле символдар менән тигеҙләмәләрҙә тик ҡиммәттәрен табырға кәрәк булған билдәһеҙ дәүмәлдәрҙе генә тамғалағандар, ә тигеҙләмәнең башҡа быуындары өсөн тик конкрет һан ҡиммәттәрен генә яҙғандар. Билдәле дәүмәлдәрҙе лә (коэффициенттарҙы) шулай уҡ дөйөмлөк өсөн символдар менән тамғалау уңайлы булыр ине тигән уй үҙенә юлды бик яй яра.

Беҙгә килеп еткән яҙмалар буйынса фекер йөрөткәндә, беренсе булып үҫешкән алгебраик система Диофанттың «Арифметика»һында (IV быуат) күренә. Уның да, Евклидтың, Архимедтың һәм башҡаларҙың кеүек элгәрҙәре булғанмылыр, әммә беҙгә, был һоҡланғыс алгебраист таянырға мөмкин булған кешеләр тураһында ла, хеҙмәттәр тураһында ла бер нимә лә билдәле түгел. XV быуатҡа тиклем уның эйәреүселәре лә булмаған. Хәйер, Европала «Арифметика»ның тәржемәһе менән тик XVI быуатта ғына танышалар, һәм Диофанттың ысулдары Виетҡа һәм Фермаға бик ҙур тәьҫир яһай.

«Арифметика»ның төп проблематикаһы — рациональ коэффициентлы билдәһеҙ тигеҙләмәләрҙең (ирекле дәрәжәле күпбыуындарҙың) рациональ сығарылыштарын табыу. Диофант хәрефле символика ҡуллана, дөрөҫ, элеккесә тик билдәһеҙҙәр өсөн генә. «Арифметика»ға инеш өлөштә Диофант түбәндәге тамғалауҙарҙы индерә: билдәһеҙҙе ул «һан» тип атай һәм ξ хәрефе менән тамғалай, билдәһеҙҙең квадратын — $\delta ^{\nu }$ символы менән һәм башҡа шулай. Тиҫкәре дәрәжәләрҙе, тигеҙлек тамғаһын һәм хатта тиҫкәре һандарҙы махсус символдар менән тамғалайҙар (хатта тамғалар ҡағиҙәһе бар: минусҡа минус плюсты бирә). Ҡалған бөтәһе лә һүҙ менән әйтелә. Беҙгә ғәҙәти булған бик күп алгебра ҡағиҙәләре әйтеп бирелгән: тигеҙләмәнең икенсе яғына сығарғанда тамға үҙгәреүе, уртаҡ быуындарҙың ҡыҫҡарыуы һәм башҡалар.

Урта быуаттарҙа Һиндостан математиктары шулай уҡ алгебрала бик ныҡ алға китәләр; уларҙың символикаһы, ҙур күләмлерәк булһа ла (күп һүҙҙәр ҡулланыла), Диофанттыҡынан байыраҡ.

Европала, Иордан Неморарийҙың ваҡыты еткәнсе геометриянан айырылмаған «Арифметика» һәм «О данных числах» (XIII быуат) китаптарында, символик алгебра башланғыстары күренә. Унда, шулай уҡ Фибоначчиҙә «a ат f көн эсендә e үлсәм һоло ашайҙар» тигәнерәк һүҙбәйләнештәр осрай. Әммә уларҙа символизм телмәрҙең дөйөм концепцияһына инмәй әле.

XV быуаттың иң мәшһүр алгебраисы Лука Пачоли алгебраик символикала үҙенең, әлегә бик дөйөм һәм бик уңайлы булмаған, аналогын индерә.

XVI быуат аҙағында Франсуа Виет, профессияһы буйынса адвокат, һәләтлеге буйынса математик, алгебраик телдең концептуаль реформаһын индерә һәм тамырынан яҡшырта. Ул һуңғы маҡсатын асыҡ күҙ алдына килтерә — дөйөмләштерелгән арифметиканың «яңы иҫәпләмә»һен эшләү. Виет бөтә коэффициенттарҙы хәрефтәр менән тамғалай (әйткәндәй, был терминды тап Виет уйлап сығара). Бөтә мәсьәләләр дөйөм күренештә сығарыла, һәм тик аҙаҡ ҡына һанлы миҫалдар килтерелә. Виет ирекле рәүештә алгебраик үҙгәртеүҙәрҙе, үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыуҙы һәм башҡа алгебраик алымдарҙы ҡуллана.

Виет системаһы дөйөм һоҡланыу тыуҙыра. Ул арифметика закондарын һәм алгоритмдарҙы элек уйлап та булмаҫлыҡ дөйөмлөк һәм компактлыҡ менән һүрәтләү мөмкинлеген бирә, дөйөм һан закондарын өйрәнеүҙе еңелләштерә һәм тәрәнәйтә. Әммә Виет символикаһы хәҙергегә оҡшамаған, урыны менән күләмле, һәм төрлө илдәрҙең ғалимдары уны камиллаштырыуға керешә.

Инглиз Томас Хэрриот үҙе үлгәндән һуң баҫылған (1631) хеҙмәтендә хәҙерге символикаға бик ныҡ яҡыная: ул үҙгәреүсәндәрҙе, Виет кеүек баш хәрефтәр менән түгел, ә бәләкәй хәрефтәр менән тамғалай, тигеҙлек тамғаһын, шулай уҡ үҙе уйлап сығарған сағыштырыу символдарын «>» һәм «<» ҡуллана.

Алгебраик символикаға хәҙерге күренеште Рене Декарт бирә (XVII быуат уртаһы, «Геометрия» трактаты). Был процестың һөҙөмтәһе һәм аҙағы булып Ньютондың «Универсальная арифметика»һы тора. Ҡайһы бер тороп ҡалған нескәлектәрҙе Эйлер теүәлләй.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Дөйөм алгебра
• Алгебра
• Ғәмәл тамғалары
• История математических обозначений

Әҙәбиәт

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.