Кәсерҙәр

8	/ 13	${\frac {8}{13}}$	числитель
числитель	знаменатель		знаменатель
Бер кәсерҙең ике төрлө яҙылышы

Кәсер математикала — берәмектең бер йәки бер-нисә өлөшөнән торған һан. Кәсерҙәр рациональ һандар яланының өлөшө булып торалар . Яҙыу ысулы буйынса кәсерҙәр ике форматҡа бүленәләр: $\pm {\frac {m}{n}}$ күренешендәге ябай һәм унарлы.

Кәсерҙәрҙең төрҙәре

Ябай кәсерҙәр

Кәсерҙең асыҡ күренеп торған һүрәтләнеше $3 \over 4$

Ғәҙәти (йәки ябай) кәсер — рациональ һандың $\pm {\frac {m}{n}}$ йәки $\pm m/n,$ бында $n\neq 0.$ күренешендәге яҙылышы. Горизонталь йәки ҡыя һыҙыҡ бүлеү тамғаһын аңлата, һөҙөмтәлә бүлендек килеп сыға. Бүленеүсе кәсерҙең числителе тип, ә бүлеүсе — знаменателе тип атала.

Ябай кәсерҙәрҙең тамғаланышы

Ябай кәсерҙәрҙең бер нисә төрлө баҫма яҙылышы бар:

• ½
• 1/2 йәки ${}^{1}/{}_{2}$ (ҡыя һыҙыҡ «солидус»)
• өҙөүсе формула: ${\frac {1}{2}}$ (горизонталь һыҙыҡ Ҡалып:Translation)тип атала
• юллы формула: ${\tfrac {1}{2}}$

Дөрөҫ һәм ҡатнаш кәсер

Числителенең модуле знаменателенең модуленән бәләкәйерәк булған кәсер дөрөҫ кәсер тип атала. Дөрөҫ булмаған кәсер ҡатнаш кәсер тип атала, һәм модуле буйынса бергә тигеҙ йәки ҙурыраҡ булған рациональ һанды сағылдыра. Мәҫәлән, ${\frac {3}{5}}$, ${\frac {7}{8}}$ и ${\frac {1}{2}}$ — дөрөҫ кәсерҙәр, ә ${\frac {8}{3}}$, ${\frac {9}{5}}$, ${\frac {2}{1}}$ и ${\frac {1}{1}}$ — ҡатнаш кәсерҙәр. Нулдән айырмалы булған һәр бөтөн һанды знаменателе 1 булған ҡатнаш кәсер рәүешендә күрһәтеп була.

Аралаш кәсерҙәр

Бөтөн һан һәм дөрөҫ кәсер күренешендә яҙылған кәсер аралаш кәсер тип атала һәм бөтөн һан менән кәсерҙең суммаһы тип һанала.Теләһә ниндәй рациональ һанды аралаш кәсер күренешендә яҙырға мөмкин. Аралаш кәсергә ҡапма-ҡаршы, тик числитель һәм знаменателдән генә торған кәсер ябай тип атала.

Мәҫәлән, $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$. Ҡәтғи математик әҙәбиәттә, аралаш кәсер менән бөтөн һандың кәсергә ҡабатландығы оҡшаш булғанлыҡтан, ундай яҙыуҙы ҡулланмауҙы хуп күрәләр, шулай уҡ яҙыу ҙур күләмле һәм иҫәпләү уңайһыҙ булғанлыҡтан.

Кәсерҙең бейеклеге

Ябай кәсерҙең бейеклеге — был кәсерҙең числителе менән знаменателе суммаһының модуле. Рациональ һандың бейеклеге — был һанға ярашлы ябай ҡыҫҡармай торған кәсерҙең числителе менән знаменателе суммаһының модуле.

Мәҫәлән, $-{\frac {15}{6}}$ кәсеренең бейеклеге $15+6=21$ тигеҙ. Ярашлы рациональ һандың бейеклеге $5+2=7$ тигеҙ, Сөнки кәсер $3$-кә ҡыҫҡара.

Ҡушма кәсерҙәр

Күп этажлы, йәки ҡушма кәсер тип бер нисә горизонталь (йәки, һирәгерәк, ҡыя) һыҙығы булған аңлатма атала:

${\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}$ йәки ${\frac {1/2}{1/3}}$ йәки ${\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}$

Унарлы кәсерҙәр

Унарлы кәсер тип кәсерҙең позицион яҙылышын атайҙар. Ул түбәндәге күренештә:

$\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots$

Мәҫәлән: $3{,}1415926$. Яҙыуҙың позицион өтөргә тиклемге өлөшө һандың (кәсерҙең) бөтөн өлөшө, ә өтөрҙән һуң торған өлөшө — кәсер өлөшө була.Бөтә ябай кәсерҙе унарлы кәсергә әйләндереп була, унарлы кәсерҙең өтөрҙән һуң сикле һанда тамғалары була йәки ул сикһеҙ периодлы кәсер була.

Һандың позицион яҙылышы өсөн унарлы иҫәпләү системаһын ғына түгел, башҡа иҫәпләү системаларын да (шул иҫәптән, фибоначчи кеүек үҙенсәлекле) ҡулланырға була.

Кәсерҙең ҡиммәте һәм кәсерҙең төп үҙсәнлеге

Кәсер ни бары һандың яҙылышы. Бер үк һанға төрлө кәсерҙәр, ябайы ла, шулай уҡ унарлыһы ла, ярашлы булырға мөмкин.

Әгәр кәсерҙең числителен дә һәм знаменателен дә бер үк дәүмәлгә ҡабатлаһаң:

${\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}$

кәсерҙәр төрлө булһа ла, кәсерҙең ҡиммәте элеккесә ҡала. Мәҫәлән:

${\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}$

Һәм киреһенсә, әгәр кәсерҙең числителе һәм знаменателенең уртаҡ бүлеүсеһе булһа, ике өлөшөн дә уртаҡ бүлеүсегә бүлергә мөмкин; бындай ғәмәл кәсерҙе ҡыҫҡартыу тип атала. Миҫал:

$~{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}$ — бында кәсерҙең числителен һәм знаменателен уларҙың уртаҡ бүлеүсеһе 4-кә ҡыҫҡарттыҡ.

Числителе һәм знаменателе үҙ-ара ябай булған кәсер ҡыҫҡармай торған кәсер тип атала, йәғни, $~\pm 1.$-ҙән башҡа уртаҡ бүлеүселәре юҡ.

Унарлы кәсер өсөн яҙыу һәр ваҡыт тиерлек бер мәғәнәлә, ләкин ташламалар ҙа була. Миҫал:

$0,999...=1$ — ике төрлө кәсер бер үк һанға ярашлы.

Кәсерҙәр менән ғәмәлдәр

Был бүлектә ябай кәсерҙәр өҫтөндә ғәмәлдәр ҡарала. Унарлы кәсерҙәр өҫтөндә ғәмәлдәр тураһында ҡара Унарлы кәсер

Уртаҡ знаменателгә килтереү

Кәсерҙәрҙе сағыштырыу, ҡушыу, алыу өсөн уларҙы үҙгәртергә, бер үк знаменателгә (килтерергә) кәрәк. Ике ${\frac {a}{b}}$ һәм ${\frac {c}{d}}$ кәсерҙәре бирелһен, ти. Ғәмәлдәр тәртибе:

• Знаменателдәрҙең иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсеһен табабыҙ: $M=[b,d]$.
• Беренсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен $M/b$ -ға ҡабатлайбыҙ.
• Икенсе кәсерҙең числителен һәм знаменателен $M/d$-ға ҡабатлайбыҙ.

Бынан һуң ике кәсерҙең дә знаменателдәре тап килә (M-ға тигеҙ). Иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсе урынына ябайыраҡ осраҡта M урынына теләһә ниндәй уртаҡ бүленеүсене алырға була, мәҫәлән, знаменателдәрҙең ҡабатландығын. Миҫалды түбәндәрәк "Сағыштырыу" бүлегендә ҡара.

Сағыштырыу

Ике ябай кәсерҙе сағыштырыу өсөн, уларҙы уртаҡ знаменателгә килтерергә кәрәк һәм килеп сыҡҡан кәсерҙәрҙең числителдәрен сағыштырырға. Числителе ҙурыраҡ булған кәсер ҙурыраҡ була.

Миҫал. ${\frac {3}{4}}$ һәм ${\frac {4}{5}}$ кәсерҙәрен сағыштырайыҡ. ИБУБ(4, 5) = 20. Кәсерҙәрҙе 20 знаменателенә килтерәбеҙ.

${\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}$

Тимәк, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Ҡушыу һәм алыу

Ике ябай кәсерҙе ҡушыу өсөн, уларҙы уртаҡ знаменателгә килтерергә кәрәк. Аҙаҡ числителдәрен ҡушырға, ә знаменателдәрен шул килеш ҡалдырырға:
: ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {3}{6}}$ + ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {5}{6}}$ Знаменателдәрҙең (бында 2 һәм 3) ИБУБ 6-ға тигеҙ. ${\frac {1}{2}}$ кәсерен 6 знаменатенә килтерәбеҙ, Бының өсөн числитель һәм знаменателде 3-кә ҡабатлайбыҙ.
${\frac {3}{6}}$ килеп сыҡты. ${\frac {1}{3}}$ кәсерен шул уҡ знаменателгә килтерәбеҙ, бының өсөн числитель һәм знаменателде 2-гә ҡабатлайбыҙ. ${\frac {2}{6}}$.
килеп сыҡты. Кәсерҙәрҙең айырмаһын табыу өсөн, уларҙы шулай уҡ уртаҡ знаменателгә килтерергә кәрәк, ә аҙаҡ числителдәрен алырға, знаменателдәрен шул килеш ҡалдырырға кәрәк:

${\frac {1}{2}}$ — ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {2}{4}}$ — ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {1}{4}}$

Знаменателдәрҙең (бында 2 һәм 4)ИБУБ 4-кә тигеҙ. $~{\frac {1}{2}}$ кәсерен 4 знаменателенә килтерәбеҙ, бының өсөн числитель һәм знаменателде 2-гә ҡабатлайбыҙ. $~{\frac {2}{4}}$ килеп сыға.

Ҡабатлау һәм бүлеү

Ике ябай кәсерҙе ҡабатлау өсөн, уларҙың числителдәрен һәм знаменателдәрен ҡабатларға кәрәк:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

Айырым осраҡта, кәсерҙе натураль һанға ҡабатлау өсөн, числителде был һанға ҡабатларға, ә знаменателде шул уҡ ҡалдырырға кәрәк:

${\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2$

Дөйөм осраҡта, һөҙөмтәләге кәсерҙең числителе һәм знаменателе үҙ-ара ябай булмаҫҡа мөмкин. Был осраҡта кәсерҙе ҡыҫҡартырға кәрәк була. Мәҫәлән:

${\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.$

Бер ябай кәсерҙе икенсеһенә бүлеү өсөн, беренсе кәсерҙе икенсеһенә кире кәсергә ҡабатларға кәрәк:

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.$

Мәҫәлән,

${\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.$

Яҙыуҙың төрлө форматтары араһында үҙгәртеүҙәр

Ябай кәсерҙе унарлы кәсергә әйләндереү өсөн, числителде знаменателгә бүлергә кәрәк. Килеп сыҡҡан кәсерҙең сикле һандағы унарлы тамғалары булырға мөмкин, йәки сикһеҙ периодлы кәсер килеп сығырға мөмкин. Миҫалдар:

${\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5$

${\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)$ — сикһеҙ ҡабатланыусы периодты түңәрәк йәйәләр эсенә яҙыу ҡабул ителгән.

Унарлы кәсерҙе ябай кәсергә әйләндереү өсөн, уның кәсер өлөшөн 10-дың ярашлы дәрәжәһенә бүленгән натураль һан итеп күрһәтергә кәрәк. Шунан һөҙөмтәгә тамғаһы менән бөтөн өлөшө өҫтәп яҙыла, аралаш кәсер килеп сыға.Миҫал:

$71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}$

Терминдың тарихы һәм этимологияһы

Кәсер термины, уның башҡа телдәрҙәге аналогы кеүек, лат. fractura һүҙенән килеп сыға, был һүҙ ғәрәп теленән шул уҡ ватырға, ваҡларға мәғәнәле тәржемә. Ябай кәсерҙәр теорияһына нигеҙҙе грек һәм һинд математиктары һалған. Ғәрәптәр аша термин, латын теленә тәржемәләнеп, Европаға күсә, ул Фибоначчиҙә (1202 йыл) телгә алына инде. Числитель һәм знаменатель терминдарын грек математигы Максим Плануд индерә. Тәүҙә европа математиктары тик ябай кәсерҙәр менән генә эш итәләр, ә астрономияла — алтмышарлы иҫәпләү системаһы менән. Ябай кәсерҙәрҙең хәҙерге тамғаланышы Боронғо Һиндостандан килеп сыҡҡан — тәүҙә уны ғәрәптәр үҙҙәренә үҙләштерәләр, ә аҙаҡ XII-XVI быуаттарҙа, — европалылар. Тәүҙә кәсерҙәрҙә кәсер һыҙығы ҡулланылмай: ${\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}$ һандары ошолай яҙылалар: ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$ Кәсер һыҙығын тик 300 йыл элек кенә даими ҡуллана башлайҙар. Европала беренсе булып һинд иҫәпләү системаһын («ғәрәп цифры» булараҡ билдәле), шул иҫәптән кәсерҙе яҙыу ысулын индергән һәм таратҡан ғалим булып ҡала писарының улы, итальян купецы, сәйәхәтсе — Фибоначчи (Леонардо Пизанский). тора. Ябай кәсерҙәр һәм улар өҫтөндә ғәмәлдәр тураһында тулы ҡиммәтле теория XVI быуатта барлыҡҡа килде (Тарталья, Клавиус).

Рәсәйҙә кәсерҙәрҙе өлөштәр тип атайҙар. Тәүге Рәсәй математика дәреслектәрендә — XVII быуатта — кәсерҙәр һыныҡ һандар. тип аталалар. Кәсер термины, латинса fractura һүҙенең аналогы булараҡ, Магницкийҙың «Арифметика»һында (1703) ябай кәсерҙәр өсөн дә, унарлы кәсерҙәр өсөн дә ҡулланыла башлай.

Унарлы кәсерҙәр беренсе башлап Ҡытайҙа яҡынса б.э. III быуатында иҫәп-хисап таҡтаһында (суаньпань) иҫәпләүҙәрҙә осрай. Унарлы кәсерҙәрҙе яҙма сығанаҡтарҙа бер ни тиклем ваҡыт традицион (позицион булмаған) форматта яҙалар, ләкин яйлап позицион система традицион системаны ҡыҫырыҡлап сығара. Персия математигы һәм астрономы Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) «Арифметика асҡысы» трактатында үҙен унарлы кәсерҙәрҙе уйлап табыусы тип иғлан итә, ләкин унарлы кәсерҙәр биш быуат элегерәк йәшәүсе Ал-Уклидиси хеҙмәттәрендә осрай.

Европала беренсе булып унарлы кәсерҙәрҙе Иммануил Бонфисяҡынса 1350 йылда индерә, ләкин Симон Стевиндың «Унынсы» (1585) мәҡәләһе донъя күргәндән һуң ғына киң танылыу ала. Стевин унарлы кәсерҙәрҙе ҡатмарлы ысул менән яҙа: мәҫәлән, 42,53 һанын ошолай яҙа: ^{${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}$} йәки 42 ⓪ 5 ① 3 ②, бында түңәрәк эсендәге йәки һыҙыҡ өҫтөндәге 0 бөтөн өлөштө, 1 — унынсы, 2 — йөҙөнсө, һәм башҡа аңлата. Бөтөн өлөштө айырыу өсөн өтөрҙө XVII быуатта ҡуллана башлайҙар.

Дөйөмләштереү

• Бүлендектәр балдағы
• Рациональ функция — күпбыуындарҙан төҙөлгән кәсер.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Юникодта кәсер
• Сылбырлы кәсер

Әҙәбиәт

• Математик энциклопедия (5 томда). — Совет Энциклопедияһы. — Т. 2.