Алыу битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Subtraction01.svg|right|thumb|180px|<math>\scriptstyle{5-2=3}</math>]]
'''Алыу''' (кәметеү) — ике [[Переменная величина|аргументтың]] (кәмеүсе һәм кәметеүсенең) ярҙамсы [[Бинар операция|бинар]] [[Операция (математика)|математик операцияларҙың]] ([[Арифметика|арифметик]] ғәмәлдәрҙең) береһе, һөҙөмтәһе булып беренсе аргументтың ҡиммәтен икенсе аргументтың ҡиммәтенә кәметеүҙән килеп сыҡҡан яңы һан ([[Разность множеств|айырма]]) тора<ref>Вычитание // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.</ref>. Яҙылышта [[Знаки плюса и минуса#Знак плюс|«]][[минус]]» тамғаһы менән тамғалана: <math>a-b=c</math> . Алыу — [[ҡушыу]]ға кире ғәмәл.

Дөйөм рәүештә ошолай яҙырға мөмкин: <math>\overline{S}(a, b)=c</math>, бында <math>a \in A</math> һәм <math>b \in A</math>. Йәғни <math>A</math> күмәклегенән алынған һәр <math>(a,b)</math> элементтар парына  <math>a</math> һәм <math>b</math>-ның айырмаһы тип аталған <math>c=a-b</math> элементы ярашлы ҡуйыла.<br />Алыу ғәмәле ике элемент та бер үк [[күмәклек]]кә ингәндә генә (бер үк типта булғанда) башҡарылырға мөмкин.

Тиҫкәре һандар булғанда алыу ғәмәлен ҡушыуҙың бер төрө итеп ҡарау (билдәләү) уңайлы - ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу<ref>{{PlanetMath|title=Subtraction|urlname=Subtraction}}</ref>. Миҫал өсөн, <math>5-2=3</math> алыу ғәмәлен ҡушыу итеп ҡарап була:  <math>5+(-2)=3</math>.

[[Вещественное число|Ысын һандар]] күмәклегендә ҡушыу функцияһының ҡиммәттәре күмәклеге графикта координаталар башы аша үтеүсе  һәм координаталар күсәренә 45° [[Градус (геометрия)|мөйөш градусы]] ауышлыҡта булған яҫылыҡ күренешендә.

Алыу ғәмәленең бер нисә мөһим үҙсәнлеге бар (мәҫәлән <math>A=</math>[[ысын һан|<math>\mathbb{R}</math>]] өсөн):
:[[Антикоммутативность|Антикоммутативлыҡ]]:  <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
:Антиассоциативлыҡ: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>
:[[Дистрибутивность|Дистрибутивлыҡ]]: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
:[[0 (һанын)|<math>0</math>]] ([[Нейтральный элемент|нуль элементты]]) алыу бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
Миҫал рәүешендә, <math>5-2=3</math> яҙыуы уңдағы һүрәттә, биш алманан ике алманы алһаң, өс алма тороп ҡалыуын күрһәтә. Миҫал өсөн, 5 алманан 2 грушаны алып булмауын билдәләп китәйек. Алманы иҫәпләүҙән тыш, алыу ғәмәле башҡа физик һәм абстракт дәүмәлдәрҙең, мәҫәлән [[Отрицательное число|тиҫкәре һандарҙың]], [[Дробь (математика)|кәсер һандарҙың]], [[Вектор (математика)|векторҙарҙың]], [[Функция (математика)|функцияларҙың]] һ.б. айырмаһы рәүешендә күрһәтелергә мөмкин.

== Яҙылыш формаһы һәм терминология ==
[[Файл:Диаграмма7.svg|thumb|228x228px|Символдар һәм тамғалар {{sfn|Лебедев|2003|с=97}}]]
Алыу ғәмәле [[Знаки плюса и минуса|"минус" символын]] ҡулланып яҙыла: «<math>-</math>» аргументтар араһында, бындай яҙыу формаһы [[Инфиксная нотация|инфикслы нотация]] тип атала. Бындай контекста "минус" символы бинар [[Оператор (математика)|оператор]] була. Һөҙөмтә [[Знак равенства|тигеҙлек тамғаһы]]н «<math>=</math>» ҡулланып яҙыла, мәҫәлән:
: <math>a - b = c </math> ;
: <math>6 - 3 = 3 </math> («алты минус өс тигеҙ өскә») ;
: <math>64 - 35 = 29 </math>  («алтмыш дүрт минус утыҙ биш тигеҙ егерме туғыҙға») .

Яҙылышта "минус" башҡа яҙма символдарға: "[[дефис]]", "[[тире]]" һ.б. бик оҡшаш. Символды хаталы [[Идентификация|таныу]]  булмаһын өсөн аңлатманы иғтибарлы ҡарарға кәрәк.

== Үҙсәнлектәре ==

Алыу ғәмәле <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> һандар күмәклектәрендә түбәндәге төп үҙсәнлектәргә эйә:

* Алыу антикоммутативлы — аргументтарҙың урынын үҙгәртеүҙән айырма үҙгәрә:
:[[Антикоммутативность|Антикоммутативлыҡ]]:  <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
*Алыу антиассоциативлы — өс йәки күберәк һандарҙы эҙмә-эҙ алыу ғәмәлен башҡарғанда ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе әһәмиәтле, һөҙөмтә үҙгәрә:
:[[Антиассоциативлыҡ]]: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>
* Алыу дистрибутивлы, был — бер үк күмәклектә билдәләнгән ике бинар операцияның ярашыусанлыҡ үҙсәнлеге, ''таратыу законы'' булараҡ та билдәле<ref>Бәләкәй кластар дәреслектәрендә был үҙсәнлектәр шулай атала</ref> .
:[[Дистрибутивность|Дистрибутивлыҡ]]: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
* <math>A</math> күмәклегендә алыуға ҡарата бер генә [[нейтраль элемент]] бар, һандан нуль (йәки нейтраль элементты) алыу бирелгән һанға тигеҙ һанды бирә:
:[[Нейтральный элемент|Нуль элемент]]: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
* Нулде алыу идемпотентлы — объектҡа операцияны ҡабат ҡулланыу бер тапҡыр ҡулланғандағы кеүек шул уҡ һөҙөмтәне бирә:
:[[Идемпотентность|Идемпотентлыҡ]]: <math>x = x - 0 = (x-0) - 0 = ((x-0)-0)- ... - 0,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>;
* [[Обратный элемент|Ҡапма-ҡаршы элементты]] алыу икеләтелгән һанды бирә:
: <math>a-(-a)=a+a=2a,\quad\forall a\in A, \quad\exists -a\in A.</math>

Алыу һөҙөмтәһе [[натураль һан]]дар  <math>\mathbb{N}</math> күмәклеге өсөн һәр ваҡытта ла билдәләнмәй: алыу һөҙөмтәһендә натураль һан табыу өсөн кәмеүсе кәметеүсенән ҙурыраҡ булырға тейеш. Натураль һандар сигендә бәләкәй һандан ҙурыраҡ һанды алып булмай. 
<math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> күмәклектәрендә билдәләнгән алыу ғәмәле шул уҡ күмәклеккә ингән һанды (айырманы) бирә, тимәк алыу операцияһы [[Замыкание (алгебра)|йомоҡ операция]]ға инә (һөҙөмтәне бирелгән күмәклектән сығармаған операция), йәғни <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> күмәклектәре алыу операцияһына ҡарата [[кольцо (алгебра)|балдаҡ]] булалар.

== Алыуҙы башҡарыу ==
Алыу операцияһын ингән ерҙә кәмеүсе һәм кәметеүсе һәм бер генә сығыу урыны - айырма булған ниндәйҙер "[[Чёрный ящик|ҡара йәшник]]" тип күҙ алдына килтереп була. :

[[Файл:Чёрный ящик.jpg|none|thumb]]

Ике [[Число|һан]]ды алыу мәсьәләһен практикала башҡарғанда уны ябайыраҡ операциялар теҙмәһенә ҡайтарып ҡалдырырға кәрәк: "ябай алыу", [[Заём (арифметика)|бурыс]], [[Соотношение|сағыштырыу]] һ.б. Бының өсөн алыуҙың төрлө ысулдары эшләнгән, мәҫәлән һандар, кәсерҙәр, векторҙар өсөн һ.б. [[Натураль һан]]дар күмәклегендә хәҙерге ваҡытта  [[Числовой разряд|разрядлап]] алыу [[алгоритм]]ы ҡулланыла. Был осраҡта алыуҙы (операциянан айырмалы рәүештә) [[Математическая процедура|процедура]] итеп ҡарарға кәрәк.

<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead">Ике һанды разрядлап алыу процедураһы алгоритмы</div>
  <div class="NavContent">[[Файл:Диаграмма10.svg|none|thumb|1277x1277px]]</div>
</div>
 
Күренеүенсә, процедура ҡатмарлы ғына, сағыштырмаса ҙур һандағы аҙымдарҙан тора һәм ҙур һандарҙы алыу оҙайлы ваҡыт биләүе мөмкин.
[[Файл:Диаграмма9.svg|thumb|319x319px|Һанлы тура һыҙыҡта 6-нан 4-те аҙымлап алыу миҫалы.]]
"Ябай алыу" - был контекста егерменән кәмерәк һандарҙы алыуҙы аңлата, бик еңел [[Декремент|иҫәпләү]]гә ҡайтарып ҡалдырыла, иҫәпләүҙең [[гипероператор]]ы булып тора:

<math>a-b = \operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b.</math>

<math> a {^{(-1)}} b = a - b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{a} \underbrace{- 1 - 1 - \dots - 1}_{b}.</math>

бында: <math>1 + 1 + \dots + 1</math> - <math>a</math> тапҡыр башҡарылған [[инкремент]]ирләү операциялары теҙмәһе;<br /><math>-1 - 1 - \dots - 1</math> - <math>b</math> тапҡыр башҡарылған последовательность операция декрементирләү операциялар теҙмәһе.

Алыу процессын тиҙләтеү өсөн "ябай алыу" таблица методын ҡулланалар, бының өсөн 18-ҙән 0-гә тиклем бөтә һандар айырмаһы комбинацияһын алдан иҫәпләйҙәр һәм был таблицанан әҙер яуапты алалар {{sfn|Истомина|2005|с=165}}:

<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead">унарлы иҫәпләү системаһында алыу таблицаһы</div>
  <div class="NavContent">
{| class="wikitable standard" style="text-align:center" width="75%"
|-
!'''-'''||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18
|-
!0
|0||1||2||3||4||5||6||7||8|| 9||||||||||||||||||
|-
!1
|||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||||||
|-
!2
|||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||||
|-
!3
|||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||
|-
!4
|||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||
|-
!5
|||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||
|-
!6
|||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||
|-
!7
|||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||
|-
!8
|||||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||
|-
!9
|||||||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
|-
|}
  </div>
</div>

Был процедура [[Натураль һан|натураль]] һәм [[Бөтөн һан|бөтөн]] һандарҙы (тамғаны иҫәпкә алып) алыуҙа ҡулланыла. Башҡа һандар өсөн ҡатмарлыраҡ алгоритм ҡулланыла.

== Һандарҙы алыу ==

=== Натураль һандар ===

[[Натураль һан]]дарҙың <math>\mathbb{N}</math> сикле күмәклектәрҙең [[Отношение эквивалентности|эквивалентлылыҡ кластары]] тигән билдәләмәһе м[енән файҙаланайыҡ . [[Биекция]]лар барлыҡҡа килтергән <math>C, A, B</math> сикле күмәклектәренең эквивалентлылыҡ кластарын йәйәләр ярҙамында тамғалайыҡ: <math>[C], [A], [B]</math>. Ул саҡта «алыу» арифметик операцияһы ошолай билдәләнә:
{{center|<math>[C]=[A] - [B] = [A \setminus B];</math>}}
бында <math>A \setminus B=\{C \in A \mid C \not\in B \mid B  \subset A \}</math> — [[күмәклектәр айырмаһы]]. Был кластар өҫтөндә операция нәзәҡәтле, йәғни класс элементтарын һайлауға бәйле түгел һәм индуктив билдәләмә менән тап килә.

<math> A </math> сикле күмәклеген <math> N_a </math> киҫегенә үҙ-ара бер мәғәнәле сағылдырыуҙы <math> A: \quad A \sim N_a </math> күмәклегенең элементтарын нумерациялау тип аңлап була. Был нумерациялау процесын «һанау» тип атайҙар. Шулай итеп, «һанау» - күмәклек элементтары һәм натураль һандар рәте киҫеге араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырыу ул. [[Позиционная система счисления|Позицион иҫәпләү система]]һында натураль һандарҙы алыу өсөн разрядтар буйынса алыу алгоритмы ҡулланыла. Әгәр шундай ике <math>a</math> һәм <math>b</math> натураль һандары бирелһә:
{{center|<math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad a \geqslant b, \quad\exists 0\in \N;</math>}}
бында <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>; <math>n</math> - <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math> һанының цифрҙары һаны; <math>k</math> - разрядтың (позицияның) рәт номеры, <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>; <math>P</math> - иҫәпләү системаһының нигеҙе; <math> \{P \}</math> конкрет иҫәпләү системаһының һан тамғалары (цифрҙары) һаны: <math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>; ул саҡта:
{{center|<math>c=a-b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0-b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math>}}
разрядтары буйынса алып, табабыҙ:

* <math>c_0=\begin{cases} a_0-b_0, \quad & \text{if } a_0 \geqslant b_0 \text{ } \\ a_0+P-b_0, \quad a_1=a_1-1 & \text{if } a_0 < b_0 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>c_1=\begin{cases} a_1-b_1, \quad & \text{if } a_1 \geqslant b_1 \text{ } \\ a_1+P-b_1, \quad a_2=a_2-1 & \text{if } a_1 < b_1 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>... \quad \quad... \quad \quad...</math>
*<math>c_{n-1}=\begin{cases} a_{n-1}-b_{n-1}, \quad & \text{if } a_{n-1}\geqslant b_{n-1} \text{ } \\ a_{n-1}+P-b_{n-1}, \quad a_n=a_n-1 & \text{if } a_{n-1}<b_{n-1} \text{ } \end{cases}</math>

Шулай итеп алыу операцияһы, кәрәк булғанда бурысҡа алып, натураль һандарҙы ябай эҙмә-эҙ алыу процедураһына <math>a_{k}-b_{k}</math> ҡайтарылып ҡалдырыла. Ябай алыу йә таблица ысулы, йә иҫәпләү менән башҡарыла.

Теләһә ниндәй позицион [[Система счисления|иҫәпләү система]]һында һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәрҙе башҡарыу [[Десятичная система счисления|унарлы иҫәпләү системаһы]]ндағы кеүек ҡағиҙәләр буйынса башҡарыла,сөнки улар бөтәһе лә ярашлы [[многочлен|күпбыуындар]] өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу ҡағиҙәләренә таяна. Был ваҡытта бирелгән иҫәпләү системаһының нигеҙе <math>P</math>-ға ярашлы алыу таблицаһын файҙаланырға кәрәк.

Натураль һандарҙы алыу миҫалы [[Двоичная система счисления|икеле]], унарлы һәм [[Шестнадцатеричная система счисления|уналтылы]] иҫәпләү системаларында, уңайлы булһын өсөн, һандар бер-береһенең аҫтына разрядтарын тап килтереп яҙыла, бурыс тамғаһы өҫтә яҙыла, етешмәгән разрядтар нулдәр менән тулыландырыла:

{{center|<math>\begin{array}{ccccccccc} &.&.&_{10}&&.&_{10} \\ &1&1&0&1&1&0 \\ -&0&1&1&1&0&1 \\ \hline &&1&1&0&0&1 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}& \\ &8&4&5&6&7 \\ -&3&7&5&4&1 \\ \hline &4&7&0&2&6 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}&&&_.&_{10} \\ &C&5&6&D&E&4 \\ -&0&F&2&A&1&F \\ \hline &B&6&4&3&C&5 \end{array}.</math>}}

=== Бөтөн һандар ===
[[Целое число|Бөтөн һандар]] күмәклеге — натураль һандар күмәклеге <math>\mathbb{N}</math>-ға <math>-n</math> күренешендәге [[Отрицательное число|тиҫкәре һандар]]ҙы өҫтәп киңәйткән күмәклек ул {{sfn|Выгодский|2003|стр.=116-117}}. Бөтөн һандар күмәклеге <math>\mathbb{Z}.</math> тип тамғалана. Бөтөн һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр натураль һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы булараҡ билдәләнәләр.
[[Файл:Диаграмма4.svg|мини|252x252px|Һандар тура һыҙығында ыңғай һәм тиҫкәре һандар.]]
'''''Тиҫкәре һандарҙың булыуы "алыуҙы" "ҡушыуҙың" бер төрө  - ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу итеп ҡарарға (билдәләргә) мөмкинлек бирә '''''.Әммә был мәҡәлә сиктәрендә "алыуҙы" бөтөн һандар күмәклегендә билдәләнгән ғәмәл итеп ҡарайбыҙ, был шулай уҡ башҡа һанлы күмәклектәргә лә ҡағыла. Натураль һандарҙан айырмаһы шунда, тиҫкәре һандар [[Числовая ось|һанлы тура һыҙыҡта]] кире яҡҡа йүнәлгәндәр, был алыу процедураһын бер аҙ үҙгәртә. Һандарҙың үҙ-ара йүнәлешен иҫәпкә алырға кәрәк, бында бер нисә осраҡ булырға мөмкин:
* Әгәр ике аргумент та ыңғай булһа, ул саҡта:  <math>c = a - b;</math>
* Әгәр аргументтарҙың береһе тиҫкәре булһа, ул саҡта:  <math>c= -a - b = -(a+b),</math> йәки <math>c= a - (-b) = a+b;</math>
* Әгәр ике аргумент та тиҫкәре булһа, ул саҡта:  <math>c = (-a)-(-b) = - a + b = b - a.</math>

Бында артабан да разрядлап алыу (ҡушыу) алгоритмы ҡулланыла. Мәҫәлән, <math>-6-4=-10</math> аңлатмаһын ҡарайыҡ; <math>-6</math> һәм <math>4</math> һандарының тамғалары төрлө булғас, минус тамғаһын йәйә тышына сығарабыҙ: <math>-6-4=-(6+4)</math>, артабан иҫәпләп яуап табабыҙ: <math>-10</math>.

=== Рациональ һандар ===
[[Рациональное число|Рациональ һандар]] күмәклеге <math>\mathbb{Q}</math> менән тамғалана ({{lang-en|quotient}} «бүлендек») һүҙенән һәм <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math> күренешендә яҙылырға мөмкин.

<math>\pm \frac{m}{n}</math> күренешендәге [[Дробь (математика)|ғәҙәттәге (йәки ябай) кәсерҙәр]] рәүешендәге рациональ һандарҙы алыу өсөн уларҙы дөйөм (бер төрлө) [[Знаменатель дроби|знаменателгә]] килтерергә кәрәк. Мәҫәлән, знаменателдәрҙең ҡабатландығын алырға, [[Числитель дроби|числителдәр]] был осраҡта ярашлы знаменателдәргә ҡабатлана. Аҙаҡ килеп сыҡҡан числителдәрҙе алырға кәрәк, ә знаменателдәр ҡабатландығы уртаҡ знаменатель була.

Әгәр ике шундай <math>a</math> һәм <math>b</math> рациональ һандары бирелһә: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (кәсерҙәр ҡыҫҡармай торған), ул саҡта:
{{center|<math> c=a-b = \frac{m_a}{n_a} - \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot n_b}{n_a \cdot n_b} - \frac{n_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b} = \frac{m_a \cdot n_b - m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.</math> {{sfn-1|Гусев|1988|с=20}} }}

Йәки  знаменателдәрҙең иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсеһен (ИБУБ) табырға кәрәк. Ғәмәлдәр тәртибе:
* Знаменателдәрҙең иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсеһен табабыҙ: <math>M=[n_a,n_b]</math>.
* Беренсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен <math>\frac{M}{n_a}</math>-ға ҡабатлайбыҙ.
* Икенсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен <math>\frac{M}{n_b}</math>-ға ҡабатлайбыҙ.
Бынан һуң ике кәсерҙең дә знаменателдәре тап килә (тигеҙ ''<math>M</math>''). Ябайыраҡ осраҡта был иҫәпләүҙе ябайлаштыра, ләкин ҙур һандар менән эш иткәндә иҫәпләүҙәр һиҙелерлек ҡатмарлаша. ''<math>M</math>'' сифатында башҡа теләһә ниндәй уртаҡ бүленеүсене алырға була.

Алыуға миҫал :
{{center|<math> \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5 - 3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}.</math>}}
Әгәр ике кәсерҙең дә знаменателдәре тап килһә, ул саҡта:
{{center|<math> \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}.</math>}}
Әгәр знаменателдәрҙең береһе икенсеһенә бүленһә, кәсерҙәрҙең береһен генә үҙгәртәбеҙ:
{{center|<math> \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3- 1 \cdot 2}{8} = \frac{1}{8}.</math>}}

Рациональ һандар өҫтөндә «алыу» арифметик операцияһы йомоҡ операцияларға инә.

=== Ысын һандар ===

Сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән [[Вещественное число|ысын һандар]] өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр рациональ һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең ''өҙлөкһөҙ дауамы'' кеүек билдәләнә<ref>Ысын һандар күмәклегендә һыҙыҡлы тәртип мөнәсәбәте күптән индерелгән булғанлыҡтан, беҙ һанлы тура һыҙыҡ топологияһын билдәләй алабыҙ: асыҡ күмәклектәр сифатында <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math> күренешендәге интервалдар берекмәһен алабыҙ</ref> .

Әгәр сикһеҙ [[Десятичная дробь|унарлы кәсер]] рәүешендә күрһәтелгән, рациональ һандарҙың ярашлы [[Фундаментальная последовательность|фундаменталь эҙмә-эҙлектәре]] менән билдәләнгән ([[условие Коши|Коши шарты]]н ҡәнәғәтләндергән),  <math>\alpha = [a_n]</math> һәм <math>\beta = [b_n]</math> тип тамғаланған ике ысын һан бирелһә:
 {{center|<math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\}</math>,}}
 {{center|<math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\}</math>}}
уларҙың айырмаһы тип <math>\{a_n\}</math> һәм <math>\{b_n\}</math> эҙмә-эҙлектәренең айырмаһы менән билдәләнгән <math>\gamma = [c_n]</math> һанын атайҙар:
{{center|<math>\gamma = \alpha - \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] - [b_n] = [a_n - b_n] </math>;}}<br />
<math>\gamma = \alpha - \beta</math> ысын һаны түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндерә:
{{center|<math>\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' - b' \leqslant \alpha - \beta \leqslant a'' - b'') \Rightarrow (a' - b' \leqslant \gamma \leqslant a'' - b'')
</math>.}}<br />
Шулай итеп, ике <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> ысын һандарының айырмаһы тип, бер яҡтан <math>a' - b'</math> күренешендәге бөтә айырмалар һәм икенсе яҡтан <math>a'' - b''</math> күренешендәге бөтә айырмалар араһында ятҡан шундай <math>\gamma</math> ысын һаны атала{{sfn|Ильин|1985|с=46|quote=}}.

Практикала ике <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> ысын һандарын алыу өсөн, уларҙы талап ителгән аныҡлыҡ менән яҡынса рациональ һандар <math>a</math> һәм <math>b</math> менән алмаштырырға кәрәк. Һандарҙың айырмаһының <math>\alpha - \beta</math> яҡынса ҡиммәте итеп ошо рациональ һандарҙың айырмаһын <math>a-b</math> алалар. Шуға өҫтәп, ҡайһы яҡтан (артығы менән йәки кәме менән) алынған рациональ һандар <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math>-ны яҡынайтыуы мөһим түгел. Ҡушыу разрядтары буйынса ҡушыу алгоритмы буйынса башҡарыла.

Яҡынса һандарҙы алғанда уларҙың [[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|абсолют хаталары]] ҡушыла <math>\Delta (a - b)=\Delta a+ \Delta b</math>, һандың абсолют хатаһы был һандың һуңғы тамғаһының яртыһына тигеҙ тип алына. Айырманың [[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|сағыштырма хата]]һы аргументтарҙың иң ҙур һәм иң бәләкәй сағыштырма хаталары араһында ята; практикала уның иң ҙур ҡиммәте алына <math>\delta (a - b)=max(\delta a,\delta b)</math>. Килеп сыҡҡан һөҙөмтәне беренсе дөрөҫ цифрға тиклем түңәрәкләйҙәр. Әгәр һандың абсолют хатаһы цифрға ярашлы разряд берәмегенең яртыһынан артмаһа, яҡынса һандың был цифры дөрөҫ цифр тип атала.

Өтөрҙән һуң 3-сө цифрға тиклем аныҡлыҡ менән алыуға <math>\gamma=\pi-e</math> миҫал:
* Бирелгән һандарҙы өтөрҙән һуң 4-се цифрға тиклем (иҫәпләү теүәллеген арттырыу өсөн) [[Округление|түңәрәкләйбеҙ]] ;
* Табабыҙ: <math>\pi\approx 3.1416, \quad e \approx 2.7183</math> ;
* Разрядтары буйынса алабыҙ:  <math>\gamma = \pi - e \approx  3.1416 - 2.7183 \approx 0.4233</math> ;
* Өтөрҙән һуң 3-сө цифрға тиклем түңәрәкләйбеҙ: <math>\gamma\approx 0.423</math> .

=== График ===
Ысын һандар күмәклегендә алыу [[Функция (математика)|функция]]һының [[Область значений функции|ҡиммәттәре өлкәһе]] [[График функции|графикта]] [[Декартова система координат|координат]]алар башы аша үтеүсе һәм күсәрҙәргә 45° [[Градус (геометрия)|мөйөш градусы]] ауышлыҡтағы [[Плоскость (геометрия)|яҫылыҡ]] күренешендә.
[[Файл:График2.jpg|centre|thumb|284x284px|Функцияның графигы f(c)=a-b]]

<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> булғанлыҡтан, был күмәклектәр өсөн дә алыу функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе ошо яҫылыҡҡа инә.

=== Комплекслы һандар ===
[[Файл:Диаграмма11.svg|thumb|249x249px|Ике комплекслы һанды алыу c=a-b геометрик ысул менән өсмөйөш төҙөп һүрәтләнергә мөмкин.]]
Комплекслы һандар күмәклеге арифметик ғәмәлдәре менән [[Поле (алгебра)|ялан]] булып тора һәм ғәҙәттә  <math>\mathbb{C}</math> символы менән тамғалана.

[[Комплекслы һандар]]ҙы бер-береһенән алыу уларҙың ысын һәм уйҙырма өлөштәрен алыу  юлы менән башҡарыла{{sfn|Конвей|1986|с=107}}. Был шуны аңлата:
: <math>c+fi=(a+di) - (b+ei) = (a-b) + (d-e)i,\ </math>
бында:  <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>,  <math>i</math> — [[уйҙырма берәмек]]. Комплекслы һандарҙы [[Комплексная плоскость|комплекслы яҫылыҡта]] [[Вектор (математика)|вектор]] итеп һүрәтләп, комплекслы һандарҙы алыуға  шундай [[Геометрия|геометрик]] [[Интерпретация (методология)|интерпретация]] бирергә мөмкин: комплекслы яҫылыҡта вектор менән һүрәтләнгән ике комплекслы һандың <math>a+di</math> һәм <math>b+ei</math> айырмаһы булып, кәмеүсе векторҙың осон кәметеүсе векторҙың осо менән тоташтырыусы һәм кәметеүсенән кәмеүсегә йүнәлгән вектор  тора, ул векторҙарҙың айырмаһы, тимәк комплекслы һандарҙың айырмаһы була (кәмеүсегә кәметеүсегә ҡапма-ҡаршы векторҙы ҡушҡанда ла шул уҡ һөҙөмтә була).

Шуға оҡшаш рәүештә, n-сы [[Размерность пространства|үлсәмле]] комплекслы һандар өсөн: <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, ~~~ B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n;</math>
<math>C=A-B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) - (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+ \dots +(a_n-b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n.</math>

=== Экспоненциаль яҙыу ===

[[Экспоненциальная запись|Экспоненциаль яҙыу]]ҙа һандар ошо күренештә яҙыла: <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, бында <math>x</math> — [[мантисса]], <math>P^{n}</math> — [[Характеристика логарифма|һандың характеристикаһы]], <math>P</math> - иҫәпләү системаһының нигеҙе. Экспоненциаль формала яҙылған ике һанды алыу өсөн,дистрибутивлыҡ законы буйынса, уларҙың характеристикаһы бер төрлө булыуы талап ителә: <math> a \cdot P^{n} - b \cdot P^{n} = (a-b) \cdot P^{n},</math>

Мәҫәлән:
: <math>2.3 \cdot 10^{-5} - 5.67 \cdot 10^{-6} = 2.34 \cdot 10^{-5} - 0.567 \cdot 10^{-5} = (2.34 - 0.567) \cdot 10^{-5} = 1.773 \cdot 10^{-5}</math>

=== Ирекле һандарҙы алыу ===

Төрлө күмәклектәргә ингән һандарҙы алғанда, бәләкәйерәк [[ҡеүәтле]] күмәклектән булған һанды ҙурыраҡ ҡеүәтле күмәклектән булған һан яғына киңәйтергә кәрәк, йәки, мөмкинлек булғанда, ике һанды ла күмәклектәре тигеҙләшкәнсе киңәйтергә кәрәк. Мәҫәлән, әгәр  <math>9,56</math> рациональ һанынан <math>4</math> натураль һанын алырға кәрәк булһын, ти. Натураль һандар рациональ һандарҙың аҫкүмәклеге булыуын иҫәпкә алып,<math>4</math> натураль һанын <math>4,00</math> рациональ һанына тиклем киңәйтәбеҙ һәм ике рациональ һанды алабыҙ: <math>9,56-4,00=5,56</math>. Ошоға оҡшаш рәүештә, <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math>  булыуын иҫәпкә алып, төрлө күмәклектәрҙән булған һандарҙы алабыҙ.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Сумма (математика)|Сумма]]
* [[Сложение (математика)Ҡушыу]]
* [[Ҡабатлау]]
* [[Деление (математика)|Бүлеү]]

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор         = Ильин В.А. и др.
 |заглавие      = Математический анализ. Начальный курс.
 |оригинал      = 
 |год           = 1985
 |страниц       = 662
 |том           = 1
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = МГУ
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Ильин
}}
* {{книга
 |автор         = Эндертон Г.
 |заглавие      = Элементы теории множеств
 |оригинал      = Elements of Set Theory
 |издательство  = Gulf Professional Publishing
 |год           = 1977
 |страниц       = 279
 |isbn          = 0-12-238440-7
 |ref           = Эндертон
}}
* {{книга
 |автор         = Барсуков А.Н.
 |заглавие      = Алгебра. Учебник для 6-8 классов.
 |оригинал      = 
 |год           = 1966
 |страниц       = 296
 |том           = 
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Просвещение
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Барсуков
}}
* {{книга
 |автор         = Гусев В.А., Мордкович А.Г.
 |заглавие      = Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.
 |оригинал      = 
 |год           = 1988
 |страниц       = 416
 |том           = 
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Просвещение
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Гусев
}}
* {{книга
 |автор         = Истомина Н.Б.
 |заглавие      = Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.
 |оригинал      = 
 |год           = 2005
 |страниц       = 272
 |том           = 
 |ссылка        = http://www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Ассоциация XXI век
 |arxiv         = 
 |isbn          = 5-89308-193-5
 |ref           = Истомина
}}
* {{книга
 |автор         = [[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
 |заглавие      = Справочник по элементарной математике
 |место         = М.
 |язык          = русский
 |издательство  = АСТ
 |тип           = книга
 |год           = 2003
 |isbn          = 5-17-009554-6
 |страниц       = 
 |ref           = Выгодский
}}
* {{статья
 |автор         = В.И. Игошин
 |заглавие      = КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА
 |оригинал      = 
 |год           = 2010
 |страниц       = 
 |том           = 
 |ссылка        = http://www.unn.ru/math/no/8/_nom8_002_igoshin.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = статья
 |издательство  = Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Игошин
}}
* {{книга
 |автор         = Кононюк А.Е.
 |заглавие      = Обобщенная теория моделирования.
 |оригинал      = 
 |год           = 2012
 |страниц       = 548
 |том           = 2
 |ссылка        = http://ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Освіта України
 |arxiv         = 
 |isbn          = 978-966-7599-50-8
 |ref           = Кононюк
}}
* {{публикация|книга
 |часть ссылка     = http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/97/
 |часть            = Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики
 |заглавие         = [[Ководство]]
 |основной автор   = [[Лебедев, Артемий Андреевич|Артемий Лебедев]]
 |раздел           = § 97
 |год              = 15 января 2003 г
 |часть архив      = http://www.webcitation.org/61BGqwQ2N
 |часть архив дата = 2011-08-24
 |ref              = Лебедев
}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{wiktionary|вычитание}}
{{иҫкәрмәләр}}

{{Нет полных библиографических описаний}}

[[Категория:Элементар математика]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Арифметик ғәмәлдәр]]
[[Категория:Математик операциялар]]


{{math-stub}}