Алгебраик һандар яланы

Алгебраик һандар яланы
Ҡайҙа өйрәнелә	Категория:Алгебраик һандар теорияһы
Вики-проект	Проект:Математика[d]

Алгебраическое число менән бутамаҫҡа.

Алгебраик һанлы ялан, алгебраик һандар яланы (рус. Алгебраическое числовое поле) (йәки ябай ғына һандар яланы) — ул $\mathbb {Q}$ рациональ һандар яланының сикле (һәм шуға күрә — алгебраик) киңәйеүе. Шулай итеп, һандар яланы — ул $\mathbb {Q}$ ингән һәм уның өҫтөндә сикле үлсәмле векторлы арауыҡ булған ялан. Был осраҡта ҡайһы бер авторҙар, мәҫәлән, М. М. Постников «Галуа теорииһында», комплекслы һандарҙың теләһә ниндәй аҫяланын һанлы ялан тип атай.

Һандар яланы, дөйөм алғанда, рациональ һандар яланының алгебраик киңәйеүе, һандарҙың алгебраик теорияһының төп өйрәнеү объекты булып тора.

Миҫалдар

• Иң бәләкәй һәм база һанлы ялан — $\mathbb {Q}$ рациональ һандар яланы.
• $\mathbb {Q} (i)$ тип тамғаланған Гаусс рациональ һандары — һанлы яландың беренсе тривиаль булмаған өлгөһө. Уның элементтары —

$a+bi$ күренешендәге аңлатмалар,

бында $a$ һәм $b$ рациональ һандар, $i$ — уйланма берәмек. Бындай аңлатмаларҙы комплекслы һандар менән ғәмәлдәрҙең ғәҙәттәге ҡағиҙәләре буйынса ҡушырға һәм ҡабатларға мөмкин, һәм һәр нулдән айырмалы элемент өсөн кире элемент бар, был түбәндәге тигеҙлектән күренә

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

Бынан рациональ Гаусс һандары, $\mathbb {Q}$ өҫтөндө ике үлсәмле арауыҡ булып торған (йәғни квадратик ялан булған) ялан төҙөй икәне килеп сыға.

• Дөйөмөрәк, теләһә ниндәй квадраттарҙан азат бөтөн $d$ һаны өсөн $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $\mathbb {Q}$ яланының квадратик киңәйеүе була.
• $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ түңәрәк яланы $\mathbb {Q}$ яланына берәмектән n-сы дәрәжә примитив тамыр өҫтәп барлыҡҡа килә. Ялан уның бөтә дәрәжәләрен (йәғни берҙән бөтә n-сы дәрәжә тамырҙарын) үҙ эсенә алырға тейеш, уның $\mathbb {Q}$ өҫтөндә үлсәме $varphi(n)$ Эйлер функцияһына тигеҙ.
• Ысын һәм комплекслы һандар рациональ һандар өҫтөндә сикһеҙ дәрәжәгә эйә, шуға күрә улар һанлы ялан булмайҙар. Был уның иҫәпләмәле булмауынан килә: теләһә ниндәй һанлы ялан иҫәпләмәле.
• Бөтә алгебраик һандар яланы $\mathbb {A}$ һанлы ялан түгел. $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$ киңәйеүе алгебраик булһа ла, ул сикле түгел.

Һанлы яландың бөтөндәр ҡулсаһы

«Кольцо целых» тураһында эҙләү ошонда йүнәлтелә. Был турала айырым мәҡәлә яҙырға.

Һанлы ялан $\mathbb {Q}$ яланының алгебраик киңәйеүе булғанлыҡтан, уның теләһә ниндәй элементы ниндәйҙер рациональ коэффициентлы күпбыуындың тамыры була (йәғни алгебраик була). Бынан тыш, һәр элемент бөтөн коэффициентлы күпбыуындың тамыры булып тора, сөнки бөтә рациональ коэффициенттарҙы ла знаменателдәрҙең ҡабатландығына ҡабатларға мөмкин. Әгәр бирелгән элемент ниндәйҙер бөтөн коэффициентлы унитар күпбыуындың тамыры булһа, ул бөтөн элемент (йәки алгебраик бөтөн һан) тип атала. Һанлы яландың бөтә элементтары ла бөтөн түгел: мәҫәлән, $\mathbb {Q}$-ның берҙән-бер бөтөн элементтары — ғәҙәттәге бөтөн һандар икәнен еңел күрһәтеп була.

Ике алгебраик бөтөн һандың суммаһы һәм ҡабатландығы — тағы ла алгебраик бөтөн һан булыуын иҫбат итеп була, шуға күрә бөтөн элементтар $K$ һанлы яланының аҫҡулсаһын төҙөйҙәр, ул $K$ яланының бөтөндәр ҡулсаһы тип атала һәм ${\mathcal {O}}_{K}$ тип тамғалана. Яланға нуллдең бүлеүселәре инмәй һәм был үҙсәнлек аҫҡулсаға күскәндә һаҡлана, шуға күрә бөтөндәр ҡулсаһы тулы; ${\mathcal {O}}_{K}$ ҡулсаһының бүлендектәр яланы — ул $K$ яланы үҙе. Теләһә ниндәй һанлы яландың бөтөндәр ҡулсаһы түбәндәге өс үҙсәнлеккә эйә: ул бөтөн йомоҡ, Нётер ҡулсаһы һәм бер үлсәмле. Шундай үҙсәнлектәргә эйә булған коммутатив ҡулса Рихард Дедекинд хөрмәтенә Дедекинд ҡулсаһы тип атала.

Ябайҙарға тарҡатыу һәм кластар төркөмө

Ирекле Дедекинд ҡулсаһында нулдән айырмалы идеалдарҙың ябай идеалдар ҡабатландығына берҙән-бер тарҡалмаһы бар. Әммә һәр бөтөндәр ҡулсаһы факториаллыҡ үҙсәнлеген ҡәнәғәтләндермәй: квадратик яландың бөтөндәр ҡулсаһы өсөн ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ тарҡалмаһы берҙән-бер түгел:

$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

Был ҡулсала норма индереп, был тарҡалмалар ысынлап та төрлө, йәғни береһен икенсеһенән кире элементҡа ҡабатлап табып булмай икәнен күрһәтергә мөмкин.

Факториаллыҡ үҙсәнлегенең боҙолоу дәрәжәһен идеалдар класы төркөмө ярҙамында үлсәйҙәр, был төркөм бөтөндәр ҡулсаһы өсөн һәр ваҡыт сикле һәм уның тәртибен кластар һаны тип атайҙар.

Һанлы яландың базистары

Бөтөн базис

n-сы дәрәжә F һанлы яланының бөтөн базисы — ул F яланының бөтөндәр ҡулсаһының n элементынан торған

B = {b₁, …, b_n} шундай күмәклек, бында F яланының O_F бөтөндәр ҡулсаһының теләһә ниндәй элементын берҙән-бер ысул менән B элементтарының Z-һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә яҙырға мөмкин; йәғни O_F-тан x өсөн берҙән-бер

x = m₁b₁ + … + m_nb_n тарҡалмаһы бар,

бында m_i — ғәҙәттәге бөтөн һандар. Был осраҡта F-тың теләһә ниндәй элементын түбәндәгесә яҙырға мөмкин

m₁b₁ + … + m_nb_n,

бында m_i — рациональ һандар. F-тың бөтөн элементтары шундай үҙсәнлек менән айырылып торалар, улар, тап улар өсөн бөтә m_i бөтөн булған элементтар.

Локалләштереү һәм Фробениус эндоморфизмы кеүек инструменттарҙы ҡулланып, теләһә ниндәй һанлы ялан өсөн шундай базис төҙөргә мөмкин. Уны төҙөү күп компьютер алгебраһы системаларында урынлаштырылған функция булып тора.

Дәрәжәле базис

F — n-сы дәрәжә һанлы ялан булһын, ти. F-тың бөтә мөмкин булған базистары араһында (Q-векторлы арауыҡ кеүек), дәрәжәле базистар, йәғни түбәндәге күренештәге базистар бар

ниндәйҙер x ∈ F өсөн B_x = {1, x, x², …, xⁿ⁻¹}

. Примитив элемент тураһында теоремаға ярашлы, бындай x һәр саҡ бар, уны бирелгән киңәйеүҙең примитив элементы тип атайҙар.

Норма һәм эҙ

Алгебраик һанлы ялан $\mathbb {Q}$ өҫтөндә сикле үлсәмле векторлы арауыҡ булып тора (уның үлсәмен $n$ тип тамғалайыҡ), һәм яландың ирекле элементына ҡабатлау был арауыҡтың һыҙыҡлы үҙгәртеүе була. $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ — F-тың ниндәй ҙә булһа базисы булһын, ти, ул саҡта $x\mapsto \alpha x$ үҙгәртеүенә түбәндәге шарт менән билдәләнгән $A=(a_{ij})$ матрицаһы ярашлы

$\alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .$

Был матрицаның элементтары базисты һайлауға бәйле, әммә уға матрицаның бөтә инварианттары ла бәйле түгел, мәҫәлән билдәләүсе һәм эҙ кеүектәр. Алгебраик киңәйтеүҙәр контексында элементҡа ҡабатлау матрицаһы билдәләүсеһе был элементтың нормаһы ($N(x)$ тип тамғалана); матрицаның эҙе — элементтың эҙе (${\text{Tr}}(x)$ тип тамғалана) тип атала.

Элементтың эҙе F-та һыҙыҡлы функционал була:

${\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)$ һәм ${\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q}$.

Норма мультипликатив һәм тиң функция була:

$N(xy)=N(x)\cdot N(y)$ һәм $N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q}$.

Баштағы базис сифатында бөтөн базисты һайларға мөмкин^[⇨], был базиста бөтөн алгебраик һанға (йәғни бөтөндәр ҡулсаһы элементына^[⇨]) ҡабатлауға бөтөн элементлы матрица ярашлы була. Тимәк, бөтөндәр ҡулсаһының теләһә ниндәй элементының эҙе һәм нормаһы бөтөн һан була.

Норманы ҡулланыу миҫалы

$d$ — квадраттарҙан азат натураль һан булһын, ул саҡта $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ — квадратик ялан (атап әйткәндә, һанлы ялан) булып тора. Был яланда $(1,{\sqrt {d}})$ бөтөн базисын һайлайбыҙ (${\sqrt {d}}$ — бөтөн элемент, сөнки ул $x^{2}-d$) килтерелгән күпбыуынының тамыры булып тора. Был базиста $a+b{\sqrt {d}}$-ға ҡабатлауға

${\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}$ матрицаһы ярашлы.

Ошонан сығып, $N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}$. $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ ҡулсаһының элементтарында был норма бөтөн ҡиммәттәр ҡабул итә. Норма $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ мультипликатив төркөмөнөң $\mathbb {Z}$ мультипликатив төркөмөнә гомоморфизмы була, шуға күрә ҡулсаның әйләндерелмәле элементтарының нормаһы тик $1$ йәки $-1$ генә тигеҙ була ала. $a^{2}-db^{2}=1$ Пелль тигеҙләмәһен сығарыу өсөн, бөтөндәр ҡулсаһының бөтә әйләндерелмәле элементтарын (шулай уҡ ҡулса берәмектәре тип аталған) табыу һәм улар араһында нормаһы $1$ булғандарын айырып алыу етә. Берәмектәр тураһында Дирихле теоремаһына ярашлы, был ҡулсаның бөтә әйләндерелмәле элементтары бер элементтың дәрәжәләре булып торалар ($-1$)-гә ҡабатлауға тиклем аныҡлыҡ менән), шуға күрә Пелль тигеҙләмәһенең бөтә сығарылыштарын табыу өсөн бер фундаменталь сығарылышын табыу етә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Теория Куммера

Әҙәбиәт

• Х. Кох. Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000