Һандар теорияһы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Һандар теорияһы''', йәки '''юғары арифметика''', — [[математика|математиканың]], беренсе башлап [[Бөтөн һан|бөтөн һандарҙың]] үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе бүлеге. Хәҙерге һандар теорияһында һандарҙың башҡа төрҙәре лә ҡарала — мәҫәлән, [[Алгебраик һан|алгебраик]] һәм [[Трансцендент һан|транцендент һандар]], шулай уҡ бөтөн һандар арифметикаһы һәм уларҙың дөйөмләштерелеүе менән бәйле төрлө сығышлы функциялар.

Һандар теорияһы буйынса тикшеренеүҙәрҙә, [[арифметика]] һәм [[Элементар алгебра|алгебра]] менән бер рәттән, геометрик һәм [[Математик анализ|аналитик]], шулай уҡ [[ихтималлыҡ теорияһы]] ысулдары ҡулланыла<ref name="brit-num-theory1"/>. Һандар теорияһы ысулдары [[криптография]]ла, [[иҫәпләү математикаһы]]нда, [[информатика]]ла киң ҡулланыла.

== Элементар һандар теорияһы ==
'''Элементар һандар теорияһында''' [[бөтөн һан]]дар математиканың башҡа бүлектәренең ысулдарын ҡулланмайса өйрәнелә. Элементар һандар теорияһының төп тематик йүнәлештәре араһында түбәндәгеләрҙе айырып әйтергә мөмкин{{sfn |Нестеренко Ю. В.|2008|с=3—6|name=NEST3}}.
* Бөтөн һандарҙың [[Бүленеүсәнлек|бүленеүсәнлек теорияһы]].
* [[Иң ҙур уртаҡ бүлеүсе]]не һәм [[иң бәләкәй уртаҡ бүленеүсе]]не иҫәпләү өсөн [[Евклид алгоритмы]].
* Һанды [[ябай ҡабатлашыусылар]]ға тарҡатыу һәм [[арифметиканың төп теоремаһы]].
* [[Модуле буйынса сағыштырыу|Модуле буйынса сағыштырыуҙар теорияһы]].
* [[Сынйырлы кәсерҙәр]].
* [[Диофант тигшеҙләмәһе|Диофант тигшеҙләмәләре]], йәғни аныҡһыҙ тигеҙләмәләрҙе бөтөн һандарҙа сығарыу.
* Ҡайһы бер бөтөн һандар кластарын өйрәнеү — [[камил һан]]дар, [[Фибоначчи һандары]] һәм башҡалар.
* [[Ферманың бәләкәй теоремаһы]] һәм уны дөйөмләштереү: [[Эйлер теоремаһы (һандар теорияһы)|Эйлер теоремаһы]].
* [[Пифагорҙың өс һаны]]н табыу, [[дүрт куб тураһында мәсьәлә]].
* [[Ҡыҙыҡлы математика]] — мәҫәлән, [[тылсымлы квадрат]]тар төҙөү

== Һандарҙың аналитик теорияһы ==
{{main|Һандарҙың аналитик теорияһы}}
'''Һандарҙың аналитик теорияһында''' һандар һәм һанлы функциялар тураһында раҫлауҙарҙы сығарыу һәм иҫбатлау өсөн ҡеүәтле [[математик анализ]] (ысын, һәм шулай уҡ [[Комплекслы анализ]]), ҡайһы берҙә шулай уҡ [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһы аппараты ҡулланыла. Был һандар теорияһының тикшеренеүҙәр тематикаһын һиҙелерлек киңәйтергә мөмкинлек бирә. Атап әйткәндә, уға шундай яңы бүлектәр инде<ref name=NEST3/>.
* Натураль һандар рәтендә һәм башҡа эҙмә-эҙлелектәрҙә [[Ябай һандарҙың таралыу функцияһы|ябай һандарҙың таралыуы]] (мәҫәлән, бирелгән күпбыуын ҡиммәттәре араһында).
* Натурал һандарҙы билдәле бер төрҙәге [[Һандың бүлгеләнеүе|ҡушылыусылар суммаһы рәүешендә]] (ябай һандарҙың, квадраттарҙың һәм башҡа шулай) күрһәтеү.
* [[Диофант яҡынлауҙары]].

Һандар теорияһында аналитик ысулдарҙы ҡулланыуҙа беренсе аҙым булып, [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] тарафынан әйтеп бирелгән килтереп сығарыусы функциялар ысулы тора.
: <math>a_1 x_1+...+a_n x_n=N,</math> бында <math>a_1,...,a_n</math> — [[натураль һандар]], күренешендәге [[Һыҙыҡлы тигеҙләмә|һыҙыҡлы тигеҙләмәнең]] тиҫкәре булмаған бөтөн һанлы сығарылыштары һанын асыҡлау өсөн,
Эйлер килтереп сығарыусы функция төҙөй, ул [[Йыйылыусан рәт|йыйылыусан рәттәрҙең]] (<math>|z|<1</math> булғанда) ҡабатландығы һымаҡ билдәләнә
: <math>F_i(z)=\sum^\infty_{k=0}{z^a_i k}</math>
һәм [[геометрик прогрессия]] быуындары суммаһы булып тора, шуның менән бергә
: <math>F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N,</math>
бында <math>l(N)</math> — өйрәнелгән тигеҙләмәнең сығарылыштары һаны.
Был ысулдың нигеҙендә Харди — Литлвудтың әйләнмәле ысулы төҙөлгән<ref name="bse"/>.

[[Уртаҡлыҡтың квадратик законы]] өҫтөндә эштә [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]
: <math>S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p}</math> күренешендәге сикле суммаларҙы күрә,
улар ([[Эйлер формулаһы]] буйынса) [[синус]]тар һәм [[косинус]]тар суммаһы күренешендә күрһәтелергә мөмкиндәр, щуға күрә улар тригонометрик суммаларҙың айырым осрағы булып торалар<ref name="bse"/>. Теге йәки был тигеҙләмәләрҙең йәки тигеҙләмәләр системаларының бөтөн һандарҙа сығарылыштары һанын баһаларға мөмкинлек биргән [[тригонометрик суммалар ысулы]] һандарҙың аналитик ысулында ҙур роль уйнай. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]] был ысулдың нигеҙҙәрен эшләй һәм беренсе булып һандар теорияһы мәсьәләләренә ҡуллана.

Ябай һандарҙың сикһеҙлеге тураһында Евклид теоремаһын иҫбатлау өҫтөндә эшләгәндә, Эйлер бөтә ябай һандар буйынса ҡабатландыҡты ҡарай һәм тождество формулировкаһын әйтә:
: <math>\Pi_p \left ( 1-\frac{1}{p^s} \right ) ^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^s},</math>
был дзета-функциялар теорияһы өсөн нигеҙ була<ref name="bse"/>. Һандарҙың аналитик теорияһының иң билдәле һәм әлегә тиклем хәл ителмәгән проблемаһы булып [[Риман гипотезаһы|дзета-функцияның нулдәре тураһында Риман гипотезаһын]] иҫбатлау тора, ул <math>\zeta(s) = 0</math> тигеҙләмәһенең бөтә тривиаль булмаған тамырҙары ''һынылышлы тура һыҙыҡ''та яталар тип раҫлай <math>\mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}</math>, бында <math>\zeta(s)</math> — [[Римандың  дзета-функцияһы]].

Ябай һандарҙың сикһеҙлеге тураһында теореманы дөйөм күренештә иҫбатлау өсөн [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]], Эйлер ҡабатландығына оҡшаш рәүештә, бөтә ябай һандар буйынса ҡабатландыҡты ҡуллана, һәм
: <math>\Pi_p \left (1-\frac{\chi (p)}{p^s} \right )^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{\chi (n)}{n^s}</math> булыуын күрһәтә,
шуның менән бергә Дирихле характеры исеме алған <math>\chi(p)</math> функцияһы, түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә: ул периодлы функция, мультипликативлы һәм нулгә тождестволы тигеҙ түгел. Характерҙар һәм [[Дирихле рәте|Дирихле рәттәре]] математиканың башҡа бүлектәрендә лә ҡулланыу табалар, атап әйткәндә, [[алгебра]]ла, [[топология]]ла һәм [[функциялар теорияһы]]нда<ref name="bse"/>.

Чебышёв <math>\pi (X)</math> тип тамғаланған, <math>X</math>-тан ҙур булмаған ябай һандарҙың һаны түбәндәге закон буйынса сикһеҙлеккә ынтыла икәнен күрһәткән<ref name="bse"/>:
: <math>a \frac{X}{\ln(X)} < \pi(X) < b \frac{X}{\ln(X)},</math>
бында <math>a>1/2 \ln 2</math> һәм <math>b<2 \ln 2</math>.

[[Комплекслы анализ]]ды ҡулланыу [[ябай һан|ябай һандарҙың]] таралыуы тураһында белемде һиҙелерлек киңәйтергә мөмкинлек бирә.

== Һандарҙың алгебраик теорияһы ==
{{main|Һандарҙың алгебраик теорияһы}}
'''Һандарҙың алгебраик теорияһында''' бөтөн һан төшөнсәһе киңәйтелә, алгебраик һандар сифатында рациональ коэффициентлы [[Күпбыуын тамыры|күпбыуын тамырҙарын]] ҡарайҙар. [[Алгебраик һан|Алгебраик]] һәм [[Трансцендент һан|трансцендент һандарҙың]] дөйөм теорияһы эшләнә. Шуның менән бергә бөтөн һандар аналогы булып [[бөтөн алгебраик һан]]дар, йәғни бөтөн коэффициентлы [[унитар күпбыуын|унитар күпбыуындарҙың]] тамырҙары сығыш яһай. Бөтөн һандарҙан айырмалы рәүештә, бөтөн алгебраик һандар ҡулсаһында [[Факториаль ҡулса|факториаллек]] үҙсәнлеге, йәғни ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатманың берҙән-бер булыуы мотлаҡ түгел.

Һандарҙың алгебраик теорияһы үҙенең барлыҡҡа килеүе менән [[Диофант тигеҙләмәһе|Диофант тигеҙләмәләрен]] өйрәнеүгә, шул иҫәптән [[Ферманың бөйөк теоремаһы|Ферма теоремаһын]] иҫбатларға маташыуға бурыслы.
: <math>x^n=z^n-y^n=\prod^{n}_{i=1}(z-a_i y)</math> — [[Эрнст Куммер|Куммер]] тигеҙлеге,
бында <math>a_i</math> — берәмектән <math>n</math>-сы дәрәжә тамыр.
Шулай итеп Куммер <math>z+a_i y</math> күренешендәге яңы бөтөн һандар асыҡлай. Һуңғараҡ Лиувилль, <math>P/Q</math> күренешендәге кәсерҙәр менән яҡынайып, бында <math>P</math> һәм <math>Q</math> — бөтөн үҙ-ара ябай һандар, әгәр алгебраик һан тигеҙләмәнең <math>n</math>-сы дәрәжә тамыры булһа, ул саҡта уға <math>Q^{-n}</math>-ға ҡарағанда яҡыныраҡ килеп булмай икәнде күрһәтә<ref name="bse"/>.

Алгебраик һәм трансцендент һандарҙы билдәләгәндән һуң, һандарҙың алгебраик теорияһында конкрет һандарҙың трансцендентлығын иҫбатлау менән шөғөлләнеүсе, һәм алгебраик һандарҙы һәм уларҙың рациональ һәм алгебраик һандар менән яҡынайыу дәрәжәһен өйрәнеү менән шөғөлләнеүсе йүнәлеш айырылып сыға<ref name="bse"/>.

Һандарҙың алгебраик теорияһы [[дивизорҙар теорияһы]], [[Галуа теорияһы]], кластар яланы теорияһы, [[дзета-функция|дзета-]] һәм Дирихленең [[Дирихленең L-функцияһы|''L''-функцияһы]], [[когомология|төркөмдәр когомологияһы]] һәм башҡалар кеүек бүлектәрҙе үҙ эсенә ала.{{нет АИ|17|07|2014}}

Төп алымдарҙың береһе булып алгебраик һандар яланын ниндәйҙер метрика буйынса үҙенең өҫтәмәһенә ҡушып һалыу тора — [[Архимед аксиомаһы|Архимедтың]] (мәҫәлән, ысын йәки комплекслы һандар яланына) йәки Архимед булмаған (мәҫәлән, [[p-адлы һандар|''p''-адлы һандар]] яланына).

== Тарихи очерк ==

=== Боронғо донъяла һандар теорияһы ===
[[Файл:Plimpton 322.jpg|right|thumb|Плимптон табличкаһы, 322]]
Боронғо Египетта математик ғәмәлдәр бөтөн һандар һәм [[Египет кәсерҙәре|аликвотлы кәсерҙәр]] өҫтөндә башҡарылған{{sfn|История математики, том I|1970|с=9}}. Математик папирустарҙа сиселештәре менән мәсьәләләр һәм ярҙамсы таблицалар бар<ref name="bse_arithmetic">[http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Арифметика] // [[Большая советская энциклопедия]]</ref>. Таблицаларҙы тағы ла киңерәк ҡулланыу Вавилон өсөн хас, улар шумерҙар артынса алтмышарлы иҫәпләү системаһын ҡулланғандар. Вавилондың шына яҙыулы математик текстарында ҡабатлау һәм кире һандар таблицалары, натураль һандарҙың квадраттары һәм кубтары таблицалары бар{{sfn|История математики, том I|1970|с=37—39}}. Вавилонда бик күп Пифагор өслөгөн белгәндәр, уларҙы эҙләү өсөн, моғайын, билдәһеҙ дөйөм ысул ҡулланғандарҙыр{{sfn|История математики, том I|1970|с=50}}. Арифметика тарихында иң боронғо археологик табыш булып, беҙҙең эраға тиклем 1800 йылдар менән даталанған [[балсыҡ таблицалар]] һынығы тора [[Plimpton 322|Плимптон, 322]]. Унда [[Пифагор өслөгө|Пифагор өслөгө йыйылмаһы]], йәғни <math>a^2+b^2=c^2</math> тигеҙлеге үтәлерлек <math>(a,b,c)</math> натураль һандары теҙеме бар. Пифагор өслөгөндә биш урынлы һандар осрай, улар үҙҙәре лә шул тиклем күп, хатта улар варианттарҙы механик берәмтекләп тикшереп ҡарап табылған тип уйлау мөмкин түгел<ref name="brit-num-theory1"/>.

Һандар теорияһының нығыныуына пифагорсылар, [[Евклид]] һәм [[Диофант Александрийский|Диофант]] ҙур өлөш индерәләр. Пифагорсылар тик ыңғай бөтөн һандарҙы ҡарайҙар һәм һанды берәмектәр йыйылмаһы тип уйлайҙар. Берәмектәр бүленмәҫ булалар һәм төҙөк геометрик есемдәр күренешендә урынлашалар. Пифагорсыларға «[[фигуралы һан]]дар» («өсмөйөшлө», «квадратлы» һәм башҡалар) билдәләмәһе хас. Һандарҙың үҙсәнлеген өйрәнеп, улар һандарҙы йоп һәм таҡ һандарға, ябай һәм ҡушма һандарға бүлгәндәр. Моғайын, тап пифагорсылар тик икегә бүленеү билдәһе ярҙамында ғына, әгәр <math>1+2+...+2^n=p</math> — ябай һан булһа, ул саҡта <math>2^n p</math> — [[камил һан]] икәнен иҫбатлай алғандар. Иҫбатлау [[Евклидтың Башланғыстары|Евклидтың "Башланғыстар"ында]] килтерелә (IX, 36). Тик XVIII быуатта [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] башҡа йоп камил һан юҡ икәнен иҫбатлай, ә камил һандар һанының сикһеҙлеге мәсьәләһе әлегә тиклем хәл ителмәгән. Шулай уҡ пифагорсылар, Пифагор өслөгө тип аталған, <math>x^2+y^2=z^2</math> тигеҙләмәһенең сикһеҙ күп бөтөн сығарылыштарын тапҡандар һәм улар өсөн дөйөм формула сығарғандар{{sfn|История математики, том I|1970|с=68—69}}.

[[Бүленеүсәнлек теорияһы]] б. э. тиклем 399 йылда барлыҡҡа килә һәм, күренеүенсә, [[Теэтет Афинский|Теэтеттыҡы]] һанала. Евклид был теорияға «Башланғыстар»ҙың VII китабын һәм IX китабының бер өлөшөн арнай. Теорияның нигеҙендә ике һандың [[Иң ҙур уртаҡ бүлеүсе|иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен]] табыу өсөн [[Евклид алгоритмы]] ята. Алгоритмдың эҙемтәһе булып теләһә ниндәй һанды ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыу мөмкинлеге, һәм шулай уҡ ундай тарҡалманың берҙән-берлеге тора. Һанды ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыуҙың берҙән-берлеге законы бөтөн һандар арифметикаһының нигеҙен тәшкил итә{{sfn|История математики, том I|1970|с=74—76}}.

[[Евклидтың Башланғыстары]]на ингән VII, VIII һәм IX китаптар [[Ябай һандар|ябай һандарға]] һәм [[Бүленеүсәнлек|бүленеүсәнлеккә]] арналғандар. Атап әйткәндә, унда ике һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу алгоритмы (Евклид алгоритмы) һүрәтләнә һәм ябай һандар күмәклегенең сикһеҙлеге иҫбатлана<ref name="brit-num-theory2"/>.

[[Диофант Александрийский]], [[Боронғо Греция|Боронғо Грецияның]] үҙенән алда килеүсе математиктарынан айырмалы рәүештә, уларҙы геометрик һүрәтләп, классик алгебраның мәсьәләләрен сығара. Үҙенең «Арифметика» хеҙмәтендә ул [[полином]]иаль тигеҙләмәләр системалары өсөн (хәҙер [[Диофант тигеҙләмәһе]] тип аталған) бөтөн һанлы сығарылыштарын табыу буйынса мәсьәләләрҙе һанап сыға<ref name="brit-num-theory2"/>. Рациональ һандарҙа аныҡ булмаған тигеҙләмәләрҙе сығарыу буйынса Диофанттың хеҙмәттәре һандар теорияһы һәм алгебраик геометрия тоташҡан урында тора. Ул ике үҙгәреүсәнле икенсе тәртиптәге <math>F_2 (x,y) = 0</math> тигеҙләмәләрҙе тикшерә, улар [[конус киҫелеше]] тигеҙләмәһе булып торалар. Диофант кәкере һыҙығының рациональ нөктәләрен тапҡан ысул, әгәр ундай берәү булһа ла билдәле булһа, икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡта, координаталары бер параметрлы рациональ функциялар һымаҡ күрһәтелгән сикһеҙ күп нөктәләр бар, йәки улар бөтөнләй юҡ тип билдәләй. Өсөнсө һәм дүртенсе тәртиптәге тигеҙләмәләрҙе тикшереү өсөн ҡатмарлы геометрик ысулдар ҡулланыла (рациональ нөктәлә [[Тейеүсе тура һыҙыҡ|тейеүсе]] үткәреү, йәки артабанғы киҫешеү нөктәһен табыу өсөн ике рациональ нөктә аша тура һыҙыҡ үткәреү){{sfn|История математики, том I|1970|с=146—148}}.

=== Урта быуаттарҙа һандар теорияһы ===
[[Ҡалдыҡтар тураһында Ҡытай теоремаһы]] күнегеү сифатында [[Сунь Цзы (математик)|Сунь Цзыны]]ң «Сунь Цзы Суань Цзин» трактатына ингән ({{Китайский||孙子算经|sūnzǐ  suànjīng}})<ref name="brit-num-theory2"/>. Уның сиселешендә мөһим аҙымдарҙың береһе төшөп ҡалған, тулы иҫбатланышы беренсе булып [[Ариабхата]] тарафынан б. э. тиклем VI быуатта табылған{{Нет АИ|17|4|2012}}.

Һиндостан математиктары Ариабхата, Брахмагупта һәм Бхаскары <math>ax+b=cy</math> күренешендәге Диофант тигеҙләмәләрен бөтөн һандарҙа сығарғандар. Бынан тыш, улар <math>a x^2+b=y^2</math> күренешендәге тигеҙләмәләрҙе бөтөн һандарҙа эшләгәндәр<ref name="brit-num-theory2"/>, был Һиндостан математиктарының һандар теорияһы өлкәһендә иң юғары ҡаҙанышы булып тора. Аҙағыраҡ был тигеҙләмә һәм уның <math>b=1</math> булғандағы айырым осрағы Ферма, Эйлер, Лагранждың иғтибарын йәлеп итә. Лагранж тәҡдим иткән сығарылышын табыу ысулы һиндтыҡына яҡын була{{sfn|История математики, том I|1970|с=194—195}}.

=== Һандар теорияһының артабанғы үҫеше ===
{{also|Трансцендент һандар теорияһы}}
Һандар теорияһы Диофант тигеҙләмәләрен сығарыу һәм бөтөн һандарҙың бүленеүсәнлеге менән бәйле [[Ферма, Пьер|Ферма]] хеҙмәттәрендә артабан үҫеш ала. Атап әйткәндә, Ферма, теләһә ниндәй <math>p</math> ябай һаны һәм <math>a</math> бөтөн һаны өсөн, <math>a^p-a</math> <math>p</math>-ға бүленә тигән теореманы әйтеп бирә. Был теорема [[Ферманың бәләкәй теоремаһы]] тип атала. Бынан тыш, Диофант тигеҙләмәһенең бөтөн һандарҙа хәл иткеһеҙ булыуы тураһында теореманы, йәғни [[Ферманың бөйөк теоремаһы]]н әйтеп бирә<ref name="brit-num-theory3"/>. [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] XVIII быуат башында бәләкәй теореманы дөйөмләштереү һәм айырым осраҡтар өсөн бөйөк теореманы иҫбатлау менән шөғөлләнә<ref name="brit-num-theory4"/>. Шулай уҡ ул һандар теорияһы мәсьәләләрен сисеү өсөн ҡеүәтле математик анализ аппаратын ҡуллана башлай, килтереп сығарыусы функциялар ысулын, [[Эйлер тождествоһы]]н, шулай уҡ ябай һандарҙы ҡушыу менән бәйле мәсьәләләрҙе әйтеп бирә<ref name="bse"/>.

XIX быуатта күп күренекле ғалимдар һандар теорияһы өҫтөндә эшләй. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] сағыштырыуҙар теорияһын булдыра, уның ярҙамында ябай һандар тураһында бер нисә теорема иҫбат ителә, [[уртаҡлыҡтың квадратик законы]]н да индереп, [[Квадратичный вычет|квадратичный вычеттарҙың]] үҙсәнлектәре өйрәнелә<ref name="brit-num-theory4"/>, уларҙы иҫбатлау юлдарын эҙләп Гаусс, һуңынан тригонометрик суммаларға тиклем дөйөмләштерелгән, аныҡ күренештәге сикле рәттәрҙе ҡарай. Эйлерҙың хеҙмәттәрен артабан үҫтереп, Гаусс һәм [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]] квадратик формалар теорияһын төҙөйҙәр. Бынан тыш, айырым сығарылыштары <math>nk+l</math> күренешендәге прогрессияларҙа, бында <math>k</math> һәм <math>l</math> үҙ-ара ябай, ябай нөктәләрҙең сикһеҙлеге тураһында дөйөм теореманы иҫбатларға мөмкинлек биргән, яҫылыҡтағы өлкәләрҙә бөтөн нөктәләрҙең һаны тураһында бер нисә мәсьәлә әйтеп бирәләр<ref name="brit-num-theory4"/>. Ябай һандарҙың таралыуын артабан өйрәнеү менән Чебышёв шөғөлләнә<ref name="brit-num-theory5"/>, ул Евклид теоремаһына ҡарағанда теүәлерәк ябай һандар һанының сикһеҙлеккә ынтылыу законын күрһәтә, <math>(x,2x), x \ge 2</math> интервалында ябай һандың булыуы тураһында Бертран гипотезаһын иҫбатлай, шулай уҡ күрше ябай һандар араһындағы айырманың иң бәләкәй ҡиммәтен өҫтән баһалау тураһында мәсьәлә ҡуя (ябай игеҙәктәр тураһында мәсьәләне киңәйтеү)<ref name="bse"/>.

XX быуат башында [[Коркин, Александр Николаевич|А. Н. Коркин]], [[Золотарёв, Егор Иванович|Е. И. Золотарёв]] һәм А. А. Марков квадратик формалар теорияһы өҫтөндә эште дауам итәләр. Коркин һәм Золотарёв ыңғай кватернарлы квадратик форманың үҙгәреүсәндәре тураһында теореманы иҫбатлайҙар, ә Марков ыңғай билдәләүсенең бинар квадратик формалары минимумдарын өйрәнеү менән шөғөлләнә. Яҫылыҡтағы өлкәләрҙә бөтөн нөктәләр өсөн Дирихле сығарған формулалар Г. Ф. Вороной хеҙмәттәрендә артабан үҫеш алалар, ул 1903 йылда ҡалдыҡ быуын тәртибен билдәләй. 1906 йылда ысул, В. Серпиньский тарафынан, түңәрәктә бөтөн нөктәләр һаны тураһында Гаусс проблемаһына уңышлы күсерелә<ref name="bse"/>.

1909 йылда [[Гильберт, Давид|Д. Гильберт]] [[Варинг проблемаһы|Варингтың]] аддитив проблемаһын хәл итә<ref name="bse"/>.

Э.Куммер, Ферма теоремаһын иҫбатларға маташып, алгебраик һандар яланы менән шөғөлләнә, уның һандар күмәклеге өсөн ул бөтә дүрт алгебраик ғәмәлде ҡуллана һәм шуның менән <math>a_i</math> килтереп сығарған алгебраик һандар яланының бөтөн һандар арифметикаһын төҙөй, идеаль ҡабатлашыусылар төшөнсәһен индерә һәм һандарҙың алгебраик теорияһы барлыҡҡа килеүгә этәргес бирә. 1844 йылда Ж. Лиувилль [[Алгебраик һан|алгебраик]] һәм [[Трансцендент һан|трансцендент һандар]] төшөнсәләрен индерә, шуның менән, Эйлерҙың бөтөн һандарҙың квадрат тамырҙарының һәм логарифмдарының принципиаль айырмаһы бар тигән күрһәтмәһен, математик терминдарҙа әйтеп бирә. [[Лиувилль, Жозеф|Лиувилль]] алгебраик һандар рациональ кәсерҙәр менән насар яҡынаялар икәнен күрһәтә. XIX быуат аҙағында [[Эрмит, Шарль|Шарль Эрмит]] һәм [[Линдеман, Фердинанд фон|Ф.Линдеман]] кеүек математиктар конкрет һандарҙың трансцендентлығын иҫбатлау өҫтөндә эшләйҙәр: [[Эрмит, Шарль|Шарль Эрмит]] 1873 йылда <math>e</math> һанының трансцендентлығын иҫбатлай, [[Линдеман, Фердинанд фон|Ф.Линдеман]] 1882 йылда <math>\pi</math> һанының трансцендентлығын иҫбатлай. Икенсе йүнәлеш булып алгебраик һандарҙың рациональ йәки алгебраик һандар менән яҡынайыу дәрәжәһен өйрәнеү тора. Был өлкәлә [[Туэ, Аксель|Аксель Туэ]] эшләй, ул 1909 йылда үҙенең исеме менән аталған теореманы иҫбатлай<ref name="bse"/>.

Эштәрҙең башҡа йүнәлеше булып Риман тарафынан дзета-функцияларҙы билдәләү тора. Был функция комплекслы үҙгәреүсәндең бөтә яҫылығына аналитик дауам итә һәм бер нисә башҡа үҙсәнлеккә эйә икәне иҫбат ителә. Риман шулай уҡ дзета-функцияның нулдәре тураһында гипотеза әйтә. Дзета-функциялар өҫтөндә эшләп, [[Валле Пуссен, Шарль Жан де ла|Ш. ла Валле Пуссен]] һәм [[Адамар, Жак|Жак Адамар]] 1896 йылда ябай һандарҙың таралыуының [[Асимптота|асимптотик]] законын сығаралар. Асимптотик формулаларҙы табыу өсөн улар ҡулланған ысул, йәки комплекслы интеграллау ысулы, артабан киң ҡулланыла башлай<ref name="bse"/>.

XX быуаттың беренсе яртыһында һандар теорияһы проблемалары өҫтөндә [[Вейль, Герман|Герман Вейль]], Г.Харди һәм Дж. Литлвуд, [[Гельфонд, Александр Осипович|А. О. Гельфонд]] һәм Т. Гнейдер, [[Зигель, Карл Людвиг|К. Зигель]], [[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]] һәм [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Д. К. Фаддеев]],  [[Сельберг, Атле|А.Сельберг]] кеүек математиктар эшләйҙәр:  [[Вейль, Герман|Герман Вейль]] бөтөн һанлы функцияларҙың кәсер өлөштәренең тигеҙ таралыуы өсөн нисбәт сығара, Г.Харди һәм Дж. Литлвуд аддитив мәсьәләләрҙе сығарыуҙың әйләнмәле ысулын табалар, [[Гельфонд, Александр Осипович|А. О. Гельфонд]] һәм Т. Гнейдер [[Гильберт проблемалары|Гильберттың 7-се проблемаһын]] хәл итәләр, [[Зигель, Карл Людвиг|К. Зигель]] функциялар ҡиммәттәренең трансцендентлығы тураһында бер нисә теорема иҫбат итә, [[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]] һәм [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Д. К. Фаддеев]] <math>x^3-a y^3=1</math> Диофант тигеҙләмәһен тикшереү менән шөғөлләнәләр, [[Сельберг, Атле|А.Сельберг]] Римандың дзета-функция теорияһы өҫтөндә эшләй<ref name="bse"/>.

Һандар теорияһы үҫешенә И. М. Виноградов ҙур өлөш индерә, ул киҫектә квадратик вычеттар һәм невычеттар һаны тураһында тигеҙһеҙлек иҫбат итә, тригонометрик суммалар ысулын бирә, был ысул [[Варинг проблемаһы|Варинг]] проблемаһын хәл итеүҙе, шулай уҡ функцияның кәсер өлөштәре таралыуы буйынса байтаҡ мәсьәләләрҙе сығарыуҙы, яҫылыҡтағы һәм арауыҡтағы өлкәлә бөтөн нөктәләрҙе һәм дзета-функцияларҙың һынылышлы һыҙатта үҫеү тәртибен асыҡлауҙы ябайлаштырырға мөмкинлек бирә. Тригонометрик суммалар менән бәйле мәсьәләләрҙә уларҙың модулен мөмкин тиклем теүәл баһалау бик мөһим булып тора. Виноградов бындай баһалауҙың ике ысулын тәҡдим итә. Бынан тыш, ул уҡыусылары менән бергә, [[Риман гипотезаһы]]нан сығарылған мәсьәләләрҙе сисергә мөмкинлек биргән байтаҡ ысулдар эшләй<ref name="bse"/>.

Һандар теорияһы буйынса күп һандағы хеҙмәттәр XX быуаттың икенсе яртыһына ҡарай. [[Линник, Юрий Владимирович (математик)|Ю. В. Линник]] Харди — Литлвуд проблемаһы һәм Титчмарштың ябай бүлеүселәр проблемаһы өсөн асимптотик формулалар сығарырға мөмкинлек биргән дисперсион ысул уйлап таба<ref name="bse"/>.

Шуның менән бергә, һандар теорияһында күп һанда асыҡ проблемалар бар әле.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Ферманың бөйөк теоремаһы]]
* [[Һандар теорияһында хәл ителмәгән проблемалар]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|2|refs=

<ref name="bse">[http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150398/Чисел Чисел теория] // [[Большая советская энциклопедия]]</ref>

<ref name="brit-num-theory1">{{cite web
 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory
 |title=Number Theory, page 1
 |publisher=[[Энциклопедия Британника|Encyclopædia Britannica]]
 |accessdate=2012-06-06
 |lang=en
 |archiveurl=https://www.webcitation.org/68brtVj2E
 |archivedate=2012-06-22
}}</ref>

<ref name="brit-num-theory2">{{cite web
 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory/233897/Euclid
 |title=Number Theory, page 2
 |publisher=Encyclopædia Britannica
 |accessdate=2012-06-06
 |lang=en
 |archiveurl=https://www.webcitation.org/68bruCQEP
 |archivedate=2012-06-22
}}</ref>

<ref name="brit-num-theory3">{{cite web
 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory/233901/Pierre-de-Fermat
 |title=Number Theory, page 3
 |publisher=Encyclopædia Britannica
 |accessdate=2012-06-06
 |lang=en
 |archiveurl=https://www.webcitation.org/68bruoVmL
 |archivedate=2012-06-22
}}</ref>

<ref name="brit-num-theory4">{{cite web
 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory/233902/Number-theory-in-the-18th-century
 |title=Number Theory, page 4
 |publisher=Encyclopædia Britannica
 |accessdate=2012-06-06
 |lang=en
 |archiveurl=https://www.webcitation.org/68brvR6dQ
 |archivedate=2012-06-22
}}</ref>

<ref name="brit-num-theory5">{{cite web
 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory/233906/Prime-number-theorem
 |title=Number Theory, page 5
 |publisher=Encyclopædia Britannica
 |accessdate=2012-06-06
 |lang=en
 |archiveurl=https://www.webcitation.org/68brw5Pdm
 |archivedate=2012-06-22
}}</ref>

}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга |автор=Айерлэнд К., Роузен М. |заглавие=Классическое введение в современную теорию чисел |оригинал=A Classical Introduction to Modern Number Theory |место=М. |издательство=Мир |год=1987 |ссылка=http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm}}
* {{книга |автор=Боревич З. И., Шафаревич И. Р.  |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |страниц=510 |ссылка=http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Borevich%20Z.I.,%20Shafarevich%20I.R.%20Teorija%20chisel%20(3e%20izd.)(ru)(T)(510s).djvu}}
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Основы теории чисел
  |издательство=ГИТТЛ |место=М.-Л. |год=1952 |страниц=180
  |ссылка=http://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu }}
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времён до начала Нового времени
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|Юшкевича А. П.]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=I |ref=История математики, том I }}
* {{книга |автор=Кох Х. |заглавие=Алгебраическая теория чисел |серия=Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». |место=М. |издательство=[[ВИНИТИ]] |год=1990 |том=62 |страниц=301 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/intf166}}
* {{книга |автор=Манин Ю. И., Панчишкин А. А. |заглавие=Введение в теорию чисел |серия=Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». |место=М. |издательство=[[ВИНИТИ]] |год=1990 |том=49 |страниц=341 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/intf147}}
* {{книга |автор=Нестеренко Ю. В. |заглавие=Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений  |место=М.
  |издательство=Издательский центр «Академия» |год=2008 |страниц=272 |ref=Нестеренко Ю. В.
  |isbn=978-5-7695-4646-4 }}
* {{книга |автор=Сизый С. В. |заглавие=Лекции по теории чисел |место=Екатеринбург |издательство=Уральский государственный университет им. А. М. Горького |год=1999 |ссылка=http://virlib.eunnet.net/books/numbers/}}
* {{книга |автор=Хинчин А. Я. |заглавие=Три жемчужины теории чисел |место=М. |издательство=Наука |год=1979 |страниц=64 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-3zhem.htm}}

== Һылтанмалар ==
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLDF40A9DA145BCC7A&feature=viewall Видео лекции по теории чисел]

{{Разделы математики}}

{{Портал|Математика|Nuvola apps kpovmodeler.svg}}

[[Категория:Һандар теорияһы]]
[[Категория:Бөтөн һандар]]
[[Категория:Алгебраик һандар]]
[[Категория:Һандарҙың аналитик теорияһы]]