Факториал

n һанының факториалы (лат. factorialis — эшләүсе, яһаусы, ҡабатлаусы; n! тамғалана, эн факториа́л тип уҡыла) — 1-ҙән алып n -ға тиклем, n-ды ла индереп, бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы:

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i.

Мәҫәлән:

5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120

.

Килешеү буйынса: $0!=1$ . Шулай уҡ был тигеҙлек тәбиғи рәүештә лә үтәлә:

0!={\Bigl .}(n-1)!{\Bigr |}_{n=1}={\Bigl .}{\frac {n!}{n}}{\Bigr |}_{n=1}={\frac {1!}{1}}=1

Факториал тиҫкәре булмаған бөтөн һандар өсөн генә билдәләнә. Тиҫкәре булмаған бөтөн һандарҙың факториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалдарҙы йыш ҡына комбинаторикала, һандар теорияһында һәм функциональ анализда ҡулланалар. Факториалдың $n!$ тамғаланышын француз математигы Кристиан Крамп 1808 йылда тәҡдим иткән^[2]. Факториал бик тиҙ үҫеүсе функция булып тора. Ул теләһә ниндәй дәрәжәләге күпбыуынға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә, экспоненциаль функцияға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә (ләкин икеләтә экспоненциаль функцияға ҡарағанда $e^{e^{n}}$ яйыраҡ үҫә).

Үҙсәнлектәре

Рекуррент формула

n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}

Комбинаторлы интерпретация

Комбинаторикала n натураль һанының факториалы n элементтан торған күмәклектең перестановкалары һаны булараҡ интерпретациялана. Мәҫәлән, дүрт элементтан торған {A,B,C,D} күмәклеге өсөн 4! = 24 перестановка бар:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Факториалды комбинаторик интерпретациялау 0! = 1 тождествоһфын нигеҙләргә лә мөмкинлек бирә, сөнки буш күмәклек бер генә ысул менән тәртипкә һалынырға мөмкин.

Гамма-функция менән бәйләнеш

Комплекслы аргументлы факториалдың амплитудаһы һәм фазаһы.

Факториал бөтөн аргументлы гамма-функция менән түбәндәге нисбәт ярҙамында бәйләнгән:

n!=\Gamma (n+1).

Шулай итеп, гамма-функцияны факториалды ыңғай ысын һандар өсөн дөйөмләштереү тип ҡарайҙар. Аналитик дауам итеү юлы менән, $n=-1,-2,-3\ldots$ булғандағы айырым нөктәләрҙе алып ташлап, уны бөтә комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтәләр.

Факториалдың ысын (һәм комплекслы) һандар күмәклегенә туранан тура дөйөмләштереү булып түбәндәгесә билдәләнгән пи-функция тора:

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t

.

$\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,,$ булғанлыҡтан, натураль һандан пи-функция уның факториалы менән тап килә: $\Pi (n)=n!.$ Факториал булараҡ, пи-функция рекурсив нисбәтте ҡәнәғәтләндерә: $\Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.$

Стирлинг формулаһы

Стирлинг формулаһы — факториалды иҫәпләү өсөн асимптотик формула:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),

(ҡара. ҙур-O)^[3]. Күп осраҡта факториалды яҡынса иҫәпләү өсөн Стирлинг формулаһының баш быуынын ғына ҡарау етә:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Шуның менән бергә,

{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.

тип раҫлап була

Стирлинг Формулаһы, натураль һандар эҙмә-эҙлелеген ҡабатлап тормайынса, туранан тура, ҙур һандарҙың факториалының яҡынса ҡиммәтен табырға мөмкинлек бирә. Шулай, Стирлинг формулаһы ярҙамында еңел иҫәпләп була:

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Ябай һандарға тарҡатыу

Һәр p ябай һаны n!-ың ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатмаһына

\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .

дәрәжәһендә инә.

Шулай итеп,

n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },

бында ҡабатландыҡ бөтә ябай һандар буйынса алына. n-дан ҙурыраҡ булған һәр p ябай һаны өсөн ҡабатландыҡта ярашлы ҡабатлашыусы 1-гә тигеҙ икәне күренеп тора. Шуға күрә ҡабатландыҡты n-дан ҙур булмаған p ябай һандары буйынса ғына алырға мөмкин.

Дәрәжәле функцияның сығарылмаһы менән бәйләнеш

Тиҫкәре булмаған бөтөн n һаны өсөн:

\left(x^{n}\right)^{(n)}=n!

Мәҫәлән:

\left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)'''=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)''=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)'={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!

Башҡа үҙсәнлектәре

Натураль n һаны өсөн:

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

Дөйөмләштереү

Икеләтә факториал

n һанының икеләтә факториалы n‼ тип тамғалана һәм [1,n] киҫегендәге n кеүек үк йоп (таҡ) бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы тип билдәләнә.

Йоп n һаны өсөн:

n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!

Таҡ n һаны өсөн:

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Тиҫкәре булмаған бөтөн ике йәнәш торған һандарҙың икеләтә факториалы менән берәүһенең ябай факториалы араһында бәйләнеш.

Йопn өсөн:

n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}

Таҡ n өсөн:

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Формула сығарыу

Йоп n өсөн формула:

n!!=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!

Формуланы сығарыу: ${\begin{aligned}n!!&={\color {Gray}\underbrace {\color {Black}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n} _{\color {Black}{\tfrac {n}{2}}}}={\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2} _{\color {Black}{\tfrac {n}{2}}}}\;\cdot \;{\frac {\;2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n\;}{\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2} _{\color {Black}{\tfrac {n}{2}}}}}=\\&={2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot {\frac {n}{2}}\right)}=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!\end{aligned}}$

Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы Миҫал:

{\begin{aligned}14!!&=2^{\frac {14}{2}}\cdot \left({\frac {14}{2}}\right)!=2^{7}\cdot 7!=\\&=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)=\\&=(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)=\\&=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14=645120\end{aligned}}

Таҡ n өсөн формула:

n!!={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Формуланы сығарыу: ${\begin{aligned}n!!&={\color {Gray}\underbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n} _{\color {Black}{\frac {n+1}{2}}}}={\frac {{\color {Gray}\overbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)} ^{\color {Black}{\frac {n-1}{2}}}}\cdot {\color {Gray}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot n} ^{\color {Black}{\frac {n+1}{2}}}}}{\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)} _{\color {Black}{\frac {n-1}{2}}}}}=\\&={\frac {\color {Gray}\overbrace {\color {Black}1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot {\color {OliveGreen}(n-1)}\cdot n} ^{\color {Black}n}}{\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)} _{\color {Black}{\frac {n-1}{2}}}}}={\frac {n!}{\color {Gray}\underbrace {\color {Black}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)} _{\color {Black}{\frac {n-1}{2}}}}}={\frac {n!}{(n-1)!!}}\end{aligned}}$ Шулай итеп, тиҫкәре булмаған бөтөн ике йәнәш торған һандарҙың икеләтә факториалы араһындағы бәйләнеште берәүһенең ябай факториалы аша күрһәтеп була. Артабан таҡ n-дың икеләтә факториалы өсөн формула сығарыуҙы дауам итәбеҙ . Бер аҙымға кире әйләнеп ҡайтабыҙ (асыҡтан-асыҡ (n-1)!! килеп сыҡҡанға тиклем) һәм знаменатель өҫтөндә ҡайһы бер тождестволы алгебраик үҙгәртеүҙәр башҡарабыҙ: ${\begin{aligned}&{\color {Gray}\underbrace {\color {Black}2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)} _{\color {Black}{\frac {n-1}{2}}}}={\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2} _{\color {Black}{\tfrac {n-1}{2}}}}\;\cdot \;{\frac {\;2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot (n-1)\;}{\color {Gray}\underbrace {\color {OliveGreen}2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2} _{\color {Black}{\tfrac {n-1}{2}}}}}=\\&={2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot {\frac {n-1}{2}}\right)}=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!\end{aligned}}$ Знаменатель өсөн килеп сыҡҡан аңлатманы $n!!$ өсөн формулаға киренән ҡуябыҙ: $n!!={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}$

Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы Миҫал:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {15-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!7}}\cdot 7!}}=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)}}} }=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}}} }=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12}\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {OliveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14}}} }=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15} }=2027025\end{aligned}}

$n=2k$ йоп n һәм $n=2k+1$ таҡ n өсөн ярашлы рәүештә алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарып, бында $k$ — бөтөн тиҫкәре булмаған һан, табабыҙ:

йоп һан өсөн:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!

таҡ һан өсөн:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Килешеү буйынса: $0!!=1$ . Был тигеҙлек шулай уҡ тәбиғи рәүештә үтәлә:

0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1

Икеләтә факториал, ябай факториал кеүек үк, бөтөн тиҫкәре булмаған һандар өсөн генә билдәләнгән.

n!!-дың ҡиммәттәренең эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана^[4]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Тапҡыр факториал

n һанының m-тапҡыр факториалы $\textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}$ тип тамғалана һәм ошолай билдәләнә. n һанын $n=mk-r,$ күренешендә күрһәтеп булһын, ти; бында $k\in \mathbb {Z} ,$ $r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.$ Ул саҡта^[5]

n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)

Ғәҙәттәге һәм икеләтә факториалдар m-тапҡыр факториалдың ярашлы рәүештә m = 1 һәм m = 2 булғандағы айырым осраҡтары. Тапҡыр факториал гамма-функция менән түбәндәге нисбәт ярҙамында бәйләнгән^[6]:

n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.

Тулы булмаған факториал

Кәмеүсе факториал

Кәмеүсе факториал тип

(n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i

аңлатмаһы атала.

Мәҫәлән:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Кәмеүсе факториал n элементтан k-шар элементлы урынлаштырмалар һанын бирә.

Үҫә барыусы факториал

Үҫә барыусы факториал тип

n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.

аңлатмаһы атала

Праймориал йәки примориал

n һанының Праймориалы йәки примориалы (ингл. primorial) p_n# тип тамғалана һәм тәүге n ябай һандың ҡабатландығы тип билдәләнә. Мәҫәлән,

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310

.

Ҡайһы берҙә праймориал тип $n\#$ һанын атайҙар, ул n-дан ҙур булмаған бөтә ябай һандарҙың ҡабатландығы булараҡ билдәләнә.

Праймориалдар эҙмә-эҙлелеге ( ${\textstyle {1\#\equiv 1}}$ ла индереп) ошолай башлана^[7]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …

Суперфакториалдар

Нейл Слоан һәм Симон Плуффэ 1995 йылда суперфакториалға тәүге n факториалдың ҡабатландығы булараҡ билдәләмә бирҙеләр. Был билдәләмәгә ярашлы, дүрт һанының суперфакториалы

\operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

-гә тигеҙ.

(нығынған тамғалау булмағанлыҡтан, функциональ тамғалау ҡулланыла). Дөйөм алғанда,

\operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.

$n\geqslant 0$ Һандарының суперфакториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана^[8]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Идея 2000 йылда Генри Боттомли тарафынан дөйөмләштерелә, был гиперфакториалдарға килтерә (ингл. Superduperfactorial), ул тәүге n суперфакториалдың ҡабатландығы булып тора. $n\geqslant 0$ һандарының гиперфакториалдарының эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана^[9]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Рекуррент рәүештә дауам итеп, тапҡыр кимәлдә факториал, йәки n һанының m-кимәлле факториалы билдәләнә, ул 1-ҙән алып n-ға тиклем һандарҙың (m − 1)-кимәлдәге факториалдарының ҡабатландығы булараҡ билдәләнә, йәғни

\operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},

бында $n>0$ өсөн $\operatorname {mf} (n,0)=n$ һәм $\operatorname {mf} (0,m)=1.$

Субфакториал

Субфакториал !n n тәртибендәге тәртипһеҙлектәр һаны итеп билдәләнә, йәғни n-элементлы күмәклектең хәрәкәтһеҙ нөктәләрҙән башҡа перестановкалары.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Факторион

Иҫкәрмәләр

↑ Последовательность A000142 в OEIS
↑ Крамп, Кристиан
↑ Был тарҡатманың коэффициенттары A001163 (числителдәрҙе) һәм A001164 (знаменателдәрҙе) бирәләр
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com.
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS

[1] Последовательность A000142 в OEIS

[2] Крамп, Кристиан

[3] Был тарҡатманың коэффициенттары A001163 (числителдәрҙе) һәм A001164 (знаменателдәрҙе) бирәләр

[4] Последовательность A006882 в OEIS

[avantaplus-5] «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.

[prooflink-6] wolframalpha.com.

[7] Последовательность A002110 в OEIS

[8] Последовательность A000178 в OEIS

[9] Последовательность A055462 в OEIS

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]