Ассоциативлыҡ (математика)

$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ ассоциативлығын визуалләштереү

Ассоциативлыҡ ( төркөмләнеүсәнлек) — $\circ$ бинар операцияһын $x,\;y,\;z$ элементтарына эҙмә-эҙлекле ҡулланыуҙы ирекле тәртиптә башҡарыу мөмкинлегенән торған үҙсәнлек: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$.

Терминды Уильям Гамильтон 1853 йылда индерә.

Ассоциатив операциялар өсөн $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ аңлатмаһының ҡиммәте операцияны ҡулланыу тәртибенә бәйле булмағанлыҡтан, яҙғанда йәйәләрҙе төшөрөп ҡалдыралар. Ассоциатив булмаған операциялар өсөн $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ аңлатмаһы, $n>2$ булғанда, ҡулланыу тәртибе тураһында өҫтәлмә килешеүҙәр булмаһа мәғәнәһеҙ.

Ассоциатив операциялар миҫалдары:

• Ысын һандарҙы ҡушыу: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• Ысын һандарҙы ҡабатлау: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• функциялар композицияһы: $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Ассоциатив булмаған операция миҫалы булып дәрәжәгә күтәреү ғәмәле тора — $a^{b^{c}}$ аңлатмаһының ҡиммәте йәйәләрҙең урынлашыуына туранан-тура бәйле, ғөмүмән $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$.

Һәр коммутатив операция ассоциатив түгел — ассоциатив булмаған операциялы коммутатив магмалар бар.

Ассоциативлыҡ дөйөм алгебрала мөһим роль уйнай: ҡаралған структураларҙың күпселегендә (төркөмдәрҙә, ҡулсаларҙа, яландарҙа, ярым рәшәткәләрҙә һәм рәшәткәләрҙә) бинар операциялар ассоциатив. Ярым төркөмдәр теорияһы ысынында дөйөм алгебраик ысулдар менән ассоциативлыҡ күренешен өйрәнә. Шул уҡ ваҡытта айырыуса ассоциатив булмаған системалар ҙа ҡарала, атап әйткәндә: квазитөркөмдәр, лупалар, ассоциатив булмаған ҡулсалар, ассоциатив булмаған алгебралар. Уларҙы өйрәнеү ассоциатив системаларҙың күп кенә үҙсәлектәренең улар өсөн булмауы менән ҡатмарлаша. Ҡайһы берҙә үҙсәлектәрҙе ассоциатив булмаған структураларға күсереү проблемалары әһәмиәтһеҙ булып сыға (мәҫәлән, сикле күмәклектәр өсөн Лагранж теоремаһының үтәлеү мәсьәләһе асыҡ).

Информатикала ассоциативлыҡ файҙалы үҙсәнлек тип һанала, атап әйткәндә, операцияны эҙмә-эҙлекле ҡулланыу өсөн параллелизмды ҡулланыу мөмкинлеген бирә. Шул уҡ ваҡытта күп кенә ғәмәли операциялар (йөҙөүсән нөктәле һандар менән эшләгәндә ҡушыу һәм ҡабатлау) ассоциатив түгелдәр.

Үҙсәнлек тәбиғи рәүештә $n$-ар осрағына дөйөмләштерелә: $\varphi \colon X^{n}\to X$ операцияһы, әгәр бөтә $i=1,\dots ,n$ өсөн түбәндәге тождество үтәлһә:

$\varphi (\varphi (x_{1},\dots ,x_{n}),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\dots ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n-1})$, ассоциатив тип атала.

Ассоциативлыҡ үҙенсәлектәренең көсһөҙләнгән варианттарын — дәрәжәле ассоциативлыҡ, альтернативалыҡ, һығылмалылыҡ — уларҙа эҙмә-эҙлекле ҡулланыу тәртибен тик сикләнгән осраҡтар йыйылмаһы өсөн генә үҙгәртергә мөмкин.

Әҙәбиәт

• [{{{ссылка}}} Ассоциативность] — Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
• Ҡалып:Книга:Общая алгебра