Ньютон-Лейбниц теоремаһы

Ньютон-Лейбниц формулаһы (анимация)

Ньютон-Лейбниц формулаһы йәки анализдың төп теоремаһы ике операция араһында нисбәт бирә: Риман интегралын алыу һәм алынманы иҫәпләү.

Әгәр $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ киҫегендә өҙлөкһөҙ функция һәм $\textstyle \Phi (x)$ — уның был киҫектә теләһә ниндәй алынмаһы булһа, ул саҡта түбәндәге тигеҙлек дөрөҫ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Иҫбатлау  

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана интегрируемая функция $\textstyle f$.

Зададим произвольное значение $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ и определим новую функцию $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$. Она определена для всех значений $\textstyle x\in \left[a,b\right]$, потому что мы знаем, что если существует интеграл от $\textstyle f$ на $\left[a,b\right]$, то существует также интеграл от $\textstyle f$ на $\left[a,x\right]$, где $a\leqslant x\leqslant b$. Напомним, что мы считаем по определению

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (1)

Заметим, что

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Покажем, что $\textstyle F$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$. В самом деле, пусть $x,x+h\in \left[a,b\right]$; тогда

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{(x+h)}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt$

и если $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$, то

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0$

Таким образом, $\textstyle F$ непрерывна на $\left[a,b\right]$ независимо от того, имеет или не имеет $\textstyle f$ разрывы; важно, что $\textstyle f$ интегрируема на $\left[a,b\right]$.

Файл:График.JPG

На рисунке изображён график $\textstyle f$. Площадь переменной фигуры $\textstyle aABx$ равна $\textstyle F(x)$. Её приращение $\textstyle F(x+h)-F(x)$ равно площади фигуры $\textstyle xBC(x+h)$, которая в силу ограниченности $\textstyle f$, очевидно, стремится к нулю при $h\to 0$ независимо от того, будет ли $\textstyle x$ точкой непрерывности или разрыва $\textstyle f$, например точкой $\textstyle x-d$.

Пусть теперь функция $\textstyle f$ не только интегрируема на $\left[a,x\right]$, но непрерывна в точке $x\in \left[a,x\right]$. Докажем, что тогда $\textstyle F$ имеет в этой точке производную, равную

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

В самом деле, для указанной точки $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1) ,$h\to 0$ (3)

Мы положили $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$, а так как $\textstyle f(x)$ постоянная относительно $\textstyle t$, то $\textstyle \int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt=f(x)h$. Далее, в силу непрерывности $\textstyle f$ в точке $\textstyle x$ для всякого $\textstyle \varepsilon >0$ можно указать такое $\textstyle \delta$, что $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ для $\textstyle |x-t|<\delta$.

Поэтому

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при $\textstyle h\to 0$.

Переход к пределу в (3) при $\textstyle h\to 0$ показывает существование производной от $\textstyle F$ в точке $\textstyle x$ и справедливость равенства (2). При $\textstyle x=a,b$ речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция $\textstyle f$ непрерывна на $\left[a,b\right]$, то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (4)

имеет производную, равную $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$. Следовательно, функция $\textstyle F(x)$ есть первообразная для $\textstyle f$ на $\left[a,b\right]$.

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке $\left[a,b\right]$ функция $\textstyle f$ имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь $\textstyle \Phi$ есть произвольная первообразная функции $\textstyle f(x)$ на $\left[a,b\right]$. Мы знаем, что $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ , где $\textstyle C$ — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве $\textstyle x=a$ и учитывая, что $\textstyle F(a)=0$, получим $\textstyle \Phi (a)=C$.

Таким образом, $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$. Но

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Поэтому

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=a\\\\x=b\end{matrix}}$

Тарихы

Математик анализ барлыҡҡа килгәнгә тиклем үк был теорема (геометрик йәки механик формулировкала) Грегори һәм Барроуға билдәле була. Мәҫәлән, Барроу был фактты 1670 йылда квадратура һәм тейеүселәрҙе үткәреү мәсьәләләре араһында бәйләнеш итеп тасуирлай.

Ньютон теореманы һүҙ менән ошолай әйтеп бирә: «Абсциссаның ниндәйҙер өлөшөнә теркәлгән майҙандың тейешле ҡиммәтен табыу өсөн, был майҙанды һәр саҡ z [алынманың], майҙандың башы һәм аҙағы менән сикләнгән абсциссаның ярашлы өлөштәрендәге ҡиммәттәренең айырмаһына тигеҙ итеп алырға кәрәк».

Лейбницта ла был формуланың хәҙерге күренештә яҙылышы юҡ, сөнки аныҡ интегралдың тамғаланышы күпкә һуң барлыҡҡа килә, XIX быуат башында Фурье индерә.

Хәҙерге формулировканы Лакруа XIX быуат башында килтерә.

Лебег интегралы

$F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ функцияһы $f(x)$ суммаланыусы функцияһының аныҡһыҙ интегралы булып тора. $F(x)$ функцияһы абсолют өҙлөкһөҙ була.

(Лебег теоремаһы): $f(x)$ $[a,b]$ киҫегендә абсолют өҙлөкһөҙ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $[a,b]$ киҫегендә шундай интегралланыусы $g$ функцияһы булһа, бында $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$ $\forall x\in [a,b]$.

Был теореманан, әгәр $f$ $[a,b]$ киҫегендә абсолют өҙлөкһөҙ булһа, уның сығарылмаһы һәр ерҙә тиерлек бар, интегралланыусы һәм түбәндәге тигеҙлекте ҡәнәғәтләндерә икәне килеп сыға:

$f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$, $x\in [a,b]$.

Ҡайһы бер эҙемтәләре

Был теореманың эҙемтәһе сифатында үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырыу формулаһын, шулай уҡ монотон функцияларҙы Лебег тарҡатыуы тураһында теореманы әйтергә була.

Өлөштәре буйынса интеграллау

$f$ һәм $g$ — $[a,b]$ киҫегендә абсолют өҙлөкһөҙ функциялар икән, ти. Ул саҡта:

$\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$.

Формула анализдың төп теоремаһынан һәм Лейбниц ҡағиҙәһенән шунда уҡ килеп сыға.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Стокс теоремаһы
• Гриндың дискрет теоремаһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Алгебраның төп теоремаһы
• Арифметиканың төп теоремаһы

Әҙәбиәт

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.