Төркөм күрһәтмәһе

Задание группы менән бутамаҫҡа.

Төркөм күрһәтмәһе (теүәлерәк әйткәндә, һыҙыҡлы төркөм күрһәтмәһе) — бирелгән төркөмдөң векторлы арауыҡтың әйләндерелмәле һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр төркөмөнә гомоморфизмы.

Билдәләмә

$G$ — бирелгән төркөм һәм $W$ — векторлы арауыҡ булһын, ти. Ул саҡта $G$ төркөмө күрһәтмәһе — һәр $g\in G$ элементына $A_{g}:W\to W$ әйләндерелмәле һыҙыҡлы үҙгәртеүҙе ярашлы ҡуйған сағылыш ул, шуның менән бергә түбәндәге үҙсәнлектәр үтәлә

$A_{gh}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{g^{-1}}=A_{g}^{-1}\quad (\forall g,h\in G).$

Математиканың төркөм күрһәтмәләрен өйрәнгән бүлеге күрһәтмәләр теорияһы (төркөмдәрҙе) тип атала. Күрһәтмәне — төркөмдө матрицалар ярҙамында йәки һыҙыҡлы арауыҡтарҙы үҙгәртеүҙәр аша яҙыу тип аңларға мөмкин. Төркөмдәр күрһәтмәһен ҡулланыуҙың мәғәнәһе шунда, төркөмдәр теорияһы мәсьәләләре һыҙыҡлы алгебраның асыҡ күренеп торған мәсьәләләренә ҡайтып ҡалалар. Күрһәтмәләр теорияһының алгебраның һәм математиканың башҡа бүлектәренең төрлө мәсьәләләрендә ҙур роле ошоноң менән аңлатыла. мәҫәлән, $S_{n}$ симметрик төркөмдөң һәм $A_{n}$ үҙгәреүсән тамғалы төркөмдөң бер үлсәмле күрһәтмәһе 4-тән ҙурыраҡ дәрәжәле алгебраик тигеҙләмәнең радикалдарҙа хәл итеү мөмкин түгеллеген иҫбат иткәндә ҙур роль уйнайҙар. Квант механикаһында (уларҙа векторлы арауыҡ — Гильберт арауығы) төркөмдәрҙең (беренсе сиратта, Лоренц төркөмөнөң) сикһеҙ үлсәмле күрһәтмәләре ҙур роль уйнай.

Бәйле билдәләмәләр

• $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ $G$ төркөмө күрһәтмәһе булһын, ти, бында $\operatorname {Aut} (W)$ — $W$ арауығының әйләндерелмәле һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр (автоморфизмдары) төркөмө. $A$ күрһәтмәһенең үлсәнеше тип $(\dim W)$ векторлы арауығының үлсәнеше атала.

• Бер үк $G$ төркөмөнөң $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ һәм $A':G\to \operatorname {Aut} (W')$ күрһәтмәләре, әгәр векторлы арауыҡтарҙың $A'_{g}=C^{-1}A_{g}C\ (\forall g\in G)$ тигеҙлеге үтәлгән $C:W'\to W$ изоморфизмы булһа, эквивалентлы тип аталалар. Ошонан эквивалентлы күрһәтмәләрҙең үлсәмдәре бер үк булыуы килеп сыға. Ғәҙәттә күрһәтмәләрҙе эквивалентлыҡҡа тиклем теүәллек менән ҡарайҙар.

• $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ күрһәтмәһе $A^{(i)}:G\to \operatorname {Aut} (W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ күрһәтмәләренең тура суммаһы тип атала, әгәр $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ булһа, (бында $\oplus$ тамғаһы векторлы арауыҡтарҙың тура суммаһын аңлата), шуның менән бергә һәр $g\in G$ өсөн $W_{i}\subset W$ аҫарауығы $A_{g}:W\to W$ үҙгәртеүенә ҡарата инвариантлы һәм $W_{i}$-ға $A$ сикләүе менән булдырылған $G\to \operatorname {Aut} (W_{i})$ күрһәтмәһе $A^{(i)}$-ға эквивалентлы

Күрһәтмәләрҙең төрҙәре

• Күрһәтмә, әгәр ярашлы гомоморфизмдың үҙәге тик берәмек элементтан ғына торһа, теүәл тип атала.
• $G$ төркөмөнөң күрһәтмәһе, әгәр $W$ векторлы арауығында нулдән һәм $W$-ның үҙенән айырмалы, бөтә $A_{g}:W\to W\quad$ $(\forall g\in G)$ үҙгәртеүҙәре өсөн инвариантлы аҫарауыҡ булһа, килтереп сығарылмалы тип атала. Кире осраҡта күрһәтмә килтереп сығарылмалы түгел йәки ябай тип атала (шуның менән бергә $W=\{0\}$ арауығында күрһәтмә килтереп сығарылмалы түгел тип һаналмай). Машке теоремаһы, сикле төркөмдәрҙең сикле үлсәмле күрһәтмәләрен ноль (йәки ыңғай, ләкин төркөм тәртибен бүлмәүсе) характеристикалы ялан өҫтөндә һәр ваҡыт килтереп булмай торған күрһәтмәләрҙең тура суммаһына тарҡатып була тип раҫлай.
• Коммутатив төркөмдөң комплекслы һандар яланы өҫтөндә һәр килтереп булмай торған күрһәтмәһе бер үлсәмле. Бындай күрһәтмәләр характерҙар тип аталалар.
• Күрһәтмә, әгәр $W$ — $G$ төркөмөндә функциялар арауығы булһа һәм $A_{g}:W\to W$ һыҙыҡлы үҙгәртеүе һәр $f(\omega ),\ \omega \in G,$ функцияһына $f(g\omega ),\ \omega \in G$ функцияһын ярашлы ҡуйһа, даими тип атала.
• Күрһәтмә $\mathbb {C}$ яланы өҫтөндә ниндәйҙер $W$ Эрмит скаляр ҡабатландығына ҡарата унитар тип атала, әгәр бөтә $A_{g}:W\to W\quad$ $(\forall g\in G)$ үҙгәртеүҙәре унитар булһалар. Күрһәтмә, әгәр $W$ векторлы арауығында ($\mathbb {C}$ яланы өҫтөндә), уға ҡарата күрһәтмә унитар булған Эрмит скаляр ҡабатландығы индереп булһа, унитарлаштырылыусы тип атала. $G$ сикле төркөмөнөң теләһә ниндәй күрһәтмәһе унитарлаштырылыусы: $W$ арауығында ирекле $\langle x,y\rangle$ Эрмит скаляр ҡабатландығы һайлау һәм эҙләнгән Эрмит скаляр ҡабатландығын $(x,y)=\sum _{g\in G}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle$ формулаһы менән билдәләү етә.
• Әгәр $G$ ― топологик төркөм булһа, ул саҡта $G$ күрһәтмәһе аҫтында ғәҙәттә $G$ төркөмөнөң топологик векторлы арауыҡта өҙлөкһөҙ һыҙыҡлы күрһәтмәһен аңлайҙар.

Миҫалдар

• U(1) Унитар төркөм ике үлсәмле арауыҡтың үҙәк тирәләй әйләнеүҙәр төркөмө итеп күрһәтелә ала.
• $S_{n}$ симметрик төркөмдөң күрһәтмәһен ошо рәүешле табып була. $n$ үлсәмле $W$ векторлы арауығында $e_{1},\ldots ,e_{n}$ базисын һайлайбыҙ. Һәр $g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots ,i_{n})$ алмаштырмаһы өсөн $e_{k}$ базис векторын $e_{i_{k}}$ базис векторына күсереүсе, бында $k=1,\ldots ,n$, $A_{g}:W\to W$ һыҙыҡлы үҙгәртеүен билдәләйбеҙ. Шул рәүешле $S_{n}$ төркөмөнөң $n$-үлсәмле күрһәтмәһе килеп сыға.
• $S_{3}$ төркөмөнөң ике үлсәмле килтереп булмай торған күрһәтмәһен, $W$ яҫылығында $e_{1},e_{2},$ базисын һайлап алып, $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ векторын һалып һәм һәр $g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ алыштырмаһы өсөн $e_{1}$-ҙе $e_{i_{1}}$-гә һәм $e_{2}$-не $e_{i_{2}}$-гә күсереүсе $A_{g}:W\to W$ һыҙыҡлы үҙгәртеүен билдәләп, табырға мөмкин.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

Киңерәк мәғәнәлә, төркөмдөң күрһәтмәһе аҫтында, төркөмдөң ниндәйҙер $X$ күмәклегенең бөтә әйләндерелмәле үҙгәртеүҙәре төркөмөнә гомоморфизмын аңларға мөмкин. Мәҫәлән:

• Төркөмдөң проекциялы күрһәтмәһе — төркөмдөң проекциялы арауыҡтың проекциялы үҙгәртеүҙәр төркөмөнә гомоморфизмы.

Әҙәбиәт

• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, — Любое издание.
• Винберг Э. Б. Линейные представления групп, — Любое издание.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп, — Любое издание.
• Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп
• Шейнман О. К. Основы теории представлений, — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.