Һандар теорияһы

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Перейти к навигации Перейти к поиску

Һандар теорияһы, йәки юғары арифметика, — математиканың, беренсе башлап бөтөн һандарҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе бүлеге. Хәҙерге һандар теорияһында һандарҙың башҡа төрҙәре лә ҡарала — мәҫәлән, алгебраик һәм транцендент һандар, шулай уҡ бөтөн һандар арифметикаһы һәм уларҙың дөйөмләштерелеүе менән бәйле төрлө сығышлы функциялар.

Һандар теорияһы буйынса тикшеренеүҙәрҙә, арифметика һәм алгебра менән бер рәттән, геометрик һәм аналитик, шулай уҡ ихтималлыҡ теорияһы ысулдары ҡулланыла[1]. Һандар теорияһы ысулдары криптографияла, иҫәпләү математикаһында, информатикала киң ҡулланыла.

Элементар һандар теорияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Элементар һандар теорияһында бөтөн һандар математиканың башҡа бүлектәренең ысулдарын ҡулланмайса өйрәнелә. Элементар һандар теорияһының төп тематик йүнәлештәре араһында түбәндәгеләрҙе айырып әйтергә мөмкин[2].

Һандарҙың аналитик теорияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Һандарҙың аналитик теорияһында һандар һәм һанлы функциялар тураһында раҫлауҙарҙы сығарыу һәм иҫбатлау өсөн ҡеүәтле математик анализ (ысын, һәм шулай уҡ Комплекслы анализ), ҡайһы берҙә шулай уҡ дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы аппараты ҡулланыла. Был һандар теорияһының тикшеренеүҙәр тематикаһын һиҙелерлек киңәйтергә мөмкинлек бирә. Атап әйткәндә, уға шундай яңы бүлектәр инде[2].

Һандар теорияһында аналитик ысулдарҙы ҡулланыуҙа беренсе аҙым булып, Эйлер тарафынан әйтеп бирелгән килтереп сығарыусы функциялар ысулы тора.

бында натураль һандар, күренешендәге һыҙыҡлы тигеҙләмәнең тиҫкәре булмаған бөтөн һанлы сығарылыштары һанын асыҡлау өсөн,

Эйлер килтереп сығарыусы функция төҙөй, ул йыйылыусан рәттәрҙең ( булғанда) ҡабатландығы һымаҡ билдәләнә

һәм геометрик прогрессия быуындары суммаһы булып тора, шуның менән бергә

бында — өйрәнелгән тигеҙләмәнең сығарылыштары һаны. Был ысулдың нигеҙендә Харди — Литлвудтың әйләнмәле ысулы төҙөлгән[3].

Уртаҡлыҡтың квадратик законы өҫтөндә эштә Гаусс

күренешендәге сикле суммаларҙы күрә,

улар (Эйлер формулаһы буйынса) синустар һәм косинустар суммаһы күренешендә күрһәтелергә мөмкиндәр, щуға күрә улар тригонометрик суммаларҙың айырым осрағы булып торалар[3]. Теге йәки был тигеҙләмәләрҙең йәки тигеҙләмәләр системаларының бөтөн һандарҙа сығарылыштары һанын баһаларға мөмкинлек биргән тригонометрик суммалар ысулы һандарҙың аналитик ысулында ҙур роль уйнай. И. М. Виноградов был ысулдың нигеҙҙәрен эшләй һәм беренсе булып һандар теорияһы мәсьәләләренә ҡуллана.

Ябай һандарҙың сикһеҙлеге тураһында Евклид теоремаһын иҫбатлау өҫтөндә эшләгәндә, Эйлер бөтә ябай һандар буйынса ҡабатландыҡты ҡарай һәм тождество формулировкаһын әйтә:

был дзета-функциялар теорияһы өсөн нигеҙ була[3]. Һандарҙың аналитик теорияһының иң билдәле һәм әлегә тиклем хәл ителмәгән проблемаһы булып дзета-функцияның нулдәре тураһында Риман гипотезаһын иҫбатлау тора, ул тигеҙләмәһенең бөтә тривиаль булмаған тамырҙары һынылышлы тура һыҙыҡта яталар тип раҫлай , бында Римандың дзета-функцияһы.

Ябай һандарҙың сикһеҙлеге тураһында теореманы дөйөм күренештә иҫбатлау өсөн Дирихле, Эйлер ҡабатландығына оҡшаш рәүештә, бөтә ябай һандар буйынса ҡабатландыҡты ҡуллана, һәм

булыуын күрһәтә,

шуның менән бергә Дирихле характеры исеме алған функцияһы, түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә: ул периодлы функция, мультипликативлы һәм нулгә тождестволы тигеҙ түгел. Характерҙар һәм Дирихле рәттәре математиканың башҡа бүлектәрендә лә ҡулланыу табалар, атап әйткәндә, алгебрала, топологияла һәм функциялар теорияһында[3].

Чебышёв тип тамғаланған, -тан ҙур булмаған ябай һандарҙың һаны түбәндәге закон буйынса сикһеҙлеккә ынтыла икәнен күрһәткән[3]:

бында һәм .

Комплекслы анализды ҡулланыу ябай һандарҙың таралыуы тураһында белемде һиҙелерлек киңәйтергә мөмкинлек бирә.

Һандарҙың алгебраик теорияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Һандарҙың алгебраик теорияһында бөтөн һан төшөнсәһе киңәйтелә, алгебраик һандар сифатында рациональ коэффициентлы күпбыуын тамырҙарын ҡарайҙар. Алгебраик һәм трансцендент һандарҙың дөйөм теорияһы эшләнә. Шуның менән бергә бөтөн һандар аналогы булып бөтөн алгебраик һандар, йәғни бөтөн коэффициентлы унитар күпбыуындарҙың тамырҙары сығыш яһай. Бөтөн һандарҙан айырмалы рәүештә, бөтөн алгебраик һандар ҡулсаһында факториаллек үҙсәнлеге, йәғни ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатманың берҙән-бер булыуы мотлаҡ түгел.

Һандарҙың алгебраик теорияһы үҙенең барлыҡҡа килеүе менән Диофант тигеҙләмәләрен өйрәнеүгә, шул иҫәптән Ферма теоремаһын иҫбатларға маташыуға бурыслы.

Куммер тигеҙлеге,

бында — берәмектән -сы дәрәжә тамыр. Шулай итеп Куммер күренешендәге яңы бөтөн һандар асыҡлай. Һуңғараҡ Лиувилль, күренешендәге кәсерҙәр менән яҡынайып, бында һәм — бөтөн үҙ-ара ябай һандар, әгәр алгебраик һан тигеҙләмәнең -сы дәрәжә тамыры булһа, ул саҡта уға -ға ҡарағанда яҡыныраҡ килеп булмай икәнде күрһәтә[3].

Алгебраик һәм трансцендент һандарҙы билдәләгәндән һуң, һандарҙың алгебраик теорияһында конкрет һандарҙың трансцендентлығын иҫбатлау менән шөғөлләнеүсе, һәм алгебраик һандарҙы һәм уларҙың рациональ һәм алгебраик һандар менән яҡынайыу дәрәжәһен өйрәнеү менән шөғөлләнеүсе йүнәлеш айырылып сыға[3].

Һандарҙың алгебраик теорияһы дивизорҙар теорияһы, Галуа теорияһы, кластар яланы теорияһы, дзета- һәм Дирихленең L-функцияһы, төркөмдәр когомологияһы һәм башҡалар кеүек бүлектәрҙе үҙ эсенә ала.[сығанаҡ 1790  көн күрһәтелмәгән]

Төп алымдарҙың береһе булып алгебраик һандар яланын ниндәйҙер метрика буйынса үҙенең өҫтәмәһенә ҡушып һалыу тора — Архимедтың (мәҫәлән, ысын йәки комплекслы һандар яланына) йәки Архимед булмаған (мәҫәлән, p-адлы һандар яланына).

Тарихи очерк[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Боронғо донъяла һандар теорияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Плимптон табличкаһы, 322

Боронғо Египетта математик ғәмәлдәр бөтөн һандар һәм аликвотлы кәсерҙәр өҫтөндә башҡарылған[4]. Математик папирустарҙа сиселештәре менән мәсьәләләр һәм ярҙамсы таблицалар бар[5]. Таблицаларҙы тағы ла киңерәк ҡулланыу Вавилон өсөн хас, улар шумерҙар артынса алтмышарлы иҫәпләү системаһын ҡулланғандар. Вавилондың шына яҙыулы математик текстарында ҡабатлау һәм кире һандар таблицалары, натураль һандарҙың квадраттары һәм кубтары таблицалары бар[6]. Вавилонда бик күп Пифагор өслөгөн белгәндәр, уларҙы эҙләү өсөн, моғайын, билдәһеҙ дөйөм ысул ҡулланғандарҙыр[7]. Арифметика тарихында иң боронғо археологик табыш булып, беҙҙең эраға тиклем 1800 йылдар менән даталанған балсыҡ таблицалар һынығы тора Плимптон, 322. Унда Пифагор өслөгө йыйылмаһы, йәғни тигеҙлеге үтәлерлек натураль һандары теҙеме бар. Пифагор өслөгөндә биш урынлы һандар осрай, улар үҙҙәре лә шул тиклем күп, хатта улар варианттарҙы механик берәмтекләп тикшереп ҡарап табылған тип уйлау мөмкин түгел[1].

Һандар теорияһының нығыныуына пифагорсылар, Евклид һәм Диофант ҙур өлөш индерәләр. Пифагорсылар тик ыңғай бөтөн һандарҙы ҡарайҙар һәм һанды берәмектәр йыйылмаһы тип уйлайҙар. Берәмектәр бүленмәҫ булалар һәм төҙөк геометрик есемдәр күренешендә урынлашалар. Пифагорсыларға «фигуралы һандар» («өсмөйөшлө», «квадратлы» һәм башҡалар) билдәләмәһе хас. Һандарҙың үҙсәнлеген өйрәнеп, улар һандарҙы йоп һәм таҡ һандарға, ябай һәм ҡушма һандарға бүлгәндәр. Моғайын, тап пифагорсылар тик икегә бүленеү билдәһе ярҙамында ғына, әгәр — ябай һан булһа, ул саҡта камил һан икәнен иҫбатлай алғандар. Иҫбатлау Евклидтың "Башланғыстар"ында килтерелә (IX, 36). Тик XVIII быуатта Эйлер башҡа йоп камил һан юҡ икәнен иҫбатлай, ә камил һандар һанының сикһеҙлеге мәсьәләһе әлегә тиклем хәл ителмәгән. Шулай уҡ пифагорсылар, Пифагор өслөгө тип аталған, тигеҙләмәһенең сикһеҙ күп бөтөн сығарылыштарын тапҡандар һәм улар өсөн дөйөм формула сығарғандар[8].

Бүленеүсәнлек теорияһы б. э. тиклем 399 йылда барлыҡҡа килә һәм, күренеүенсә, Теэтеттыҡы һанала. Евклид был теорияға «Башланғыстар»ҙың VII китабын һәм IX китабының бер өлөшөн арнай. Теорияның нигеҙендә ике һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу өсөн Евклид алгоритмы ята. Алгоритмдың эҙемтәһе булып теләһә ниндәй һанды ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыу мөмкинлеге, һәм шулай уҡ ундай тарҡалманың берҙән-берлеге тора. Һанды ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыуҙың берҙән-берлеге законы бөтөн һандар арифметикаһының нигеҙен тәшкил итә[9].

Евклидтың Башланғыстарына ингән VII, VIII һәм IX китаптар ябай һандарға һәм бүленеүсәнлеккә арналғандар. Атап әйткәндә, унда ике һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу алгоритмы (Евклид алгоритмы) һүрәтләнә һәм ябай һандар күмәклегенең сикһеҙлеге иҫбатлана[10].

Диофант Александрийский, Боронғо Грецияның үҙенән алда килеүсе математиктарынан айырмалы рәүештә, уларҙы геометрик һүрәтләп, классик алгебраның мәсьәләләрен сығара. Үҙенең «Арифметика» хеҙмәтендә ул полиномиаль тигеҙләмәләр системалары өсөн (хәҙер Диофант тигеҙләмәһе тип аталған) бөтөн һанлы сығарылыштарын табыу буйынса мәсьәләләрҙе һанап сыға[10]. Рациональ һандарҙа аныҡ булмаған тигеҙләмәләрҙе сығарыу буйынса Диофанттың хеҙмәттәре һандар теорияһы һәм алгебраик геометрия тоташҡан урында тора. Ул ике үҙгәреүсәнле икенсе тәртиптәге тигеҙләмәләрҙе тикшерә, улар конус киҫелеше тигеҙләмәһе булып торалар. Диофант кәкере һыҙығының рациональ нөктәләрен тапҡан ысул, әгәр ундай берәү булһа ла билдәле булһа, икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡта, координаталары бер параметрлы рациональ функциялар һымаҡ күрһәтелгән сикһеҙ күп нөктәләр бар, йәки улар бөтөнләй юҡ тип билдәләй. Өсөнсө һәм дүртенсе тәртиптәге тигеҙләмәләрҙе тикшереү өсөн ҡатмарлы геометрик ысулдар ҡулланыла (рациональ нөктәлә тейеүсе үткәреү, йәки артабанғы киҫешеү нөктәһен табыу өсөн ике рациональ нөктә аша тура һыҙыҡ үткәреү)[11].

Урта быуаттарҙа һандар теорияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ҡалдыҡтар тураһында Ҡытай теоремаһы күнегеү сифатында Сунь Цзының «Сунь Цзы Суань Цзин» трактатына ингән (ҡыт. ябайл. 孙子算经, пиньин: sūnzǐ suànjīng)[10]. Уның сиселешендә мөһим аҙымдарҙың береһе төшөп ҡалған, тулы иҫбатланышы беренсе булып Ариабхата тарафынан б. э. тиклем VI быуатта табылған[сығанаҡ 2611  көн күрһәтелмәгән].

Һиндостан математиктары Ариабхата, Брахмагупта һәм Бхаскары күренешендәге Диофант тигеҙләмәләрен бөтөн һандарҙа сығарғандар. Бынан тыш, улар күренешендәге тигеҙләмәләрҙе бөтөн һандарҙа эшләгәндәр[10], был Һиндостан математиктарының һандар теорияһы өлкәһендә иң юғары ҡаҙанышы булып тора. Аҙағыраҡ был тигеҙләмә һәм уның булғандағы айырым осрағы Ферма, Эйлер, Лагранждың иғтибарын йәлеп итә. Лагранж тәҡдим иткән сығарылышын табыу ысулы һиндтыҡына яҡын була[12].

Һандар теорияһының артабанғы үҫеше[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Һандар теорияһы Диофант тигеҙләмәләрен сығарыу һәм бөтөн һандарҙың бүленеүсәнлеге менән бәйле Ферма хеҙмәттәрендә артабан үҫеш ала. Атап әйткәндә, Ферма, теләһә ниндәй ябай һаны һәм бөтөн һаны өсөн, -ға бүленә тигән теореманы әйтеп бирә. Был теорема Ферманың бәләкәй теоремаһы тип атала. Бынан тыш, Диофант тигеҙләмәһенең бөтөн һандарҙа хәл иткеһеҙ булыуы тураһында теореманы, йәғни Ферманың бөйөк теоремаһын әйтеп бирә[13]. Эйлер XVIII быуат башында бәләкәй теореманы дөйөмләштереү һәм айырым осраҡтар өсөн бөйөк теореманы иҫбатлау менән шөғөлләнә[14]. Шулай уҡ ул һандар теорияһы мәсьәләләрен сисеү өсөн ҡеүәтле математик анализ аппаратын ҡуллана башлай, килтереп сығарыусы функциялар ысулын, Эйлер тождествоһын, шулай уҡ ябай һандарҙы ҡушыу менән бәйле мәсьәләләрҙе әйтеп бирә[3].

XIX быуатта күп күренекле ғалимдар һандар теорияһы өҫтөндә эшләй. Гаусс сағыштырыуҙар теорияһын булдыра, уның ярҙамында ябай һандар тураһында бер нисә теорема иҫбат ителә, уртаҡлыҡтың квадратик законын да индереп, квадратичный вычеттарҙың үҙсәнлектәре өйрәнелә[14], уларҙы иҫбатлау юлдарын эҙләп Гаусс, һуңынан тригонометрик суммаларға тиклем дөйөмләштерелгән, аныҡ күренештәге сикле рәттәрҙе ҡарай. Эйлерҙың хеҙмәттәрен артабан үҫтереп, Гаусс һәм Дирихле квадратик формалар теорияһын төҙөйҙәр. Бынан тыш, айырым сығарылыштары күренешендәге прогрессияларҙа, бында һәм үҙ-ара ябай, ябай нөктәләрҙең сикһеҙлеге тураһында дөйөм теореманы иҫбатларға мөмкинлек биргән, яҫылыҡтағы өлкәләрҙә бөтөн нөктәләрҙең һаны тураһында бер нисә мәсьәлә әйтеп бирәләр[14]. Ябай һандарҙың таралыуын артабан өйрәнеү менән Чебышёв шөғөлләнә[15], ул Евклид теоремаһына ҡарағанда теүәлерәк ябай һандар һанының сикһеҙлеккә ынтылыу законын күрһәтә, интервалында ябай һандың булыуы тураһында Бертран гипотезаһын иҫбатлай, шулай уҡ күрше ябай һандар араһындағы айырманың иң бәләкәй ҡиммәтен өҫтән баһалау тураһында мәсьәлә ҡуя (ябай игеҙәктәр тураһында мәсьәләне киңәйтеү)[3].

XX быуат башында А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв һәм А. А. Марков квадратик формалар теорияһы өҫтөндә эште дауам итәләр. Коркин һәм Золотарёв ыңғай кватернарлы квадратик форманың үҙгәреүсәндәре тураһында теореманы иҫбатлайҙар, ә Марков ыңғай билдәләүсенең бинар квадратик формалары минимумдарын өйрәнеү менән шөғөлләнә. Яҫылыҡтағы өлкәләрҙә бөтөн нөктәләр өсөн Дирихле сығарған формулалар Г. Ф. Вороной хеҙмәттәрендә артабан үҫеш алалар, ул 1903 йылда ҡалдыҡ быуын тәртибен билдәләй. 1906 йылда ысул, В. Серпиньский тарафынан, түңәрәктә бөтөн нөктәләр һаны тураһында Гаусс проблемаһына уңышлы күсерелә[3].

1909 йылда Д. Гильберт Варингтың аддитив проблемаһын хәл итә[3].

Э.Куммер, Ферма теоремаһын иҫбатларға маташып, алгебраик һандар яланы менән шөғөлләнә, уның һандар күмәклеге өсөн ул бөтә дүрт алгебраик ғәмәлде ҡуллана һәм шуның менән килтереп сығарған алгебраик һандар яланының бөтөн һандар арифметикаһын төҙөй, идеаль ҡабатлашыусылар төшөнсәһен индерә һәм һандарҙың алгебраик теорияһы барлыҡҡа килеүгә этәргес бирә. 1844 йылда Ж. Лиувилль алгебраик һәм трансцендент һандар төшөнсәләрен индерә, шуның менән, Эйлерҙың бөтөн һандарҙың квадрат тамырҙарының һәм логарифмдарының принципиаль айырмаһы бар тигән күрһәтмәһен, математик терминдарҙа әйтеп бирә. Лиувилль алгебраик һандар рациональ кәсерҙәр менән насар яҡынаялар икәнен күрһәтә. XIX быуат аҙағында Шарль Эрмит һәм Ф.Линдеман кеүек математиктар конкрет һандарҙың трансцендентлығын иҫбатлау өҫтөндә эшләйҙәр: Шарль Эрмит 1873 йылда һанының трансцендентлығын иҫбатлай, Ф.Линдеман 1882 йылда һанының трансцендентлығын иҫбатлай. Икенсе йүнәлеш булып алгебраик һандарҙың рациональ йәки алгебраик һандар менән яҡынайыу дәрәжәһен өйрәнеү тора. Был өлкәлә Аксель Туэ эшләй, ул 1909 йылда үҙенең исеме менән аталған теореманы иҫбатлай[3].

Эштәрҙең башҡа йүнәлеше булып Риман тарафынан дзета-функцияларҙы билдәләү тора. Был функция комплекслы үҙгәреүсәндең бөтә яҫылығына аналитик дауам итә һәм бер нисә башҡа үҙсәнлеккә эйә икәне иҫбат ителә. Риман шулай уҡ дзета-функцияның нулдәре тураһында гипотеза әйтә. Дзета-функциялар өҫтөндә эшләп, Ш. ла Валле Пуссен һәм Жак Адамар 1896 йылда ябай һандарҙың таралыуының асимптотик законын сығаралар. Асимптотик формулаларҙы табыу өсөн улар ҡулланған ысул, йәки комплекслы интеграллау ысулы, артабан киң ҡулланыла башлай[3].

XX быуаттың беренсе яртыһында һандар теорияһы проблемалары өҫтөндә Герман Вейль, Г.Харди һәм Дж. Литлвуд, А. О. Гельфонд һәм Т. Гнейдер, К. Зигель, Б. Н. Делоне һәм Д. К. Фаддеев, А.Сельберг кеүек математиктар эшләйҙәр: Герман Вейль бөтөн һанлы функцияларҙың кәсер өлөштәренең тигеҙ таралыуы өсөн нисбәт сығара, Г.Харди һәм Дж. Литлвуд аддитив мәсьәләләрҙе сығарыуҙың әйләнмәле ысулын табалар, А. О. Гельфонд һәм Т. Гнейдер Гильберттың 7-се проблемаһын хәл итәләр, К. Зигель функциялар ҡиммәттәренең трансцендентлығы тураһында бер нисә теорема иҫбат итә, Б. Н. Делоне һәм Д. К. Фаддеев Диофант тигеҙләмәһен тикшереү менән шөғөлләнәләр, А.Сельберг Римандың дзета-функция теорияһы өҫтөндә эшләй[3].

Һандар теорияһы үҫешенә И. М. Виноградов ҙур өлөш индерә, ул киҫектә квадратик вычеттар һәм невычеттар һаны тураһында тигеҙһеҙлек иҫбат итә, тригонометрик суммалар ысулын бирә, был ысул Варинг проблемаһын хәл итеүҙе, шулай уҡ функцияның кәсер өлөштәре таралыуы буйынса байтаҡ мәсьәләләрҙе сығарыуҙы, яҫылыҡтағы һәм арауыҡтағы өлкәлә бөтөн нөктәләрҙе һәм дзета-функцияларҙың һынылышлы һыҙатта үҫеү тәртибен асыҡлауҙы ябайлаштырырға мөмкинлек бирә. Тригонометрик суммалар менән бәйле мәсьәләләрҙә уларҙың модулен мөмкин тиклем теүәл баһалау бик мөһим булып тора. Виноградов бындай баһалауҙың ике ысулын тәҡдим итә. Бынан тыш, ул уҡыусылары менән бергә, Риман гипотезаһынан сығарылған мәсьәләләрҙе сисергә мөмкинлек биргән байтаҡ ысулдар эшләй[3].

Һандар теорияһы буйынса күп һандағы хеҙмәттәр XX быуаттың икенсе яртыһына ҡарай. Ю. В. Линник Харди — Литлвуд проблемаһы һәм Титчмарштың ябай бүлеүселәр проблемаһы өсөн асимптотик формулалар сығарырға мөмкинлек биргән дисперсион ысул уйлап таба[3].

Шуның менән бергә, һандар теорияһында күп һанда асыҡ проблемалар бар әле.

Шулай уҡ ҡарағыҙ[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. 1,0 1,1 Number Theory, page 1  (инг.). Encyclopædia Britannica. Тәүге сығанаҡтан архивланған 22 июнь 2012. 6 июнь 2012 тикшерелгән.
  2. 2,0 2,1 Нестеренко Ю. В., 2008, с. 3—6
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 Чисел теория // Большая советская энциклопедия
  4. История математики, том I, 1970, с. 9
  5. Арифметика // Большая советская энциклопедия
  6. История математики, том I, 1970, с. 37—39
  7. История математики, том I, 1970, с. 50
  8. История математики, том I, 1970, с. 68—69
  9. История математики, том I, 1970, с. 74—76
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 Number Theory, page 2  (инг.). Encyclopædia Britannica. Тәүге сығанаҡтан архивланған 22 июнь 2012. 6 июнь 2012 тикшерелгән.
  11. История математики, том I, 1970, с. 146—148
  12. История математики, том I, 1970, с. 194—195
  13. Number Theory, page 3  (инг.). Encyclopædia Britannica. Тәүге сығанаҡтан архивланған 22 июнь 2012. 6 июнь 2012 тикшерелгән.
  14. 14,0 14,1 14,2 Number Theory, page 4  (инг.). Encyclopædia Britannica. Тәүге сығанаҡтан архивланған 22 июнь 2012. 6 июнь 2012 тикшерелгән.
  15. Number Theory, page 5  (инг.). Encyclopædia Britannica. Тәүге сығанаҡтан архивланған 22 июнь 2012. 6 июнь 2012 тикшерелгән.

Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Һылтанмалар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ҡалып:Разделы математики