Күмәклек

Күмәклек — Математиканың мөһим төшөнсәләренең береһе; ул, үҙе был күмәклектең элементтары тип аталған һәм уларҙың һәр береһе өсөн дөйөм характерлы үҙсәнлектәргә эйә булған ниндәйҙер объекттарҙың йыйылмаһы, тупланмаһы булған математик объект. Күмәклектең дөйөм үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән күмәклектәр теорияһы, шулай уҡ математиканың һәм математик логиканың оҡшаш бүлектәре шөғөлләнә.

Миҫалдар: бирелгән ҡалала йәшәүселәр күмәклеге, өҙлөкһөҙ функциялар күмәклеге, бирелгән тигеҙләмәнең сығарылыштары күмәклеге.

Күмәклек буш һәм буш булмаған, тәртипкә килтерелгән һәм тәртипкә килтерелмәгән, сикле һәм сикһеҙ булырға мөмкин, сикһеҙ күмәклек иҫәпле йәки иҫәпһеҙ булырға мөмкин. Улай ғына түгел, хәйләһеҙ, шулай уҡ аксиоматик күмәклектәр теорияларында теләһә ниндәй объект ғәҙәттә күмәклек тип һанала. Күмәклек төшөнсәһе математиканың бөтә бүлектәренә лә дөйөм идеологияны һәм терминологияны ҡулланырға мөмкинлек бирә.

Төшөнсәнең тарихы

Сикле һәм сикһеҙ күмәклектәр теорияһына нигеҙ Бернард Больцано тарафынан һалына, ул күмәклектәр теорияһы принциптарының ҡайһы берҙәрен әйтеп бирә.

1872 йылдан алып 1897 йылдарға тиклем (башлыса 1872—1884 йылдарҙа) Георг Кантор байтаҡ хеҙмәттәрен баҫтырып сығара, уларҙа күмәклектәр теорияһының төп бүлектәре, нөктәле күмәклектәр теоряһын һәм трансфинитлы һандар (кардиналь һәм рәт) күмәклектәре теоряһын да индереп, системалы рәүештә яҙып бирелә. Был хеҙмәттәрендә ул күмәклектәр теорияһының төп төшөнсәләрен индереп кенә ҡалмай, математиканы күмәклектәр теорияһы теоремаларын иҫбатлау өсөн ҡулланған яңы типтағы фекерҙәре менән байыта, уларҙы, атап әйткәндә, беренсе тапҡыр сикһеҙ күмәклектәргә ҡуллана. Шуға күрә күмәклектәр теорияһын Георг Кантор төҙөгән тип дөйөм иҫәпләнә. Күмәклекте «бирелгән үҙсәнлеккә эйә булған бөтә объекттар йыйылмаһы өсөн берҙәй исем» тип билдәләй. Был объекттарҙы күмәклек элементтары тип атай. $A(x)$ үҙсәнлегенә эйә булған объекттар күмәклеген $\{x\mid A(x)\}$ тип тамғалай. Әгәр ниндәйҙер күмәклек $Y=\{x\mid A(x)\}$ булһа, ул саҡта $A(x)$-ты $Y$ күмәклегенең характерлы үҙсәнлеге тип атай.

Был концепция парадокстарға, атап әйткәндә, Рассел парадоксына килтерә.

Күмәклектәр теорияһы ысынбарлыҡта бөтә хәҙерге математик теорияларҙың нигеҙе булараҡ файҙаланылғанлыҡтан, бер береһенә бәйһеҙ рәүештә Бертран Рассел һәм Эрнст Цермело тарафынан 1908 йылда күмәклектәр теорияһы аксиомалаштырыла. Артабан күп тикшеренеүселәр ике системаны ла, нигеҙҙә уларҙың характерын һаҡлап, киренән ҡарап сығалар һәм үҙгәртәләр. Әлегә тиклем улар һаман Рассел тибындағы теория һәм Цермело күмәклектәр теорияһы булараҡ билдәлеләр. Аҙағыраҡ Канторҙың күмәклектәр теорияһын хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы тип атау ҡабул ителгән, ә яңы төҙөлгәнен — аксиоматик күмәклектәр теорияһы тип атайҙар.

XX быуат урталарында нығынған практика буйынса күмәклек ZFC аксиомаларын (һайлау аксиомаһы менән Цермело — Френкель аксиомалары) ҡәнәғәтләндереүсе модель һымаҡ билдәләнә. Бындай ҡараш ваҡытында ҡайһы бер математик теорияларҙа күмәклек булмаған объекттар йыйылмаһы барлыҡҡа килә. Бындай йыйылмалар кластар (төрлө тәртиптәге) тип аталалар.

Күмәклек элементы

Күмәклекте төҙөүсе объекттарҙы күмәклек элементтары йәки күмәклек нөктәләре тип атайҙар. Күмәклектәрҙе йышыраҡ латин алфавитының баш хәрефтәре менән тамғалайҙар, уның элементтарын — бәләкәй хәрефтәр менән. Әгәр $a$ — $A$ күмәклегенең элементы булһа, ул саҡта $a\in A$ («$a$ $A$-ға инә») тип яҙалар. Әгәр $a$ $A$ күмәклегенең элементы булмаһа, ул саҡта $a\notin A$ («$a$ $A$-ға инмәй») тип яҙалар. Мультикүмәклектән айырмалы рәүештә күмәклектең һәр элементы уникаль, һәм күмәклектә ике берҙәй элемент була алмай. Икенсе төрлө әйткәндә, күмәклеккә унда булған элементҡа оҡшаш элементты өҫтәү, уны үҙгәртмәй:

$\{6,11\}=\{11,6\}=\{11,11,6,11,6\}$.

Ике күмәклектең тигеҙлеге $A=B$

$x\in A\iff x\in B$ булыуын аңлата.

Күмәклекте биреү

Күмәклекте биреүҙең ике төп ысулы бар: һанап биреү һәм һүрәтләү.

Беренсе ысул шунан ғибәрәт, күмәклеккә ингән элементтарҙың тулы исемлеге бирелә һәм һанап сығыла. Мәҫәлән, $Y$ 10-дан бәләкәйерәк тиҫкәре булмаған йоп һандар күмәклеген теҙем рәүешендә бирергә мөмкин: $Y=\left\{0,2,4,6,8\right\}$. Был ысулды сикле күмәклектәрҙең сикләнгән һаны өсөн генә ҡулланып була.

Икенсе ысулды күмәклекте теҙмә ярҙамында биреү ҡыйын йәки мөмкин булмағанда ҡулланалар. Был осраҡта күмәклектәр үҙҙәренең элементтарының үҙсәнлектәре менән биреләләр. Әгәр $Y$ күмәклегенә ингән бөтә элементтар ҡәнәғәтләндергән һәм $Y$ күмәклегенә инмәгән элементтар ҡәнәғәтләндермәгән $A(x)$ үҙсәнлеге бирелһә, $Y$ күмәклеге бирелгән була.

Тамғалау

$Y=\{\,x\in X\mid A(x)\,\},$

$Y$ күмәклеген биреү өсөн ҡулланыла; ул $Y$ күмәклеге $X$ күмәклегенең $A(x)$ үҙсәнлеге үтәлгән $x$ элементтарынан һәм тик шул элементтарынан ғына тора тигәнде аңлата.

Мәҫәлән, $f\colon X\to Y$ функцияһы графигын түбәндәгесә бирергә мөмкин:

$\Gamma =\{\,(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\,\},$

Күмәклектәрҙең һәм оҡшаш объекттарҙың ҡайһы бер төрҙәре

Махсус күмәклектәр

• Буш күмәклек — бер элементы ла булмаған күмәклек.
• Бер элементлы күмәклек — бер элементтан торған күмәклек.
• Универсаль күмәклек (универсум) — бөтә булыуы мөмкин булған объекттар ингән күмәклек. Рассел парадоксы менән бәйле был төшөнсә хәҙерге ваҡытта «ҡаралған мәсьәләлә ҡатнашыусы бөтә күмәклектәрҙе лә индергән күмәклек» һымаҡ аңлатыла.

Оҡшаш объекттар

• Кортеж (атап әйткәндә, тәртипкә килтерелгән пар) — сикле һандағы исемләнгән объекттарҙың тәртипкә килтерелгән йыйылмаһы. Түңәрәк йәки мөйөшлө йәйәләр эсендә яҙыла, ә элементтары ҡабатланырға мөмкиндәр.
• Мультикүмәклек (Петри селтәрҙәре теорияһында «комплект» тип атала) — тапҡырлы элементтарлы күмәклек.
• Арауыҡ — ниндәйҙер өҫтәлмә структураһы булған күмәклек.
• Вектор — ниндәйҙер яландың сикле һандағы элементтары координаталар сифатында ингән һыҙыҡлы арауыҡ элементы. Тәртип булыуы мөһим, элементтар ҡабатланырға мөмкин.
• Эҙмә-эҙлелек — бер натураль үҙгәреүсәнле функция. Элементтарҙың тәртибе мөһим булған сикһеҙ йыйылмаһы (төрлө булыуы мотлаҡ түгел) кеүек күрһәтелә.
• Аныҡ булмаған күмәклек — күмәклеккә оҡшаш математик объект, уғи ингәнлек бәйләнеш менән түгел, ә функция менән бирелә. Икенсе төрлө әйткәндә, аныҡ булмаған күмәклек элементтарына ҡарата «ҡайһы тиклем» улар күмәклеккә инәләр икәнен әйтеп була, ә ябай ғына улар күмәклеккә инәләр йәки инмәйҙәр тип кенә әйтеп булмай.

Иерархия буйынса

• Күмәклектәр күмәклеге (атап әйткәндә, булеан — бирелгән күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге).
• Аҫкүмәклек
• Өҫкүмәклек

Күмәклектәр араһында бәйләнештәр

$A\subset B$ өсөн Эйлер диаграммаһы

Ике $A$ һәм $B$ күмәклектәре бер-береһе менән төрлө бәйләнештәргә инергә мөмкиндәр.

• $A$ $B$-ға инә, әгәр $A$ күмәклегенең һәр элементы $B$ күмәклегенә лә инһә:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\in B$

• $A$ $B$-ны үҙ эсенә ала, әгәр $B$ $A$-ға инһә:

  $A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A$

• $A$ тигеҙ $B$-ға, әгәр $A$ һәм $B$ бер-береһенә инһә:

  $A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)$

  • Теләһә ниндәй күмәклек өсөн $A=A$
  • Әгәр $A=B$ булһа, ул саҡта $B=A$
  • Әгәр $A=B$, $B=C$ булһа, ул саҡта $A=C$.
• $A$ $B$-ға ҡәтғи инә, әгәр $A$ $B$-ға инһә, ләкин уға тигеҙ булмаһа:

  $A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)$

• $A$ $B$-ны ҡәтғи үҙ эсенә ала, әгәр $B$ $A$-ға ҡәтғи инһә:

  $A\supset B\Leftrightarrow B\subset A$

• $A$ һәм $B$ киҫешмәйҙәр, әгәр уларҙың уртаҡ элементтары булмаһа:

  $A$ һәм $B$ киҫешмәйҙәр $\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\notin B$

• $A$ һәм $B$ дөйөм торошта торалар, әгәр фәҡәт $A$ күмәклегенә генә ингән элемент булһа, фәҡәт $B$ күмәклегенә генә ингән элемент булһа, шулай уҡ ике күмәклеккә лә ингән элемент булһа:

  $A$ һәм $B$ дөйөм торошта торалар $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a\in A)\land (a\notin B)\land (b\in B)\land (b\notin A)\land (c\in A)\land (c\in B)$

Күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр

$A\cap B$ өсөн Венн диаграммаһы

$A\cup B$ өсөн Венн диаграммаһы

$A\setminus B$ өсөн Венн диаграммаһы

$A\triangle B$ өсөн Венн диаграммаһы

Бинар операциялар

Күмәклектәр өҫтөндә бирелгән төп бинар операциялар:

• киҫелеш:

  $A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$.

• берекмә:

  $A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$.

Әгәр $A$ һәм $B$ күмәклектәре киҫешмәһә, ул саҡта $A\cap B=\varnothing$. Уларҙың берекмәһен шулай уҡ ошолай тамғалайҙар: $A+B=A\cup B$.

• айырма:

  $A\setminus B:=A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}$.

• симметрик айырма:

  $A\triangle B\equiv A{\dot {-}}B:=$

  $(A\cup B)\setminus (A\cap B)=A\cap {\overline {B}}+{\overline {A}}\cap B=$

  $=\{x\mid (x\in A\land x\notin B)\lor (x\notin A\land x\in B)\}$.

• Декарт йәки тура ҡабатлау:

  $A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}$.

Ғәмәлдәрҙең мәғәнәһен аңлатыу өсөн йыш ҡына Венн диаграммалары ҡулланыла, уларҙа геометрик фигуралар өҫтөндә, нөктәләр күмәклеге кеүек, ғәмәлдәрҙең һөҙөмтәләре күрһәтелгән.

Киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ теләһә ниндәй күмәклектәр системаһы, киҫелеш һәм берекмәгә ҡарата дистрибутив рәшәткә төҙөй.

Унар ғәмәлдәр

$(A\cap B)^{\complement }$ өсөн Венн диаграммаһы

Тултырыу түбәндәгесә билдәләнә:

${\overline {A}}\equiv A^{\complement }:=\{x\mid x\notin A\}$.

Тултырыу ғәмәле ниндәйҙер билдәләнгән универсум ($A$ ингән универсаль күмәклек $U$) булыуын күҙ уңында тота, һәм күмәклектәрҙең был универсум менән айырмаһына ҡайтып ҡала:

${\overline {A}}=U\setminus A$.

Киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ, билдәләнгән универсумы булған күмәклектәр системаһы, шул рәүешле индерелгән тултырыу менән Буль алгебраһын төҙөй.

Булеан — бөтә аҫкүмәклектәр күмәклеге:

$2^{X}\equiv {\mathcal {P}}X:=\{A\mid A\subset X\}$.

$2^{X}$ тамғаланышы сикле күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге ҡеүәте үҙсәнлегенән килеп сыға:

$\left|2^{X}\right|=2^{|X|}$.

Булеан $2^{X}$ билдәләнгән универсумы булған, киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ $X$ күмәклектәр системаһын барлыҡҡа килтерә, йәғни, Буль алгебраһын барлыҡҡа килтерә.

Ғәмәлдәр өҫтөнлөгө

Күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу эҙмә-эҙлелеге, ғәҙәттәгесә, йәйәләр ярҙамында бирелергә мөмкин. Йәйәләр булмаған осраҡта тәүҙә унар ғәмәлдәр (тултырыу), аҙаҡ — киҫелеш, унан һуң — бер үк өҫтөнлөклө булған берекмә һәм айырма башҡарыла. Бер үк өҫтөнлөклө булған ғәмәлдәр һулдан уңға ҡарай башҡарыла. Был осраҡта шуны күҙ уңында тоторға кәрәк, $(a+b)-c=a+(b-c)$ үҙсәнлеге үтәлгән арифметик ҡушыу һәм алыуҙан айырмалы рәүештә, күмәклектәр өҫтөндә оҡшаш ғәмәлдәр өсөн был дөрөҫ түгел. Мәҫәлән, әгәр $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\}$ булһа, ул саҡта $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ ләкин, шул уҡ ваҡытта, $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$.

Ҡеүәт

Күмәклек ҡеүәте — сикле күмәклек өсөн элементтар һаны төшөнсәһен, араһында биекция урынлаштырырға мөмкин булған күмәклектәр тигеҙ ҡеүәтле булырлыҡ итеп дөйөмләштереүсе, күмәклектең характеристикаһы. $|A|$ йәки $\sharp A$ тип тамғалана. Буш күмәклектең ҡеүәте нулгә тигеҙ, сикле күмәклектәр өсөн ҡеүәт элементтар һаны менән тап килә, бер-береһе менән эсенә алыу принцибы буйынса бәйләнгән (әгәр $A\subseteq B$ булһа, ул саҡта $|A|\leqslant |B|$) һәм сикле күмәклек булеаны ҡеүәте үҙсәнлеге таралған сикһеҙ күмәклектәр өсөн, махсус кардиналь һандар индерелә: сикһеҙ күмәклектәр осрағында $|2^{A}|=2^{|A|}$ ($2^{A}$ тамғаланышы үҙе был үҙсәнлек менән нигеҙләнә).

Иң бәләкәй сикһеҙ ҡеүәт $\aleph _{0}$ тип тамғалана, был иҫәпле күмәклек ҡеүәте. Иҫәпле күмәклек булеанына биектив континуум ҡеүәте ${\mathfrak {c}}$ йәки $2^{\aleph _{0}}$ тип тамғалана. Континуум-гипотеза — иҫәпле ҡеүәт һәм континуум ҡеүәте араһында аралаш ҡеүәт юҡ тигән фараз.

Әҙәбиәт

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.