Асыҡ күмәклек

Асыҡ күмәклек
Ҡайҙа өйрәнелә	топология
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Не включает	граница[d]
Ҡапма-ҡаршыһы	замкнутое множество[d]

Асыҡ күмәклек — ул һәр элементы унда ниндәйҙер тирә-яғы менән бергә ингән күмәклек (метрик арауыҡтарҙа, айырым алғанда, һанлы тура һыҙыҡта). Мәҫәлән, шарҙың эсе (сигенән башҡа) асыҡ күмәклек булып тора, ә шар сиге менән бергә — асыҡ түгел.

«Асыҡ күмәклек» термины топологик арауыҡтарҙың аҫкүмәклектәренә ҡулланыла һәм был осраҡта бер нисек тә күмәклектең «үҙен» характерламай (күмәклектәр теорияһы мәғәнәһендә лә, хатта унда индуцирланған топологик структура мәғәнәһендә лә). Асыҡ күмәклек дөйөм топологияның төп төшөнсәһе булып тора.

Евклид арауығы

$U\subset \mathbb {R} ^{n}$ Евклид арауығының ниндәйҙер аҫкүмәклеге булһын, ти. Ул саҡта $U$, әгәр $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$, бында $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}$ — $x_{0}$ нөктәһенең ε-тирә-яғы булһа, асыҡ тип атала.

Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр теләһә ниндәй нөктәһе эске нөктә булһа, күмәклек асыҡ була.

Мәҫәлән, $(a,b)$ интервалы ысын тура һыҙыҡтың аҫкүмәклеге булараҡ асыҡ күмәклек булып тора. Шул уҡ ваҡытта $[a,b]$ киҫеге йәки $[a,b)$ ярыминтервалы асыҡ түгелдәр, сөнки $a$ нөктәһе күмәклеккә инә, ләкин уның бер тирә-яғы ла был күмәклеккә инмәй.

Метрик арауыҡ

$(X,\rho )$ — ниндәйҙер метрик арауыҡ булһын, ти, һәм $U\subset X$. Ул саҡта $U$, әгәр $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$, бында $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ —$\rho$ метрикаһына ҡарата $x_{0}$ нөктәһенең ε-тирә-яғы булһа, асыҡ тип атала. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр $U$ күмәклегенең һәр $x_{0}$ нөктәһе был күмәклеккә үҙәге $x_{0}$ нөктәһендә булған ниндәйҙер асыҡ шар менән бергә инһә, $U$ күмәклеге $(X,\rho )$ метрик арауығында асыҡ күмәклек тип атала.

Топологик арауыҡ

Дөйөм топологияның асыҡ күмәклеге төшөнсәһе юғарыла килтерелгән билдәләмәләрҙең дөйөмләштерелеүе булып тора.

$(X,{\mathcal {T}})$ топологик арауығына билдәләмә буйынса уның ${\mathcal {T}}$ асыҡ аҫкүмәклектәре — $X$ күмәклегендә бирелгән «топологияһы» теҙмәһе инә. Топологияның элементы булып торған (йәғни $U\in {\mathcal {T}}$) $U\subset X$ аҫкүмәклеге ${\mathcal {T}}$ топологияһына ҡарата асыҡ күмәклек тип атала.

Асыҡ күмәклектәрҙең мөһим аҫкласы каноник асыҡ күмәклектәр төҙөй, уларҙың һәр ҡайһыһы ниндәй ҙә булһа йомоҡ күмәклектең эсе (асыҡ ядроһы) булып тора (һәм, шунлыҡтан, үҙенең көбөнөң эсе менән тап килә). Һәр $G$ асыҡ күмәклеге иң бәләкәй каноник асыҡ күмәклеккә инә — ул $G$ күмәклегенең көбөнөң эсе булып тора.

Тарихы

Асыҡ күмәклектәр Рене-Луи Бэр тарафынан 1899 йылда индерелә.