Алгебраның төп теоремаһы

Алгебраның төп теоремаһы — комплекслы һандар яланы алгебраик йомоҡ булыуы тураһындағы раҫлау, йәғни теләһә ниндәй константанан айырмалы комплекслы коэффициентлы күпбыуындың (бер үҙгәреүсәнле) комплекслы һандар яланында бер генә булһа ла тамыры бар. Раҫлау ысын коэффициентлы күпбыуындар өсөн дә дөрөҫ, сөнки теләһә ниндәй ысын һан уйҙырма өлөшө нулгә тигеҙ булған комплекслы һан булып тора.

Теореманың ҡәтғи алгебраик иҫбатланышы юҡ — бөтә булғандары, ысын һандар күмәклегенең тулылығы йәки комплекслы ялан топологияһы кеүек алгебраик булмаған концепцияны йәлеп итәләр. Шулай уҡ теорема хәҙерге алгебрала «төп» теорема түгел — ул был исемде алгебраның төп йүнәлеше ысын һәм комплекслы коэффициентлы алгебраик тигеҙләмәләрҙең сығарылышын эҙләү булған ваҡыттарҙа ала.

Иҫбатлау

Был теореманың иң ябай иҫбатланышы комплекслы анализ ысулдары менән бирелә. Бөтә комплекслы яланда аналитик булған (бөтөн функция) һәм сикһеҙлектә үҙенсәлектәре булмаған сикләнгән функция константа була тигән факт (Лиувилль теоремаһы) ҡулланыла. Шуға күрә, $1/p$ функцияһының, бында $p$ — күпбыуын, комплекслы яҫылыҡта бер генә булһа ла полюсы булырға тейеш, ә, ярашлы рәүештә, күпбыуындың бер генә булһа ла тамыры бар.

Эҙемтә

Теореманың туранан тура эҙемтәһе булып, комплекслы һандар яланында $n$-сы дәрәжәләге теләһә ниндәй күпбыуындың, тапҡырлығын да иҫәпкә алып, теүәл $n$ тамыры бар тигән раҫлау тора

Эҙемтәне иҫбатлау

$f(x)$ күпбыуынының $a$ тамыры бар, тимәк, Безу теоремаһы буйынса, уны $(x-a)g(x)$ күренешендә күрһәтергә була, бында $g(x)$ — икенсе күпбыуын. Теореманы $g(x)$-ҡа ҡарата ҡулланабыҙ һәм уны, $g(x)$ урынында һыҙыҡлы ҡабатлашыусы килеп сыҡҡанға тиклем ҡулланабыҙ.

Тарихы

Теорема беренсе тапҡыр немец математигы Петер Ротта осрай (Peter Roth йәки Peter Rothe, ?—1617). Үҙенең «Arithmetica Philosophica» (1608) трактатында ул $n$-сы дәрәжә күпбыуындың $n$-дан артыҡ булмаған тамыры булырға мөмкин тигән фараз әйткән. Ҡыйыуыраҡ формулировканы Альбер Жирар «Новое открытие в алгебре» (1629 йыл) хеҙмәтендә килтерә: $n$-сы дәрәжә тигеҙләмәнең теүәл $n$ ысын тамыры, (тиҫкәре) йәки фараз ителгәндәрҙе лә (һуңғы термин комплекслы тамырҙарҙы аңлатҡан, уларҙың файҙаһын Жирар айырым әйтеп китә) индереп, булырға тейеш. Ләкин Жирар, әгәр «тигеҙләмә тулы булмаһа», йәғни ҡайһы бер коэффициенттар нулгә тигеҙ булһа, теорема дөрөҫ булмаҫҡа ла мөмкин тип иҫкәртеп китә. Роттың һәм Жирарҙың ҡараштары үҙҙәренең осорон уҙып китә һәм киң билдәлелек алмай.

Декарт «Геометрия» (1637 йыл) хеҙмәтендә шундай формулировканы ҡуллана: «Һәр тигеҙләмәнең, уның нисә үлсәнеше булһа, шул тиклем төрлө тамыры, йәки үҙгәреүсәндең ҡиммәте булырға мөмкин»; артабан ул да шулай уҡ иҫкәртеү яһай : «хәйер, һәр ваҡыт мин әйткән тиклем тамыр бар тип уйларға мөмкин, ләкин ҡайһы берҙә был уйланған тамырҙарға тап килгән бер дәүмәл дә булмай».

Маклорен һәм Эйлер теоремаға хәҙергеһенә эквивалентлы форма биреп, уның формулировкаһына асыҡлыҡ индерәләр: ысын коэффициентлы һәр күпбыуынды ысын коэффициентлы һыҙыҡлы һәм квадратик күпбыуындарҙың ҡабатландығына тарҡатырға мөмкин. Д’Аламбер беренсе булып 1746 йылда был теореманың иҫбатланышын тәҡдим итә, ул 1748 йылда баҫылып сыға; ул, әммә, тик 1851 йылда ғына иҫбатланған, шуның менән бергә алгебраның төп теоремаһын файҙаланып иҫбатланған леммаға нигеҙләнгән була. Эйлерҙың иҫбатлауы 1749 йылда тәҡдим ителә, ә 1751 йылда — баҫылып сыға, шуның менән бергә ул был проблема өҫтөндә Д’Аламбер менән бер үк ваҡытта тиерлек эшләй. Шулай уҡ XVIII быуаттың икенсе яртыһында Лагранждың (1772), Лапластың (1795) һәм башҡаларҙың иҫбатлауҙары барлыҡҡа килә. Бөтә был иҫбатлауҙар шулай уҡ иҫбатланып бөтмәгән фараздарға нигеҙләнгән була — мәҫәлән, Эйлер таҡ дәрәжәләге ысын күпбыуындың һис шикһеҙ ысын тамыры бар икәне бәхәсһеҙ тип иҫәпләй, ә Лаплас иҫбатламайынса, күпбыуындың бөтә тамырҙары ла йә ысын, йә комплекслы тип фараз итә.

Гаусс 1799 йылда үҙенең иҫбатлауын тәҡдим итә, әммә шул уҡ Эйлер ҡулланған фаразды ҡуллана; аҙағыраҡ ул бер нисә тапҡыр был темаға әйләнеп ҡайта һәм төрлө идеяларға таянған, әммә һәр саҡ алгебраик характерҙа булмаған саралар ҡулланып тағы ла өс иҫбатлау бирә. Беренсе тулы һәм ҡәтғи иҫбатлауҙы Жан Арган 1814 йылда тәҡдим итә; 1816 йылда Гаусс та ҡәтғи иҫбатлауын баҫтырып сығара.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Анализдың төп теоремаһы
• Арифметиканың төп теоремаһы

Әҙәбиәт

• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192.
• Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — В. X. — С. 257—304.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.

Һылтанмалар

• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra  (билдәһеҙ). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996).