Буль алгебраһы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

: ''Эта статья об [[Алгебраическая система|алгебраической системе]]. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. [[Алгебра логики]].''
'''Буль алгебраһы'''<ref>{{cite web|author=D. A. Vladimirov|date=2002|url=http://eom.springer.de/B/b016920.htm|title=Springer Online Reference Works – Boolean algebra|publisher=Springer-Verlag|accessdate=2010-08-04|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/65JKMgr2a?url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page|archivedate=2012-02-09}}</ref>{{sfn|Владимиров|1969|с=19}}{{sfn|Кузнецов|2007}} тип  ике [[бинар операция|бинар операцияһы]] <math>\land</math> ([[конъюнкция]] аналогы), <math>\lor</math> ([[дизъюнкция]] аналогы), бер [[унар операция|унар операцияһы]] <math>\lnot</math> ([[инҡар итеү]] аналогы) һәм ике айырылып торған элементтары: 0 (йәки Ялған) һәм 1 (йәки дөрөҫлөк) булған буш булмаған ''A'' [[күмәклек|күмәклеге]] атала, бында ''A'' күмәклегенең теләһә ниндәй ''a'', ''b'' һәм ''c''  элементтары өсөн түбәндәге [[аксиома|аксиомалар]] дөрөҫ:

{| cellpadding=5
|<math> a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c </math>
|<math> a \land (b \land c) = (a \land b) \land c </math>
| [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]]
|-
|<math> a \lor b = b \lor a </math>
|<math> a \land b = b \land a </math>
| [[коммутативлыҡ]]
|-
|<math> a \lor (a \land b) = a </math>
|<math> a \land (a \lor b) = a </math>
| йотолоу закондары
|-
|<math> a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) </math>
|<math> a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) </math>
| [[дистрибутивлыҡ]]
|-
|<math> a \lor \lnot a = 1 </math>
|<math> a \land \lnot a = 0 </math>
| өҫтәлмәлек
|}

 {{Hider|
  title =  · + ¯  нотацияһында|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
<math>\begin{align}
& a+(b+c)=(a+b)+c  & a(bc)=(ab)c  \\
& a+b=b+a          & ab=ba        \\   
& a+ab=a           & a(a+b)=a     \\
& a+bc=(a+b)(a+c)  & a(b+c)=ab+ac \\
& a+\bar{a}=1      & a\bar{a} = 0
\end{align}</math> 
}}

Тәүге өс аксиома (''A'', <math>\land</math>, <math>\lor</math>) [[Рәшәткә (күмәклектәр теорияһы)|рәшәткә]] булыуын аңлата. Шулай итеп, Буль алгебраһына, һуңғы ике аксиома үтәлгән [[дистрибутив рәшәткә]] тигән билдәләмә бирергә мөмкин. Һуңғыһынан алдағы аксиоманан башҡа бөтә аксиомалар үтәлгән структура [[псевдобуль алгебра]] тип атала.
[[Буль, Джордж|Джордж Буль]] хөрмәтенә аталған.

== Ҡайһы бер үҙсәнлектәре ==
Аксиомаларҙан күренеүенсә, иң бәләкәй элемент булып 0 тора, иң ҙур элемент 1, ә теләһә ниндәй ''a'' элементының өҫтәмәһе  ¬''a'' бер мәғәнәле билдәләнә. ''A'' күмәклегенән бөтә ''a'' һәм ''b'' өсөн түбәндәге тигеҙлектәр дөрөҫ:

{| cellpadding=15
| <math> a \lor a = a</math>
|<math> a \land a = a </math>
|
|-
|<math> a \lor 0 = a </math>
|<math> a \land 1 = a </math>
| rowspan=2 |
|-
|<math> a \lor 1 = 1 </math>
|<math> a \land 0 = 0 </math>
|-
|<math> \lnot 0 = 1 </math>
|<math> \lnot 1 = 0 </math>
| 0-дең өҫтәлмәһе 1 һәм киреһенсә
|-
|<math> \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b</math>
|<math> \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b</math>
| [[де Морган закондары]]
|-
| <math> \lnot \lnot a = a </math>.
|
| [[инволюция (математика)|инҡар итеүҙең инволютивлығы]], [[Икеләтә инҡар итеү законы|Икеләтә инҡар итеү законын бөтөрөү]].
|}

== Төп тождестволар ==
Был бүлектә юғарыла тасуирланған үҙсәнлектәр һәм аксиомалар, тағы ла бер нисәү өҫтәлеп, ҡабатлана.

Юғарыла тасуирланған үҙсәнлектәр һәм аксиомаларҙың йыйылма таблицаһы:
{| cellpadding=5
|<math> a \lor b = b \lor a </math>
|<math> a \land b = b \land a </math>
|1 [[коммутативлыҡ]], [[урын алмаштырыу үҙсәнлеге]]
|-
|<math> a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c </math>
|<math> a \land (b \land c) = (a \land b) \land c </math>
|2 [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]], [[төркөмләү үҙсәнлеге]]
|-
|3.1 дизъюнкцияға ҡарата конъюнкция <math> a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) </math>
|3.2 конъюнкцияға ҡарата дизъюнкция <math> a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) </math>
|3 [[дистрибутивлыҡ]], [[таратыу үҙсәнлеге]]
|-
|<math> a \lor \lnot a = 1 </math>
|<math> a \land \lnot a = 0 </math>
|4 [[комплементлыҡ]], [[өҫтәмәлек]] (инҡар итеү үҙсәнлектәре)
|-
|<math> \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b</math>
|<math> \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b</math>
| 5 [[де Морган закондары]]
|-
|<math> a \lor (a \land b) = a </math>
|<math> a \land (a \lor b) = a </math>
| 6 йотоу закондары
|-
|<math>a \lor(\lnot a \land b) = a \lor b</math>
|<math>a \land(\lnot a \lor b) = a \land b</math>
| 7 Блейк-Порецкий законы
|-
| <math> a \lor a = a</math>
|<math> a \land a = a </math>
| 8 [[Идемпотентлыҡ]]
|-
| <math> \lnot \lnot a = a </math>
|
| 9 [[инволюция (математика)|инҡар итеүҙең инволютивлығы]], [[Икеләтә инҡар итеү законы|Икеләтә инҡар итеү законын бөтөрөү]]
|-
|<math> a \lor 0 = a </math>
|<math> a \land 1 = a </math>
| rowspan=3 | 10 константалар үҙсәнлектәре
|-
|<math> a \lor 1 = 1 </math>
|<math> a \land 0 = 0 </math>
|-
| 0-дең өҫтәмәһе 1 <math> \lnot 0 = 1 </math>
| 1-ҙең өҫтәмәһе 0 <math> \lnot 1 = 0 </math>
|-
| <math> (a \lor b)\land(\lnot a \lor b)=b</math>
|<math>  (a \land b) \lor (\lnot a \land b)=b</math>
| 11 Көйләнеү
|}

{{seealso|Логика алгебраһы#Логик операциялар үҙсәнлектәре}}

== Миҫалдары ==
* Иң ябай тривиаль булмаған Буль алгебраһы бөтәһе ике элементтан тора, 0 һәм 1, ә унда ғәмәлдәр түбәндәге таблица менән бирелә:
{|
|-
| width="80" |
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0"
|-
! ∧ || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1
|}
|
| width="40" |
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0"
|-
! ∨ || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 1
|}
|
| width="40" |
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0"
|-
! a || 0 || 1
|-
! ¬a
| 1 || 0
|}
|}
: Был Буль алгебраһы йышыраҡ [[логика|логикала]] ҡулланыла, сөнки ул классик [[фекер иҫәпләмәһе]]нең [[теүәл модель|теүәл моделы]] булып тора. Был осраҡта 0 ''Ялған'', 1 — ''дөрөҫлөк'' тип атала. Буль операциялары һәм үҙгәреүсәндәр ингән аңлатмаларҙың  фекер формалары булалар.
* Был күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге ''S'' ∨ := ∪ (берекмә), ∧ := ∩ (киҫелеш) һәм өҫтәлмәлек унар операцияларына ҡарата Буль алгебраһын төҙөй. Бында иң бәләкәй элемент — [[буш күмәклек]], ә иң ҙуры — бөтә ''S''.
* Бирелгән <math>m</math> [[квадраттарҙан азат һан|квадраттарҙан азат]] натураль һанының <math>U</math> бөтә натураль бүлеүселәре күмәклеген ҡарайыҡ. <math>U</math> күмәклегендә ике бинар операция бирәйек: [[Иң ҙур уртаҡ бүлеүсе|иң ҙур уртаҡ бүлеүсене]] табыу (конъюнкция аналогы) һәм [[Иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсе|иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсене]] табыу (дизъюнкция аналогы); <math>d</math> бүлеүсеһенә <math>m/d</math> бүлеүсеһен ярашлы ҡуйыусы бер урынлы операция инҡар итеү ролен уйнай. Килеп сыҡҡан структура Буль алгебраһы була; унда Буль нуленең һәм берәмегенең аналогтары булып ярашлы рәүештә 1 һәм <math>m</math> һандары тора. Юғарыла килтерелгән Буль алгебраһының дөйөм аксиомаларын һәм үҙсәнлектәрен <math>U</math> күмәклеге өсөн ҡулланыу күп кенә файҙалы һәм бик үк күренеп тормаған теоретик-һанлы тождестволар бирә<ref>{{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики |заглавие=За страницами учебника математики : Арифметика. Алгебра. Геометрия : Кн. для учащихся 10-11-х кл. общеобразоват. учреждений |ссылка=https://search.rsl.ru/ru/record/01001733870 |место=М. |издательство=Просвещение : АО "Учеб. лит." |год=1996 |страницы=197 |страниц=319}}</ref>.
* Ниндәй ҙә булһа фекер иҫәпләмәһенең [[Линденбаум — Тарский алгебраһы]] (был иҫәпләмәлә ярашлы операциялар менән тиң көслөлөккә ҡарата бөтә раҫлауҙарҙың [[факторкүмәклек|факторкүмәклеге]]) Буль алгебраһы була. Был осраҡта иҫәпләмәләр формулаларының дөрөҫлөк баһаһы булып Линденбаум — Тарский алгебраһының ике элементлы Буль алгебраһына [[гомоморфизм]]ы тора.
* Әгәр ''R'' — ирекле [[ҡулса (алгебра)|ҡулса]] булһа, ул саҡта унда ''үҙәк идемпотенттар'' күмәклеген ошолай билдәләргә мөмкин: <br> ''A'' = { ''e'' ∈ ''R'' : ''e''² = ''e'', ''ex'' = ''xe'', ∀''x'' ∈ ''R'' }, <br> ул саҡта ''A'' күмәклеге ''e'' ∨ ''f'' := ''e'' + ''f'' − ''ef'' һәм ''e'' ∧ ''f'' := ''ef'' операциялары менән Буль алгебраһы була.

== Ҡапма-ҡаршылыҡ ҡағиҙәһе ==
Буль алгебраларында ҡапма-ҡаршылыҡлы раҫлауҙар бар, улар йә бер үк ваҡытта дөрөҫ, йәки бер үк ваҡытта дөрөҫ түгел. Атап әйткәндә, әгәр ниндәйҙер Буль алгебраһында дөрөҫ булған формулала, бөтә конъюнкцияларҙы дизъюнкцияларға, 0-де 1-гә, ≤ -ҙе >-ға һәм киреһенсә йәки <-ҙе ≥ -гә һәм киреһенсә алмаштырғанда, шулай уҡ был Буль алгебраһында дөрөҫ булған формула килеп сыға. Был аксиомаларҙың бындай алмаштырыуҙарға ҡарата  симметриялығынан килеп сыға.

== Буль алгебраларының вәкилдәре  ==
Теләһә ниндәй сикле Буль алгебра ниндәйҙер күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре Буль алгебраһына изоморфлы икәнен иҫбат итергә мөмкин. Ошонан, теләһә ниндәй сикле Буль алгебрала элементтар һаны икенең дәрәжәһе булыуы килеп сыға. 

[[Буль алгебраларының вәкилдәре тураһында Стоун теоремаһы|Стоун теоремаһы]], теләһә ниндәй сикле Буль алгебра ниндәйҙер [[компакт]]лы [[тулыһынса бәйле булмаған арауыҡ|тулыһынса бәйле булмаған]] [[Хаусдорф арауығы|Хаусдорф]] топологик арауығының бөтә асыҡ-йомоҡ күмәклектәренең Буль алгебраһына изоморфлы.

== Аксиомалаштырыу ==
[[1933 йыл]]да америка математигы {{не переведено 5|Хантингтон, Эдвард (математик)|Хантингтон||Edward Vermilye Huntington}} Буль алгебралары өсөн түбәндәге аксиомалаштырыуҙы тәҡдим итә:
# ''Коммутативлыҡ аксиомаһы'': ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''.
# ''Ассоциативлыҡ аксиомаһы'': (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z'').
# ''Хантингтон тигеҙләмәһе'': ''n''(''n''(''x'') + ''y'') + ''n''(''n''(''x'') + ''n''(''y'')) = ''x''.
Бында Хантингтондың тамғалауҙары ҡулланылған: + дизъюнкцияны аңлата, n — инҡар итеүҙе.

[[Роббинс, Герберт|Герберт Роббинс]] шундай һорау ҡуя: түбәндәгесә яҙылған һуңғы аксиоманы ҡыҫҡартып буламы, йәғни түбәндә яҙылған аксиомалар менән билдәләнгән структура Буль алгебраһы буламы?

Роббинс алгебраһын аксиомалаштырыу:
# ''Коммутативлыҡ аксиомаһы'': ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''.
# ''Ассоциативлыҡ аксиомаһы'': (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z'').
# ''Роббинс тигеҙләмәһе'': ''n''(''n''(''x'' + ''y'') + ''n''(''x'' + ''n''(''y''))) = ''x''.
Был һорау 1930-сы йылдарҙан алып асыҡ ҡала һәм [[Тарский, Альфред|Тарскийҙың]] һәм уның уҡыусыларының яратҡан һорауы була.

[[1996 йыл]]да [[МакКьюн, Вильям|Вильям МакКьюн]], уға тиклем алынған ҡайһы бер һөҙөмтәләрҙе ҡулланып, был һорауға ыңғай яуап бирә. Шулай итеп, теләһә ниндәй Роббинс алгебраһы Буль алгебраһы була.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Логика алгебраһы]]
* [[Буль функцияһы]]
* [[Битовые операции]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор          = Владимиров Д. А.
 |часть          = 
 |заглавие       = Булевы алгебры
 |оригинал       = 
 |ссылка         = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vladimirov1969ru.djvu
 |ответственный  = 
 |издание        = 
 |место          = {{М.}}
 |издательство   = «Наука»
 |год            = 1969
 |том            = 
 |страницы       = 
 |страниц        = 320
 |серия          = 
 |isbn           = 
 |тираж          = 
 |ref            = Владимиров
}}
* {{книга|автор=Кузнецов О. П.|заглавие=Дискретная математика для инженера|место={{СПб}}|издательство=Лань|год=2007|страниц=394|ссылка=https://search.rsl.ru/ru/record/01003342716|ref = Кузнецов}}
* {{книга|автор=Иванов Б. Н.|часть=|заглавие=Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс|оригинал=|ссылка=http://bnivanov.ru/?p=761|ответственный=|издание=|место={{М.}}|издательство=«Известия»|год=2011|том=|страницы=|страниц=512|серия=|isbn=|тираж=|ref=Кузнецов}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга
 |автор          = Гуров С.И.
 |часть          = 
 |заглавие       = Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры
 |оригинал       = 
 |ссылка         = https://www.researchgate.net/publication/279495665_Bulevy_algebry_uporadocennye_mnozestva_resetki_Opredelenia_svojstva_primery
 |ответственный  = 
 |издание        = 
 |место          = {{М.}}
 |издательство   =  Либроком
 |год            = 2013
 |том            = 
 |страницы       = 
 |страниц        = 352
 |серия          = 
 |isbn           = 
 |тираж          = 
}}

{{Дискретлы математика}}

[[Категория:Рәшәткәләр теорияһы]]
[[Категория:Математик логика]]
[[Категория:Буль алгебраһы|*]]
[[Категория:Дискретлы математика]]