Күпбыуын битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Septic graph.svg| 7-се дәрәжә күпбыуын [[График функции|графигы]] .| thumb| 250px| upright]]
<math>n</math> үҙгәреүсәнле '''күпбыуын''' (йәки  {{lang-el|πολυ-}} – күп + {{lang-la|nomen}} – исем '''полино́м''') — ул [[бербыуын]]дар суммаһы, йәки, <math>\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> күренешендәге сикле формаль сумма, 
: бында
:* <math>I=(i_1,i_2,\dots,i_n)</math> — '''мультииндекс''' тип аталыусы [[Целое число|бөтөн]] тиҫкәре булмаған һандар йыйылмаһы, 
:* <math>c_I</math> — '''күпбыуындың коэффициенты''' тип аталыусы, тик мультииндекс ''I''-гә генә бәйле һан.

Айырым осраҡта, бер үҙгәреүсәнле күпбыуын ул : <math>c_0 + c_1x^1 + \dots + c_mx^m</math> күренешендәге сикле формаль сумма, бында
:* <math>c_i</math> — [[коэффициент]]тар,
:* <math>x</math> — [[Переменная величина|үҙгәреүсән]].

Күпбыуын төшөнсәһе ярҙамында [[алгебраик тигеҙләмә]] һәм [[алгебраик функция]] төшөнсәләре индерелә.

== Өйрәнеү һәм ҡулланыу ==
[[Файл:График многочленов Бернулли.png|thumb|График [[Многочлены Бернулли|многочленов Бернулли]]]]
Полиномиаль тигеҙләмәләрҙе һәм уларҙың сығарылышын өйрәнеү «классик алгебраның» төп объектын тәшкил итә тип әйтеп була.
Математикала бик күп үҙгәртеп ҡороуҙар күпбыуындарҙы өйрәнеү менән бәйле: [[Ноль (число)|нуль]] һанын , [[отрицательное число|тиҫкәре]] һандарҙы, ә аҙаҡ [[комплексное число|комплекслы һандарҙы]] индереү, шулай уҡ математиканың айырым бүлеге булараҡ [[теория групп|группалар теорияһының]] барлыҡҡа килеүе һәм анализда [[специальные функции|махсус функциялар]] класының бүленеп сығыуы. 
Функцияларҙың ҡатмарлыраҡ кластары менән сағыштырғанда, күпбыуындар менән бәйле иҫәпләүҙәр техник яҡтан бик ябай. Күпбыуындар күмәклеге [[евклидово пространство|евклид киңлегенең]] [[Компактное пространство|компактлы аҫкүмәклегендә]] [[Непрерывное отображение|өҙлөкһөҙ функциялар]] киңлегендә [[Словарь терминов общей топологии#П|тығыҙ]] (см. [[Вейерштрастың аппроксимацион теоремаһы]]). Ошо факттар [[математический анализ|математик анализда]] [[степенной ряд|рәттәргә]]тарҡатыу методтарының һәм полиномиаль [[интерполяция]]ның үҫешенә булышлыҡ итте.
Күпбыуындар шулай уҡ,объекты булып күпбыуындар системаһының сығарылышы тип билдәләнгән күмәклектәр торған [[алгебраическая геометрия|алгебраик геометрияла]] төп ролде уйнайҙар.
Күпбыуындарҙы ҡабатлағанда коэффициенттар үҙгәреүенең үҙенә бер төрлө үҙсәнлектәре алгебраик геометрияла, [[алгебра]]ла, [[теория узлов|төйөндәр теорияһында]] һәм математиканың башҡа бүлектәрендә төрлө объекттарҙың үҙсәнлектәрен кодлау йәки күпбыуындар аша күрһәтеү өсөн ҡулланыла.

== Бәйле билдәләмәләр ==
* <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> күренешендәге күпбыуын '''[[бербыуын]]''' йәки '  <math>I=(i_1,\dots,\,i_n)</math> мультииндексының '''мономы'' тип атала.
* <math>I=(0,\dots,\,0)</math> мультииндексына ярашлы бербыуын '''ирекле быуын''' тип атала.
*  (Нуль булмаған) <math>c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> бербыуынының '''тулы дәрәжәһе''' тип <math>|I|=i_1+i_2+\dots+i_n</math> бөтөн һаны атала.
* <math>c_I</math> коэффициенттары нуль булмаған ''I'' мультииндекстар күмәклеге '''күпбыуын вәкиле''' тип, ә уның [[ҡабарынҡы тышлығы]] — '''[[многогранник Ньютона|Ньютон күпҡыры]]''' тип атала.
* '''Күпбыуындың дәрәжәһе''' тип уның бербыуындарының иң ҙур дәрәжәһе атала. Тождестволы нулдең дәрәжәһе <math>-\infty</math> ҡиммәте менән тулыландырылып билдәләнә..
*Ике мономдың суммаһы булған күпбыуын '''икебыуын''' йәки '''бином''' тип атала.
* Өс мономдың суммаһы булған күпбыуын '''өсбыуын''' тип атала. Күпбыуындың коэффициенттары ғәҙәттә билдәле бер [[коммутативность|коммутатив]] [[Кольцо (алгебра)|балдаҡтан]] <math>R</math> алына (йышыраҡ [[поле (алгебра)|өлкәләрҙән]], мәҫәлән, [[вещественное число|ысын һандар]] йәки [[комплексное число|комплекслы һандар]] өлкәһенән). Был осраҡта ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата күпбыуындар <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n].</math> тип тамғаланған [[Кольцо (алгебра)|балдаҡ]] (улай ғына түгел, нуль бүлеүселәреһеҙ ассоциатив-коммутатив  <math>R</math> [[Алгебра над кольцом|балдаҡ өҫтөндә алгебра]]) төҙөйҙәр.
  
=== Полиномиаль функциялар ===
<math>A</math> - <math>R</math> балдағы өҫтөндә алгебра булһын, ти.
Ирекле <math>p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> күпбыуыны : <math>p_R:A\to A</math> полиномиаль функцияны билдәләй.
Йышыраҡ  <math>A=R</math> осрағын ҡарайҙар.
<math>R</math> - [[Вещественное число|ысын һандар]] йәки [[Комплексное число|комплекслы һандар]] өлкәһе (шулай уҡ сикһеҙ күп элементы булған теләһә ниндәй башҡа өлкә) булған осраҡта, <math>f_p:R^n\to R</math> функцияһы тулыһынса p күпбыуынын билдәләй.
Әммә дөйөм осраҡта был дөрөҫ түгел, мәҫәлән: <math>\Z_2[x]</math>-тан <math>p_1(x)\equiv x</math> һәм <math>p_2(x)\equiv x^2</math> күпбыуындары тождестволы тигеҙ функцияларҙы билдәләй <math>\Z_2\to\Z_2</math>.

== Күпбыуын төрҙәре ==
* Бер үҙгәреүсәнле күпбыуындың өлкән коэффициенты 1-гә тигеҙ булһа, ул '''унитар''', '''нормалаштырылған''' йәки {{нп5|Приведённый многочлен|'''килтерелгән'''||Monic polynomial}} тип атала.
* Бөтә быуындары ла бер үк тулы дәрәжәлә булған күпбыуын '''[[Однородный многочлен|бер төрҙәге]]''' күпбыуын тип атала.
** Мәҫәлән, <math>x^2+xy+y^2</math> — ике үҙгәреүсәнле бер төр күпбыуын, ә <math>x^2+y+1</math> бер төр булмай.
* Әгәр күпбыуынды коэффициенттары бирелгән өлкәнән булған түбәнерәк дәрәжәләге күпбыуындарҙың ҡабатландығы рәүешендә күрһәтеп булһа, ул '''килтерелмәле''' (бирелгән өлкәлә) тип атала, кире осраҡта — '''килтерелмәле түгел'''.

== Үҙсәнлектәре ==
* Ирекле [[область целостности|бөтөнлөк өлкәһе]] өҫтөнән күпбыуындар балдағы үҙе бөтөнлөк өлкәһе булып тора.
* Теләһә ниндәй [[факториальное кольцо|факториаль балдаҡ]] өҫтөнән теләһә ниндәй сикле һандағы үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы үҙе факториаль була.
* Өлкә өҫтөндә бер үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы [[кольцо главных идеалов|төп идеалдар балдағы]] була, йәғни уның теләһә ҡайһы [[Идеал (алгебра)|идеалы]] бер элемент тарафынан тыуҙырылырға мөмкин.
** Улай ғына түгел, өлкә өҫтөндә бер үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы [[евклидово кольцо|евклид балдағы]] була.

=== Бүленеүсәнлек ===
Күпбыуындар балдағында килтерелмәгән күпбыуындар [[целое число|бөтөн һандар]] балдағында [[простое число|ябай һандар]] тотҡан ролгә оҡшаш роль уйнайҙар. Мәҫәлән, ошо теорема дөрөҫ: Әгәр <math>pq</math> ҡабатландығы <math>\lambda</math> килтерелмәгән күпбыуынға бүленһә,ул саҡта p йәки q  <math>\lambda</math>-ға бүленә.
Дәрәжәһе нулдән юғары булған һәр күпбыуын бирелгән өлкәлә килтерелмәгән күпбыуындар ҡабатландығына бер генә ысул менән тарҡатыла (нуленсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға тиклем аныҡлыҡ менән).
Мәҫәлән, рациональ һандар өлкәһендә килтерелмәгән <math>x^4-2</math> күпбыуыны, ысын һандар өлкәһендә өс ҡабатлашыусыға һәм комплекслы һандар өлкәһендә дүрт ҡабатлашыусыға тарҡала.
Ғөмүмән алғанда, бер үҙгәреүсәнле һәр күпбыуын <math>x</math> ысын һандар өлкәһендә беренсе һәм икенсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға, комплекслы һандар өлкәһендә беренсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға тарҡала ([[алгебраның төп теоремаһы]]).

Ике һәм күберәк һандағы үҙгәреүсәндәр өсөн был раҫлау дөрөҫ түгел. Теләһә ниндәй өлкә өҫтөндә ирекле <math>n>2</math> өсөн, был өлкәне теләһә нисек киңәйткәндә лә килтерелмәгән <math>n</math> үҙгәреүсәнле күпбыуындар була. Бындай күпбыуындар абсолют килтерелмәгән күпбыуын тип аталалар.

== Төрҙәре һәм дөйөмләштереү ==
* Билдәләмәлә тиҫкәре дәрәжәләрҙең дә булыуын фараз иткәндә, килеп сыҡҡан объект '''Лоран күпбыуыны''' тип атала(ҡара. [[Лоран рәте]]).
* [[Квазикүпбыуын]]
* [[Тригонометрик күпбыуын]]

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
<!-- Бында «Күпбыуындар» категорияһының һәм уның аҫкатегорияларының мәҡәләләрен ҡушырға ярамай -->
* [[Грёбнер базисы]]
* [[Позином]]
* [[Сплайн]]
* [[Гаусс — Лукас теоремаһы]]

== Әҙәбиәт ==
* {{книга |автор=Винберг Э. Б. |заглавие=Алгебра многочленов |место=М. |издательство=Просвещение |год=1980 |страниц=176}}
* {{книга |автор=Курош А. Г. |заглавие=Курс высшей алгебры, 9 изд |место=М. |год=1968}}
* {{книга |автор=Мишина А. П., Проскуряков И. В. |заглавие=Высшая алгебра, 2 изд |место=М. |год=1965}}
* {{книга |автор=Солодовников А. С, Родина М. А. |заглавие=Задачник-практикум по алгебре |место=М. |издательство=Просвещение |год=1985 |страниц=127}}
* {{книга |автор=Прасолов В. В. |заглавие=Многочлены |место=М. |издательство=[[МЦНМО]] |год=2003 |страниц=336 |ссылка=http://www.mccme.ru/prasolov/ |isbn=5-94057-077-1}}
* {{книга |автор=Фаддеев Д. К., Соминский И. С. |заглавие=Сборник задач по высшей алгебре |место=М. |год=1977}}

== Һылтанмалар ==
* {{БСЭ3|заглавие=Многочлен|автор=А. И. Маркушевич}}

[[Категория:Күпбыуындар|*]]