Гильберт проблемалары

Гильберт проблемалары
	Гильберт проблемалары
Кем хөрмәтенә аталған	Давид Гильберт
Автор	Давид Гильберт
Нәшер ителеү ваҡыты	8 август 1900
Тасуирлау биттәре	treccani.it/enciclopedia…
Баҫылған	Математические проблемы[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Был исемлектә	математическая задача[d] һәм Гипотеза (математика)
	Гильберт проблемалары Викимилектә

Ги́льберт проблемалары — Давид Гильберт тарафынан 1900 йылда Парижда математиктарҙың II Халыҡ-ара Конгрессында тәҡдим иткән математиканың 23 кардиналь проблемалары исемлеге. Ул ваҡытта был (математиканың нигеҙен тәшкил итеүсе, алгебраны, һандар теорияһын, геометрияны, топологияны, алгебраик геометрияны, Ли төркөмдәрен, ысын һәм комплекслы анализды, дифференциаль тигеҙләмәләрҙе, математик физиканы һәм ихтималлыҡ теорияһын, шулай уҡ вариацион иҫәпләмәне үҙ эсенә алған) проблемалар хәл ителмәгән була.

Әлеге ваҡытта 23 проблеманың 16-һы хәл ителгән. Тағы ла 2-һе корректлы математик проблема түгел (береһе бик аңлайышһыҙ итеп әйтеп бирелгән, хәл ителгәнме әллә юҡмы икәне аңлашылмай, икенсеһе, хәл итеүҙән йыраҡ торғаны, — физик проблема, ә математик түгел). Ҡалған 5 проблеманың икәүһе бер нисек тә хәл ителмәгән, ә өсәүһе айырым осраҡтар өсөн генә хәл ителгән. Гильберт исемлеген иғлан иткәндән һуң теүәл йөҙ йыл үткәс, Америка математигы Стивен Смейл хәҙерге хәл ителмәгән проблемаларҙың яңы исемлеген тәҡдим итте (уларҙың ҡайһы берҙәре хәҙер хәл ителгән инде). Үҙенең исемлеген Клэйҙың математика институты халыҡҡа иғлан итте.

Проблемалар исемлеге

№	Статусы	Ҡыҫҡаса әйтелеше	Һөҙөмтәһе	Хәл ителеү йылы
1	хәл ителгән^[1]	Континуум ҡеүәте тураһында Кантор проблемаһы (Континуум-гипотеза)	ZFC-та хәл итеү мөмкин түгел	1963
2	консенсусы юҡ^[2]	Арифметика аксиомаларының ҡаршылыҡлы булмауы.	Фекерҙе асыҡлау талап ителә
3	хәл ителгән	Тигеҙ ҙурлыҡтағы күпҡырҙарҙың тигеҙ төҙөлгәнлеге	Кире ҡағылған	1900
4	үтә аңлайышһыҙ	Тура һыҙыҡтар геодезик булған метрикаларҙы һанап сығырға Ҡалып:Асыҡлыҡ индерергә	Фекерҙе асыҡлау талап ителә^[3]
5	хәл ителгән	Бөтә өҙлөкһөҙ төркөмдәр ҙә Ли төркөмдәре буламы?	Эйе	1953
6	өлөшләтә хәл ителгән^[4]	Физика аксиомаларын математик тикшереү	Ҡуйылған проблеманы интерпретациялауға бәйле
7	хәл ителгән	$2^{\sqrt {2}}$ һаны трансцендент һан буламы (йәки иррациональ һан булһа ла)^[5]	Эйе	1934
8	өлөшләтә хәл ителгән^[6]	Ябай һандар проблемаһы (Риман гипотезаһы һәм Гольдбах проблемаһы)	Гольдбахтың тернар гипотезаһы иҫбат ителгән^[7]^[8]^[9]^[10].
9	өлөшләтә хәл ителгән^[11]	Дөйөм уртаҡлыҡ законын теләһә ниндәй һандар яланында иҫбатлау	Абелев осрағы өсөн иҫбат ителгән
10	хәл ителгән^[12]	Диофант тигеҙләмәләрен сығарыуҙың универсаль алгоритмы бармы?	Юҡ	1970
11	өлөшләтә хәл ителгән	Ирекле алгебраик һан коэффициентлы квадратик формаларҙы тикшереү
12	хәл ителмәгән	Абелев яландары тураһында Кронекер теоремаһын рационаллектең теләһә ниндәй алгебраик өлкәһенә таратыу
13	хәл ителгән	Етенсе дәрәжәләге дөйөм тигеҙләмәне ике генә үҙгәреүсәнле функция ярҙамында сығарып буламы?	Эйе	1957
14	хәл ителгән	Һыҙыҡлы алгебраик төркөмдәр инварианттары алгебраһының сикле порождённость иҫбатлаү^[13]	Кире ҡағылған	1959
15	өлөшләтә хәл ителгән	Шуберттың иҫәпләмә геометрияһын ҡәтғи нигеҙләү
16	өлөшләтә хәл ителгән^[14]	Алгебраик кәкере һыҙыҡтарҙың һәм йөҙҙәрҙең топологияһы^[15]
17	хәл ителгән	Билдәле бер формалар квадраттар суммаһы рәүешендә күрһәтелә аламы	Эйе	1927
18	хәл ителгән^[16]^[17]	Кристаллографик төркөмдәр һаны сиклеме? (a) Арауыҡты конгруэнт күпҡырҙар менән даими булмаған тултырыу бармы? (a) Гексагональ һәм кубик үҙәккә тура килтерелгән ҡырлы шарҙар төргәктәре нығыраҡ тығыҙ буламы? (b)	Эйе Эйе Эйе	(a) 1928 (b) 1998
19	хәл ителгән	Регуляр вариацион Лагранж мәсьәләләре сығарылышы һәр ваҡытта ла аналитик буламы?	Эйе	1957
20	хәл ителгән	Бөтә билдәле бер сикләүсе шарттары булған вариацион мәсьәләләрҙең дә сығарылышы бармы?	Эйе	?
21	хәл ителгән	Бирелгән монодромия төркөмө менән һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең барлығын иҫбатлау	Бармы юҡмы икәне мәсьәләне анығыраҡ итеп әйтеп биреүгә бәйле	1992
22	өлөшләтә хәл ителгән	Аналитик бәйлелектәрҙе автоморфлы функциялар ярҙамында униформизациялау
23	үтә ныҡ аңлайышһыҙ	Вариацион иҫәпләмә ысулдарын үҫтереү	Фекерҙе асыҡлау талап ителә

24-се проблема

Төп статья: Гильберттың егерме дүртенсе проблемаһы^ru_en

Башта исемлектә 24 проблема була, ләкин докладҡа әҙерләнеү барышында Гильберт уларҙың береһенән баш тарта. Был проблема ябайлыҡ критерийын һәм дөйөм ысулдарҙы иҫбатлау теорияһы менән бәйле була. Был проблеманы Гильберттың мәҡәләләрендә немец фәндәр тарихсыһы Рюдигер Тиле 2000 йылда таба^[18].

Шулай уҡ ҡара

Иҫкәрмәләр

↑ Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).
↑ Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.
↑ Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
↑ Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число
↑ Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
↑ Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
↑ Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
↑ Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
↑ Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
↑ Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» 2012 йыл 5 февраль архивланған. (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса (инг.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑ Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
↑ Hilbert’s twenty-fourth problem 2016 йыл 3 март архивланған.. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.

Әҙәбиәт

Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 91-122.
Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84-99.
Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. — М.: «Диалектика», 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5.
Проблемы Гильберта 2018 йыл 13 февраль архивланған., Сборник под редакцией П. С. Александрова, М., Наука, 1969 г., 240 с.

Һылтанмалар

Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта 2012 йыл 5 февраль архивланған.
Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)

[1] Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

[2] Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.

[3] Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.

[4] L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.

[5] Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число

[6] Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.

[7] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…

[8] Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[9] Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[10] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[11] Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.

[12] Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.

[13] Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.

[14] Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.

[15] Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» 2012 йыл 5 февраль архивланған. (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса (инг.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.

[16] Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[17] Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.

[18] Hilbert’s twenty-fourth problem 2016 йыл 3 март архивланған.. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]