Диофант тигеҙләмәһе

Диофа́нт тигеҙләмәһе (шулай уҡ бөтөн һандарҙа тигеҙләмә) — ул

$P(x_{1},\dots ,x_{m})=0$ күренешендәге тигеҙләмә,

бында $P$ — бөтөн һанлы функция, мәҫәлән, бөтөн коэффициентлы полином, ә $x_{i}$ үҙгәреүсәндәре бөтөн ҡиммәттәр ҡабул итә. Тигеҙләмә «Диофант тигеҙләмәһе» тип боронғо грек математигы Диофант хөрмәтенә аталған.

Шулай уҡ хәл ителеүсәнлек мәсьәләһен ҡарағанда үҙгәреүсәндәр йыш ҡына параметрҙарға (ҡиммәттәре билдәләнгән тип ҡаралған) һәм билдәһеҙҙәргә бүленә. Шулай, параметрҙары $a_{1},\dots ,a_{n}$ һәм үҙгәреүсәндәре $x_{1},\dots ,x_{m}$ булған

$P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0$ тигеҙләмәһе,

параметрҙар йыйылмаһының бирелгән $(a_{1},\dots ,a_{n})$ ҡиммәттәрендә был тигеҙлек дөрөҫ булырлыҡ $(x_{1},\dots ,x_{m})$ һандар йыйылмаһы булғанда, хәл ителмәле тип иҫәпләнә.

Шулай итеп, Диофант тигеҙләмәһе тип бөтөн һанлы (йәки натураль) сығарылышын табыу талап ителгән бөтөн коэффициентлы тигеҙләмә атала. Шул уҡ ваҡытта тигеҙләмәлә үҙгәреүсәндәр һаны икенән кәм булмаҫҡа тейеш. Тигеҙләмәләр үҙҙәренең исемен арҙаҡлы антик математигы Диофант Александрийский хөрмәтенә алғандар, ул билдәһеҙ тигеҙләмәләрҙе беренсе булып даими өйрәнгән һәм уларҙы сисеү алымдарын тасуирлаған тип иҫәпләнә. Бөтә һаҡланған яҙмалары «Арифметика» китабына тупланған. Диофанттан һуң билдәһеҙ тигеҙләмәләрҙе шулай итеп итеп өйрәнеү менән яҡынса бишенсе быуаттан башлап һинд математиктары шөғөлләнә. Европала билдәһеҙ тигеҙләмәләрҙе сығарыу менән үҙ ваҡытындағы бөтә ҙур алгебраистар шөғөлләнә: Леонардо Фибоначчи (1170 — 1250 йй. тирәһе), Франсуа Виет (1540—1603 йй.), Симон Стевин (1549—1620 йй. тирәһе).

Тигеҙләмәләрҙе бөтөн һандарҙа сығарыу проблемаһы бер үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләр, шулай уҡ беренсе һәм икенсе дәрәжәләге ике үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләр өсөн аҙаҡҡа тиклем ҡаралған.

Миҫалдар

• $x^{n}+y^{n}=z^{n}$:
  • $n=2$ булғанда Пифагор тройкалары был тигеҙләмәнең сығарылышы булып торалар.
  • Ферманың бөйөк теоремаһына ярашлы, $n>2$ булғанда был тигеҙләмәнең нулдән айырмалы бөтөн сығарылыштары юҡ.
• $\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ — Эйлер гипотезаһы, теләһә ниндәй n > 2 натураль һаны өсөн тигеҙләмәнең $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ натураль һандарында сығарылышы юҡ тип раҫлай, йәғни натураль һандың бер ниндәй ҙә n-сы дәрәжәһен башҡа натураль һандарҙың n-1 n-сы дәрәжәләре суммаһы рәүешендә күрһәтеп булмай. Гипотеза Ферманың бөйөк теоремаһының дөйөмләштереүе булып тора, ләкин n = 4 һәм n = 5 өсөн кире ҡағыла, бынан һуң Ландер — Паркин — Селфридж гипотезаһы күрһәтелә.
• $x^{2}-ny^{2}=1$, бында n параметры теүәл квадрат түгел — Пелль тигеҙләмәһе.
• $x^{z}-y^{t}=1$, бында $z,t>1$, — Каталан тигеҙләмәһе, уның берҙән-бер $3^{2}-2^{3}=1$ сығарылышы бар.
• $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}=c$ $n\geq 3$ һәм $c\neq 0$  булғанда — Туэ тигеҙләмәһе.

Һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәләре

Һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәһенең дөйөм күренеше:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.$

Айырым осраҡта, ике үҙгәреүсәнле һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:

$ax+by=c.\qquad (1)$

Әгәр $(a,b)\nmid c$ (йәғни $c$ $(a,\;b)$-ның иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһенә бүленмәй) булһа, ул саҡта (1) тигеҙләмәнең бөтөн һандарҙа сыҡарылышы юҡ. Ысынлап та, әгәр $(a,\;b)\neq 1$, (1) тигеҙләмәлә һул яҡта торған һан $(a,\;b)$-ға бүленә, ә уң яҡта торған һан — бүленмәй. Киреһе лә дөрөҫ: әгәр $ax+by=c$ тигеҙләмәһендә $(a,b)\mid c$ үтәлһә, уның бөтөн һандарҙа сығарылышы бар.

$(x_{0},\;y_{0})$ — $ax+by=c$ тигеҙләмәһенең айырым сығарылышы булһын, ти. Ул саҡта уның бөтә сығарылыштары түбәндәге формулалар буйынса табылалар:

${\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{(a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .$

$(x_{0},\;y_{0})$ айырым сығарылышын ошолай төҙөргә мөмкин. Әгәр $(a,b)\neq 1$ һәм $c$ $(a,b)$-ға бүленһә, бөтә коэффициенттарҙы $(a,b)$-ға бүлгәндән һуң тигеҙләмә $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ күренешен ала, бында $(a_{1},b_{1})=1$. Һуңғы тигеҙләмә өсөн айырым сығарылышы $a_{1},b_{1}$ өсөн Безу нисбәтенән килеп сыға:

$ua_{1}+vb_{1}=1,$

ошонан сығып, $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Һыҙыҡлы тигеҙләмәнең сығарылыштар серияһы өсөн аныҡ формула билдәле:

${\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b)}}{b}}-at,\end{cases}}$

бында $\varphi (\cdot )$ — Эйлер функцияһы, ә t — ирекле бөтөн параметр.

Алгебраик Диофант тигеҙләмәләре

Алгебраик Диофант тигеҙләмәләренең хәл ителеүсәнлек мәсьәләһен ҡарағанда, бындай тигеҙләмәләрҙең теләһе ҡайһы системаһын 4-тән артыҡ булмаған дәрәжәләге, бөтөн тиҫкәре булмаған һандарҙа бер Диофант тигеҙләмәгә үҙгәртергә мөмкин булыуы менән файҙаланырға була, ул тик баштағы система хәл ителмәле булған осраҡта ғына хәл ителмәле (шул уҡ ваҡытта был яңы тигеҙләмәнең үҙгәреүсәндәре күмәклеге һәм сығарылыштары күмәклеге бөтөнләй икенсе булыуы мөмкин).

Диофант күмәклектәре

Диофант күмәклектәре тип, уның өсөн алгебраик Диофант тигеҙләмәһе булған n тәртипкә һалынған бөтөн һандарҙан торған йыйылмаларҙан торған күмәклек атала:

$P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,$

ул $(a_{1},\dots ,a_{n})$ һандар йыйылмаһы был күмәклеккә ингәндә һәм тик шул саҡта ғына хәл итерлек. Ҡаралған Диофант тигеҙләмәһе был күмәклектең Диофант кәүҙәләнеше тип атала. Ю. В. Матиясевичем тапҡан мөһим һөҙөмтә шунан тора, һәр һанап сыҡмалы күмәклектең Диофант кәүҙәләнеше бар.

Хәл ителмәүсәнлек дөйөм рәүештә

1900 йылда формулировкаланған Гильберттың унынсы проблемаһы ирекле алгебраик Диофант тигеҙләмәләрен сығарыу алгоритмын табыуҙан тора. 1970 йылда Ю. В. Матиясевич был проблеманың алгоритмик хәл ителмәҫлек булыуын иҫбатлай

Экспоненциаль Диофант тигеҙләмәләре

Әгәр Диофант тигеҙләмәһендә дәрәжәгә күтәреү күрһәткесе аңлатмаһына бер йәки күберәк үҙгәреүсән инһә, бындай Диофант тигеҙләмәһе экспоненциаль тип атала.

Миҫалдар:

• Рамануджан — Нагель тигеҙләмәһе
• Ферма — Каталан гипотезаһы тигеҙләмәләре
• Бил гипотезаһы

Бындай тигеҙләмәләрҙе хәл итеүҙең дөйөм теорияһы юҡ; Каталан гипотезаһы кеүек шәхси осраҡтар тикшерелгән. Шуға ҡарамаҫтан, был тигеҙләмәләрҙең күбеһен Стёрмер теоремаһы йәки хатта һынауҙар һәм хаталар ысулы кеүек махсус ысулдар менән хәл итеп була.

Һылтанмалар

• Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
• Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat, " Revue d’Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289—306
• Bashmakova, Izabella G. «Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,» Historia Mathematica 8 (1981), 393—416.
• Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
• Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16—17,35.
• Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
• Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31–45.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (инг.) на сайте Wolfram MathWorld.