Тура мөйөшлө координаталар системаһы

Тура мөйөшлө координаталар системаһы — яҫылыҡта йәки арауыҡта үҙ-ара перпендикуляр күсәрле тура һыҙыҡлы координаталар системаһы. Иң ябай һәм йыш ҡулланылыусы координаталар системаһы. Теләһә ниндәй үлсәмле арауыҡ өсөн бик еңел һәм тура дөйөмләштерелә, был да уның киң ҡулланылыуына булышлыҡ итә.

Бәйле терминдар: күсәрҙәрендә бер төрлө масштаблы тура мөйөшлө координаталар системаһын ғәҙәттә декарт системаһы тип атайҙар (Рене Декарт исеме менән аталған), ә дөйөм декарт координаталар системаһы тип аффиналар координаталар системаһын (тура мөйөшлө түгел) атайҙар^[1].

Яҫылыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

Яҫылыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы ике үҙ-ара перпендикуляр координаталар күсәрҙәре $X'X$ һәм $Y'Y$ менән яһала. Координаталар күсәрҙәре $O$ нөктәһендә киҫешә, был нөктә координаталар башы тип атала, һәр күсәрҙә ыңғай йүнәлеш һайлана .

Яҫылыҡта $A$ нөктәһенең урыны ике $x$ һәм $y$ координаталары менән билдәләнә. $x$ координатаһы һайланған үлсәү берәмектәрендә $OB$ киҫегенең оҙонлоғона, $y$ координатаһы — $OC$ киҫегенең оҙонлоғона тигеҙ. $OB$ һәм $OC$ киҫектәре $A$ нөктәһенән ярашлы рәүештә $Y'Y$ һәм $X'X$ күсәрҙәренә параллель үткәрелгән һыҙыҡтар менән билдәләнә.

Шуның менән бергә, әгәр $B$ нөктәһе $OX'$ нурында ятһа (ә һүрәттәге кеүек $OX$ нурында түгел), $x$ координатаһына минус тамғаһы ҡуйыла. Әгәр $C$ нөктәһе $OY'$ нурында ятһа, $y$ координатаһына минус тамғаһы ҡуйыла. Шулай итеп, $OX'$ һәм $OY'$ нурҙары координаталар күсәрҙәренең тиҫкәре йүнәлештәре булып торалар (һәр координаталар күсәре һанлы күсәр итеп ҡарала).

$x$ күсәре абсциссалар күсәре, ә $y$ - ординаталар күсәре тип атала. $x$ координатаһы $A$ нөктәһенең абсциссаһы, $y$ координатаһы — $A$ нөктәһенең ординатаһы тип атала.

Был символик рәүештә ошолай яҙыла:

A(x,\;y)

йәки

A=(x,\;y)

йәки координатаның конкрет нөктәгә ҡарауы индекс ярҙамында күрһәтелә:

x_{A},x_{B}

һәм башҡалар.

Уң яҡлы координаталар системаһында ыңғай йүнәлеште, $Y'Y$ күсәре өҫкә йүнәлгәндә, $X'X$ күсәре уң яҡҡа ҡарарлыҡ итеп һайлайҙар. Ғәҙәттә уң яҡлы координаталар системаһы менән ҡулланыу ҡабул ителгән (әгәр киреһе иҫкәртелмәһә йәки күренеп тормаһа — мәҫәлән, һыҙманан; ҡайһы берҙә ниндәйҙер сәбәптәр буйынса һул яҡлы координаталар системаһын ҡулланыу уңайлыраҡ була.
$X'X$ $X'X$ һәм $Y'Y$ $Y'Y$ координаталар күсәрҙәре төҙөгән дүрт мөйөш (I, II, III, IV), координаталар мөйөштәре, сиректәр йәки <яҫылыҡ> квадранттары тип атала (1-се һүрәтте ҡарағыҙ).
- I координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары һәм ординаталары ыңғай.
- II координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары тиҫкәре һәм ординаталары ыңғай.
- III координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары һәм ординаталары тиҫкәре
- IV координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары ыңғай һәм ординаталары тиҫкәре.

Арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

Арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы (был параграфта өс үлсәмле арауыҡ күҙ уңында тотола, күберәк үлсәмле арауыҡтар тураһында — түбәндәрәк ҡарағыҙ) өс үҙ-ара перпендикуляр $OX$ , $OY$ һәм $OZ$ координаталар күсәрҙәре менән яһала. Координаталар күсәрҙәре $O$ нөктәһендә киҫешә, был нөктә координаталар башы тип атала, һәр күсәрҙә уҡ менән күрһәтелгән ыңғай йүнәлеш һәм күсәрҙәрҙә киҫектәрҙе үлсәү берәмеге һайлана. Үлсәү берәмеге ғәҙәттә (не обязательно^[2]) бөтә күсәрҙәр өсөн бер үк. $OX$ — абсциссалар күсәре, $OY$ — ординаталар күсәре, $OZ$ — аппликаталар күсәре.

Арауыҡта $A$ нөктәһенең урыны өс координата: $x$ , $y$ һәм $z$ менән билдәләнә. Һайланған үлсәү берәмектәрендә $x$ координатаһы $OB$ киҫегенең оҙонлоғона, $y$ координатаһы — $OC$ киҫегенең оҙонлоғона, $z$ координатаһы — $OD$ киҫегенең оҙонлоғона тигеҙ. Отрезки $OB$ , $OC$ һәм $OD$ киҫектәре $A$ нөктәһенән ярашлы рәүештә $YOZ$ , $XOZ$ һәм $XOY$ яҫылыҡтарына параллель үткәрелгән яҫылыҡтар менән билдәләнәләр.

x

координатаһы

A

нөктәһенең абсциссаһы,

y

координатаһы —

A

нөктәһенең ординатаһы,

z

координатаһы —

A

нөктәһенең аппликатаһы тип атала.

Символик рәүештә был ошолай яҙыла:

A(x,\;y,\;z)

йәки

A=(x,\;y,\;z)

йәки координатаның конкрет нөктәгә ҡарауы индекс ярҙамында күрһәтелә:

x_{A},\;y_{A},\;z_{A}

һәм башҡалар.

Һәр күсәр һанлы тура һыҙыҡ итеп ҡарала, йәғни ыңғай йүнәлеше бар, ә тиҫкәре нурҙа ятҡан нөктәләргә координаталарҙың тиҫкәре ҡиммәттәре бирелә (алыҫлыҡ минус тамғаһы менән алына). Йәғни, мәҫәлән, әгәр $B$ нөктәһе һүрәттәге кеүек $OX$ нурында түгел, ә уның $O$ нөктәһенән кире яҡҡа йүнәлгән дауамында ( $OX$ күсәренең тиҫкәре өлөшөндә) ятһа, ул саҡта $A$ нөктәһенең $x$ абсциссаһы тиҫкәре булыр ине (минус $OB$ алыҫлығына тигеҙ). Ҡалған ике күсәр өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.

Өс үлсәмле арауыҡта бөтә тура мөйөшлө координаталар системаһы ике класҡа бүленә — уң (шулай уҡ ыңғай, стандарт терминдары ҡулланыла) һәм һул. Ғәҙәттә һүҙһеҙ генә уң координаталар системын ҡулланырға тырышалар, ә уларҙы график һүрәтләгәндә, күсәрҙәрҙе, әгәр мөмкин булһа, бер нисә ғәҙәттәге (традицион) тороштарҙың береһендәге кеүек урынлаштыралар. (2-се һүрәттә уң координаталар системы һүрәтләнгән). Уң һәм һул координаталар системын боролош ярҙамында^[3], ярашлы күсәрҙәре (һәм уларҙың йүнәлештәре) тап килерлек итеп, тура килтереп һалып булмай. Ниндәйҙер конкрет алынған координаталар системаһы ниндәй класҡа ҡарай икәнен, уң ҡул ҡағиҙәһе, винт ҡағиҙәһе һәм башҡалар ярҙамында асыҡлап була (күсәрҙәрҙең ыңғай йүнәлештәрен, $OX$ күсәрен сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы 90°-ҡа борғанда, әгәр был боролошто $OZ$ күсәренең ыңғай йүнәлеше яғынан күҙәткәндә, уның ыңғай йүнәлеше $OY$ күсәренең ыңғай йүнәлеше менән тап килерлек итеп һайлайҙар).

Арауыҡ өс үҙ-ара перпендикуляр координаталар яҫылығы менә бүленгән һигеҙ өлкәнең һәр береһе октант тип атала.

Күп үлсәмле арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

Тура мөйөшлө координаталар системаһы теләһә ниндәй сикле үлсәмле арауыҡта ла, өс үлсәмле арауыҡтағыға оҡшаш рәүештә ҡулланылырға мөмкин. Координаталар күсәрҙәренең һаны арауыҡ үлсәменә тигеҙ була (был параграфта уны $n$ тип тамғаларбыҙ).

Координаталарҙы тамғалау өсөн ғәҙәттә^[4] төрлә хәрефтәр ҡулланмайҙар, ә бер үк хәрефте һанлы индекс менән ҡулланалар. Йышыраҡ был:

x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.

Был йыйылманан ирекле $i$ -нсы координатаны тамғалау өсөн:

x_{i},

индекслы хәреф ҡулланыла,

ә йыш ҡына $x_{i},$ тамғалауын бөтә йыйылманы тамғалау өсөн ҡулланалар, подразумевая, бында индекс бөтә: $i=1,2,3,\dots n$ ҡиммәттәр йыйылмаһын урап сыға тип күҙаллана.

Арауыҡтың теләһә ниндәй үлсәмендә тура мөйөшлө координаталар системаһы ике класҡа бүленә, уң һәм һул (йәки ыңғай һәм тиҫкәре). Күп үлсәмле арауыҡтар өсөн ниндәй ҙә булһа бер координаталар системаһын ирекле рәүештә (шартлы рәүештә) уң тип атайҙар, ә ҡалғандарын, улар шул уҡ йүнәлешлеме йәки түгелме булыуына бәйле рәүештә, уң йәки һул тип атайҙар^[5].

Ике үлсәмле квадрант һәм өс үлсәмле октант төшөнсәләренең $n$ -үлсәмле Евклид арауығы өсөн дөйөмләштерелгән төшөнсәһе — ортант йәки гипероктант.

Векторҙың тура мөйөшлө координаталары

Векторҙың тура мөйөшлө координаталарын билдәләү өсөн (теләһә ниндәй үлсәмле векторҙарҙы күрһәтеү өсөн ҡулланып була) шулай итәләр, башы координаталар башында булған векторҙың (йүнәлешле киҫектең) координаталары уның осоноң координаталары менән тап килә^[6].

Шулай итеп, мәҫәлән, 1-се һүрәттә $(x,y)$ координаталары ${\vec {OA}}$ векторының координаталары була.

Башы координаталар башы менән тап килмәгән векторҙар (йүнәлешле киҫектәр) өсөн тура мөйөшлө координаталарҙы ике ысулдың береһе менән билдәләргә мөмкин:

Векторҙы башы координаталар башы менән тап килерлек итеп күсерергә мөмкин. Ул саҡта векторҙың координаталары параграф башында һүрәтләнгән ысул менән билдәләнә: башы координаталар башы менән тап килерлек итеп күсерелгән векторҙың координаталары - уның осоноң координаталары.
Бының урынына векторҙың (йүнәлешле киҫектең) осоноң координаталарынан уның башының координаталарын алырға мөмкин.

Тура мөйөшлө координаталар өсөн векторҙың координаталары төшөнсәһе векторҙың ярашлы координаталар күсәре йүнәлешенә ортогональ проекцияһы төшөнсәһе менән тап килә.

Тура мөйөшлө координаталарҙа векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе бик ябай яҙып була:

Ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау:

\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})

йәки

(\mathbf {a} +\mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},

c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})

йәки

(c\ \mathbf {a} )_{i}=c\ a_{i}.

һәм ошонан сығып алыу һәм бүлеү:

\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})

йәки

(\mathbf {a} -\mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},

{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}

йәки

{\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.

(Был теләһә ниндәй n үлсәме өсөн дөрөҫ, тура мөйөшлө координаталар менән бер рәттән,ҡыя мөйөшлө координаталар өсөн дә).

Скаляр ҡабатландыҡ:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}

йәки

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},

(Тик бөтә күсәрҙәрендә берәмек масштаблы тура мөйөшлө координаталарҙа).

Скаляр ҡабатландыҡ аша векторҙың оҙонлоғон иҫәпләргә була

|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}

һәм векторҙар араһындағы мөйөштө

\angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}

Тышҡы ҡабатландыҡ:

(\mathbf {a} \land \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

арауыҡтың теләһә ниндәй үлсәме өсөн,

Вектор ҡабатландыҡ (тик ул билдәләнгән өс үлсәмле арауыҡ өсөн генә):

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}

Күренеүенсә, былар бөтәһе, кәрәк булһа, векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе һандар өҫтөндәге ябай ғәмәлдәргә ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлдек бирә.

Орттар

Тура мөйөшлө координаталар системаһы^[7] (теләһә ниндәй үлсәмле) шулай уҡ^[8] координаталар күсәрҙәре менән бер йүнәлешле орттар (берәмек векторҙар) йыйылмаһы менән һүрәтләнә. Орттар һаны координаталар системаһының үлсәменә тигеҙ һәм улар бөтәһе лә бер береһенә перпендикуляр. Бындай орттар базис төҙөй, шуның менән бергә ортонормалаштырылған^[9].

Өс үлсәмле арауыҡ осрағында бындай орттар ғәҙәттә

\mathbf {i}

,

\mathbf {j}

һәм

\mathbf {k}

тип

йәки

\mathbf {e} _{x}

,

\mathbf {e} _{y}

и

\mathbf {e} _{z}

тип тамғаланалар.

Шулай уҡ уҡ менән тамғалау ҡулланылырға мөмкин ( ${\vec {i}}$ , ${\vec {j}}$ һәм ${\vec {k}}$ йәки ${\vec {e}}_{x}$ , ${\vec {e}}_{y}$ һәм ${\vec {e}}_{z}$ ) йәки теге йәки был әҙәбиәттә ҡулланылған ғәҙәттәге вектор тамғалау ысулына ярашлы башҡа тамғалауҙар.

Шуның менән бергә, уң координаталар системаһы осрағында орттарҙы вектор ҡабатлау өсөн түбәндәге формулалар дөрөҫ:

$[\mathbf {i} \,,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} ;$
$[\mathbf {j} \,,\mathbf {k} ]=\mathbf {i} ;$
$[\mathbf {k} \,,\mathbf {i} ]=\mathbf {j} .$

3-тән ҙурыраҡ үлсәмдәр өсөн (йәки үлсәм теләһә ниндәй булырға мөмкин булған дөйөм осраҡта) ғәҙәттә орттар өсөн һанлы индекслы был тамғалауҙар урынына йыш ҡына^[10] ҡулланалар

\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},

бында n - арауыҡ үлсәме.

Теләһә ниндәй үлсәмле вектор базис буйынса тарҡала (координаталары тарҡалма коэффициенттары булып тора):

\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}

йәки

\mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},

ә ортонормалаштырылған базис өсөн координаталарҙы орттар менән скаляр ҡабатландыҡ аша бик еңел табырға мөмкин:

a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.

Тарихы

Беренсе булып тура мөйөшлө координаталар системаһын Рене Декарт 1637 йылда үҙенең «Геометрия» хеҙмәтендә индерә. Шуға күрә тура мөйөшлө координаталар системаһын шулай уҡ — Декарт координаталар системаһы тип атайҙар. Геометрик объекттарҙы һүрәтләүҙең координаталар ысулы аналитик геометрияға башланғыс булды. Координаталар ысулы үҫешенә шулай уҡ Пьер Ферма үҙ өлөшөн индерҙе, әммә уның хеҙмәттәре тәү башлап ул үҙе үлгәс баҫылып сыға. Декарт һәм Ферма координаталар ысулын тик яҫылыҡта ғына ҡулланалар.

Өс үлсәмле арауыҡ өсөн координаталар ысулын беренсе булып Леонард Эйлер XVIII быуатта ҡуллана. Орттарҙы ҡулланыу, күренеүенсә, Гамильтонға һәм Максвеллға ҡайтып ҡала.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Иҫкәрмәләр

↑ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (и, вообще, - косоугольную).
↑ Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, т.к. можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).
↑ Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.
↑ Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.
↑ Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Еще проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.
↑ Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.
↑ В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.
↑ Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).
↑ При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.
↑ Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

Һылтанмалар

В. И. Гервидс. Модель декартовой системы координат (билдәһеҙ) (flash). НИЯУ МИФИ (10 март 2011). Дата обращения: 3 май 2011.

Ҡалып:Системы координат

[1] ttp://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (и, вообще, - косоугольную).

[2] Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, т.к. можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).

[3] Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.

[4] Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.

[5] Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Еще проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.

[6] Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.

[7] В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.

[8] Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).

[9] При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.

[10] Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]