Кире тригонометрик функциялар (түңәрәк функцияһы , аркфункция лар) — тригонометрик функцияларға кире булған математик функциялар. Кире тригонометрик функцияларға ғәҙәттә алты функцияны индерәләр:
арксинус (тамғаланышы
:
a
r
c
s
i
n
x
;
a
r
c
s
i
n
x
{\displaystyle :\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x}
x
{\displaystyle x}
арккосинус (тамғаланышы:
a
r
c
c
o
s
x
;
a
r
c
c
o
s
x
{\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x}
x
{\displaystyle x}
арктангенс (тамғаланышы:
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}
a
r
c
t
a
n
x
{\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}
арккотангенс (тамғаланышы:
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}
a
r
c
c
o
t
x
{\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}
a
r
c
c
o
t
a
n
x
{\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}
арксеканс (тамғаланышы:
a
r
c
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}
арккосеканс (тамғаланышы:
a
r
c
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}
a
r
c
c
s
c
x
{\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}
Кире тригонометрик функцияларҙың исемдәре уларға ярашлы тригонометрик функцияларҙың исемдәренә «арк-» (лат. arcus — дуға) приставкаһын ҡушып барлыҡҡа килгән. Был шуның менән бәйле, геометрик ысул менән кире тригонометрик функцияның ҡиммәтен теге йәки был киҫеккә ярашлы берәмек әйләнәһе дуғаһы оҙонлоғо (йәки был дуғаны тартып торған мөйөш) менән бәйләргә була. Мәҫәлән, ғәҙәти синус әйләнәнең дуғаһы буйынса уны тартып торған хорданы табырға мөмкинлек бирә, ә кире функция ҡапма-ҡаршы мәсьәләне хәл итә. Кире тригонометрик функцияларҙы шулай итеп тамғалау манераһы Австрия математигы Карл Шерферҙа (нем. Karl Scherffer ; 1716—1783) барлыҡҡа килгән һәм Лагранж арҡаһында нығынған. Беренсе тапҡыр кире тригонометрик функциялар өсөн махсус символды 1729 йылда Даниил Бернулли ҡулланған. Инглиз һәм немец математика мәктәптәре XIX быуат аҙағына тиклем икенсе төрлө тамғалау тәҡдим итә:
sin
−
1
,
1
sin
{\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}
[ 1]
sin
−
1
,
1
sin
{\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}
[ 2]
Тригонометрик функциялар периодлы, шуға күрә уларға кире функциялар күп ҡиммәтле. Йәғни, аркфункцияның ҡиммәте мөйөштәр (дуғалар) күмәклегенән ғибәрәт, уларҙың бөтәһенең дә ярашлы тригонометрик функция ҡиммәте бирелгән һанға тигеҙ. Мәҫәлән,
arcsin
1
/
2
{\displaystyle \arcsin 1/2}
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
(
π
6
,
5
π
6
,
13
π
6
,
17
π
6
…
(
30
∘
,
150
∘
,
390
∘
,
510
∘
…
)
)
{\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}
−
1
⩽
α
⩽
1
{\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}
sin
x
=
α
{\displaystyle \sin x=\alpha }
x
=
(
−
1
)
n
arcsin
α
+
π
n
,
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
…
.
{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}
[ 3]
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}
arctg
x
+
arcctg
x
=
π
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
m һанының арксинусы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн
sin
x
=
m
,
−
π
2
⩽
x
⩽
π
2
,
|
m
|
⩽
1.
{\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
−
1
⩽
x
⩽
1
{\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }
−
π
2
⩽
y
⩽
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}}
arcsin
(
sin
y
)
=
y
{\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }
D
(
arcsin
x
)
=
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }
E
(
arcsin
x
)
=
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }
0
<
x
⩽
1
{\displaystyle 0<x\leqslant 1}
arcsin
x
>
0
{\displaystyle \arcsin x>0}
x
=
0.
{\displaystyle x=0.}
arcsin
x
=
0
{\displaystyle \arcsin x=0}
−
1
⩽
x
<
0.
{\displaystyle -1\leqslant x<0.}
arcsin
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x<0}
arcsin
x
=
{
arccos
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
−
arccos
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arcsin
x
=
arctg
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
{
arcctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
arcctg
1
−
x
2
x
−
π
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
m һанының арккосинус ы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн
cos
x
=
m
,
0
⩽
x
⩽
π
,
|
m
|
⩽
1.
{\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1.}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
cos
(
arccos
x
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos x)=x}
−
1
⩽
x
⩽
1
,
{\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}
arccos
(
cos
y
)
=
y
{\displaystyle \arccos(\cos y)=y}
0
⩽
y
⩽
π
.
{\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}
D
(
arccos
x
)
=
[
−
1
;
1
]
,
{\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}
E
(
arccos
x
)
=
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}
(
0
;
π
2
)
{\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}
−
1
⩽
x
<
1.
{\displaystyle -1\leqslant x<1.}
arccos
x
>
0
{\displaystyle \arccos x>0}
x
=
1.
{\displaystyle x=1.}
arccos
x
=
0
{\displaystyle \arccos x=0}
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
.
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}
arccos
x
=
{
arcsin
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
π
−
arcsin
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arccos
x
=
{
arctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
π
+
arctg
1
−
x
2
x
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arccos
x
=
2
arcsin
1
−
x
2
{\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}
arccos
x
=
2
arccos
1
+
x
2
{\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}
arccos
x
=
2
arctg
1
−
x
1
+
x
{\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle [0;\pi ].}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle [0;\pi ].}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
m һанының арктангенсы тип
α
{\displaystyle \alpha }
tg
α
=
m
,
−
π
2
<
α
<
π
2
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =m,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}.}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
tg
(
arctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}
−
π
2
<
y
<
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
arctg
(
tg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}
D
(
arctg
x
)
=
(
−
∞
;
∞
)
,
{\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
E
(
arctg
x
)
=
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
arctg
(
−
x
)
=
−
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }
arctg
x
=
arcsin
x
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arctg
x
=
arccos
1
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arctg
x
=
arcctg
1
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}
arctg
x
=
−
i
arcth
i
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arcth} {ix}}
arcth
{\displaystyle \operatorname {arcth} }
arcth
x
=
i
arctg
i
x
{\displaystyle \operatorname {arcth} x=i\operatorname {arctg} {ix}}
y
=
tg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
(
−
π
2
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right).}
y
=
tg
x
{\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
y
=
tg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
y
=
tg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
y
=
x
.
{\displaystyle y=x.}
y
=
arcctg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x.}
m һанының арккотангенс ы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн
ctg
x
=
m
,
0
<
x
<
π
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi .}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
x
∈
R
,
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
ctg
(
arcctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}
0
<
y
<
π
,
{\displaystyle 0<y<\pi ,}
arcctg
(
ctg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}
D
(
arcctg
x
)
=
(
−
∞
;
∞
)
,
{\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
E
(
arcctg
x
)
=
(
0
;
π
)
.
{\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ).}
arcctg
(
−
x
)
=
π
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x}
(
0
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}
Теләһә ниндәй
x
.
{\displaystyle x.}
arcctg
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0}
arcctg
x
=
{
arcsin
1
1
+
x
2
,
x
⩾
0
π
−
arcsin
1
1
+
x
2
,
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}
arcctg
x
=
π
/
2
−
arctg
x
.
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
(
0
;
π
)
{\displaystyle (0;\pi )}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
(
0
;
π
)
{\displaystyle (0;\pi )}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
y
=
x
.
{\displaystyle y=x.}
Арккотангенстың графигы арктангенс графигынан, һуңғыһын ордината күсәренә ҡарата сағылдырғанда (йәғни аргументтың тамғаһын үҙгәрткәндә,
x
→
−
x
{\displaystyle x\rightarrow -x}
arcctg
x
=
arctg
(
−
x
)
+
π
/
2.
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2.}
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arccosec
(
y
)
=
arcsin
(
1
y
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
.
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} \,x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}
(
arccosec
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
.
{\displaystyle (\operatorname {arccosec} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}
Ысын һәм комплекслы x өсөн:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcctg
x
d
x
=
x
arcctg
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}
Ысын x ≥ 1 өсөн:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}
Шулай уҡ ҡарағыҙ: Кире тригонометрик функциялар интегралдары исемлеге Тура мөйөшлө өсмөйөш ABC Кире тригонометрик функциялар, әгәр өсмөйөштөң яҡтары билдәле булһа, өсмөйөш мөйөштәрен иҫәпләү өсөн ҡулланыла, мәҫәлән, косинус теоремаһы ярҙамында.
Тура мөйөшлө өсмөйөштә был функциялар яҡтарының сағыштырмаһынан шунда уҡ мөйөштәрен бирәләр.
Мәҫәлән, әгәр
a
{\displaystyle a}
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
arcsin
(
a
/
c
)
=
arccos
(
b
/
c
)
=
arctg
(
a
/
b
)
=
arccosec
(
c
/
a
)
=
arcsec
(
c
/
b
)
=
arcctg
(
b
/
a
)
.
{\displaystyle \alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).}
Комплекслы аргументтың кире тригонометрик функцияһын иҫәпләү өсөн, уларҙы натураль логарифм аша күрһәтеүсе формулаларҙы ҡулланыу уңайлы:
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
=
π
2
−
i
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
+
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
arctg
z
=
i
2
(
ln
(
1
−
i
z
)
−
ln
(
1
+
i
z
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}
arcctg
z
=
i
2
(
ln
(
z
−
i
z
)
−
ln
(
z
+
i
z
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
z
−
1
)
=
π
2
+
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}
arccosec
z
=
arcsin
(
z
−
1
)
=
−
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}
Кире тригонометрик функциялар Викимилектә
![{\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3f4bf3e28749594b902927c25d875de43acb55)
![{\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cf0029d59f77e2edbf4e49629cd8563aa42d0b)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8953e7a70dae484772b5a2b5cab77216226235d)
![{\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91792aac1d518a870d412d3e7d0e9fb7f53e5887)
![{\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc41ed783f7a7698b111ce8f052693448a23a75c)
![{\displaystyle [0;\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b4498dd8c35d0d236367efa70fc7d086c3c843)
