Ҡабатлау

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ҡабатлау
Обозначение знак умножения[d]
Ҡапма-ҡаршыһы Бүлеү
HTML-мнемоника ×
Commons-logo.svg Ҡабатлау Викимилектә
5 алманы 3-кә ҡабатлау 15 алманы бирә

Ҡабатлау — төп бинар математик ғәмәлдәрҙең береһе. (Ике аргументтың (ҡабатлашыусыларҙың[К 1]) арифметик ғәмәле, һөҙөмтәлә яңы һан (ҡабатландыҡ) килеп сыға. Мәҫәлән, натураль һандар өсөн: .

Дөйөм күренештә ошолай яҙырға мөмкин: . Йәғни һәр элементтар парына һәм -ның ҡабатландығы тип аталған элементы ярашлы ҡуйыла.

Яҙмала ғәҙәттә «» — ҡабатлау тамғаларының береһе менән тамғалана, мәҫәлән: Ҡабатлау рациональ һандар, ысын һандар, комплекслы һандар һәм башҡа математик, физик һәм абстракт дәүмәлдәр өсөн дә билдәләнергә мөмкин.

Ҡабатлау ғәмәленең бер нисә мөһим үҙсәнлеге бар:

Коммутативлыҡ
Ассоциативлыҡ:
Дистрибутивлыҡ:
Нулгә (нуль элементҡа) ҡабатлау нулгә тигеҙ булған һанды бирә:
Бергә (нейтраль элементҡа) ҡабатлау бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә:

Һүрәттә ҡабатлау ғәмәле аша алмаларҙы иҫәпләү күрһәтелгән, 5-шәр алманан өс төркөм, һөҙөмтәлә 15 алма килеп сыға:

Ысын һандар күмәклегендә ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәр күмәклеге графикта координаталар башы аша үткән һәм ике яҡтан парабола рәүешендә бөгөлгән йөҙ күренешендә.

Яҙыу формалары һәм терминология[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ҡабатлау аргументтар араһында «» ҡабатлау тамғаларын ҡулланып яҙыла, яҙыуҙың был формаһы инфикслы нотация тип атала. Был контекста ҡабатлау тамғаһы бинар оператор була. Ҡабатлау тамғаһының, «плюс» тип аталған ҡушыу тамғаһы кеүек махсус исеме юҡ.

Ҡулланылған символдарҙың иң боронғоһо — диагональ крестик (×). Беренсе тапҡыр уны 1631 йылда Уильям Отред үҙенең «Clavis Mathematicae» исемле хеҙмәтендә ҡуллана.
Немец математигы Готфрид Вильгельм Лейбниц өҫкәрәк күтәрелгән нөктә тамғаһын (∙) хуп күргән. Был символды ул яҙыуҙа 1698 йылда ҡуллана.
Йоханн Ран ҡабатлау тамғаһы сифатында йондоҙсоҡ тамғаһын (∗) индерә, был тамға уның «Teutsche Algebra» китабында 1659 йылда ҡулланыла.

Рәсәйҙең математика дәреслектәрендә нигеҙҙә өҫкәрәк күтәрелгән нөктә тамғаһы (∙) ҡулланыла. Йондоҙсоҡ (∗) компьютер нотацияһында ҡулланыла. Һөҙөмтә тигеҙлек тамғаһы «» ҡулланып яҙыла, мәҫәлән:

 ;
(«алты ҡабатланған өскә тигеҙ була ун һигеҙ» йәки «өс алтың ун һигеҙ»).

Йыш ҡына математик аңлатмаларҙа ҡабатлау тамғаһы төшөрөп ҡалдырыла. Мәҫәлән, урынына тип яҙыла. Символды яңылыш аңлау (идентификациялау) булмаһын өсөн, аңлатманы иғтибар менән тикшерергә кәрәк.

Үҙсәнлектәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

һандар күмәклектәрендә ҡабатлау ғәмәле түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә:

  • Ҡабатлау коммутатив — ҡабатлашыусыларҙың урынын алмаштырыуҙан ҡабатландыҡ үҙгәрмәй, шулай уҡ, ҡабатлауҙың урын алмаштырыу законы булараҡ билдәле:
Коммутативлыҡ:
  • Ҡабатлау ассоциатив — өс һәм унан күберәк һандарҙы ҡабатлағанда ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибенең әһәмиәте юҡ, шулай уҡ ҡабатлауҙың төркөмләү законы булараҡ билдәле:
Ассоциативлыҡ:
  • Ҡабатлау дистрибутив, был — бер үк күмәклектә бирелгән ике бинар ғәмәлдең ярашыусанлығы, шулай уҡ таратыу законы булараҡ билдәле[1] .
Дистрибутивлыҡ:
  • күмәклегендә ҡабатлауға ҡарата берҙән-бер нейтраль элемент бар — («бер» һаны), теләһә ниндәй һанды -гә (нейтраль элементҡа) ҡабатлау бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә:
Нейтраль элемент:
  • -гә ҡабатлау идемпотентлы — объектҡа ғәмәлде ҡабат ҡулланыу, бер тапҡыр ҡулланғандағы кеүек, шул уҡ һөҙөмтәне бирә:
Идемпотентлыҡ:
  • -гә (нуль элементҡа) ҡабатлау -де (нуль) бирә:
нуль элемент:

күмәклектәрендә бирелгән һандарҙы ҡабатлау шул уҡ күмәклеккә ингән һанды (ҡабатландыҡ) бирә, тимәк ҡабатлау ғәмәле йомоҡ ғәмәлдәргә инә (һөҙөмтәне был һандар күмәклегенән сығармаған ғәмәлдәргә), йәғни һандар күмәклектәре ҡабатлау ғәмәленә ҡарата ҡулса төҙөй.

Дөйөм алгебра телендә юғарыла һанап кителгән ҡабатлау үҙсәнлектәр ҡабатлау ғәмәленә ҡарата абелев төркөмдәр булыуы тураһында һөйләй.

Математик аңлатмаларҙа ҡабатлау ғәмәле ҡушыу һәм алыу ғәмәлдәренә ҡарата юғарыраҡ өҫтөнлөккә эйә, йәғни уларҙан алдараҡ башҡарыла.

Ҡабатлау ғәмәлен башҡарыу[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ҡабатлау ғәмәлен ингән урында ҡабатланыусы һәм ҡабатлаусы һәм бер сыҡҡан урыны — ҡабатландыҡ булған ниндәйҙер «ҡара йәшник» итеп күҙ алдына килтерергә мөмкин:

Чёрный ящик.jpg

Ике һанды ҡабатлау ғәмәлен практик башҡарғанда уны ябайыраҡ ғәмәлдәр эҙмә-эҙлелегенә ҡайтарып ҡалдырырға кәрә: «ябай ҡабатлау», ҡушыу, сағыштырыу һ.б. Бының өсөн төрлө ҡабатлау ысулдары эшләнгән, мәҫәлән һандар, кәсерҙәр, векторҙар һ.б.. Натураль һандар күмәклегендә хәҙерге ваҡытта разрядлап ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Шуның менән бергә ҡабатлауҙы процедура итеп ҡарарға кәрәк (ғәмәлдән айырмалы рәүештә).

Күренеүенсә, процедура ҡатмарлы ғына, сағыштырмаса күп һандағы аҙымдарҙан тора һәм ҙур һандарҙы ҡабатлау оҙаҡ ваҡыт алырға мөмкин.

Һандар тура һыҙығында 3 * 3 = 9 ҡабатлауҙы аҙымлап башҡарыу миҫалы.

«Ябай ҡабатлау» — был контекста бер үк разрядлы һандарҙы ҡабатлау ғәмәлен аңлата, ул еңел генә ҡушыу ғәмәленә ҡайтарып ҡалдырылырға мөмкин. Ҡушыу ғәмәленең гипероператоры булып тора:

бында:  — элементты эҙмә-эҙлекле ҡушыу.

Ҡабатлау процессын ябайлаштырыу һәм тиҙләтеү өсөн «ябай ҡабатлауҙың» таблица ысулын ҡулланалар, бының өсөн для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0-дән 9-ға тиклемге һандарҙың бөтә ҡабатландыҡтар комбинацияларын алдан иҫәпләйҙәр һәм был таблицанан әҙер һөҙөмтәне алалар[2]:

Был процедура натураль һәм бөтөн һандарҙы (тамғаһын иҫәпкә алып) ҡабатлауға ҡулланыла. Башҡа һандар өсөн ҡатмарлыраҡ алгоритмдар ҡулланыла.

Һандарҙы ҡабатлау[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Натураль һандар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Натураль һандарҙың сикле күмәклектәрҙең эквивалентлылыҡ класы булараҡ билдәләмәһен файҙаланабыҙ . Биекциялар барлыҡҡа килтергән сикле күмәклектәренең эквивалентлылыҡ кластарын йәйәләр ярҙамында тамғалайбыҙ: . Ул саҡта «ҡабатлау» арифметик ғәмәле түбәндәгесә билдәләнә:

бында: күмәклектәрҙе тура ҡабатлау —  — элементтары булып бөтә мөмкин булған өсөн тәртипкә һалынған парҙар торған күмәклек. Был ғәмәл кластарҙа корректлы индерелгән, йәғни кластарҙың элементтарын һайлап алыуға бәйле түгел, һәм индуктив билдәләмә менән тап килә.

сикле күмәклеген киҫегенә сағылдырыуҙы күмәклегенең элементтарын нумерлау тип аңлап була. Был нумерлау процессын «ИҪӘП» тип атайҙар. Шулай итеп, «иҫәп» — ул натураль һандар рәте күмәклеге һәм киҫеге элементтары араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырыу ул.

Һандарҙы тамғалауҙың позицион систмаһында натураль һандарҙы ҡабатлау өсөн разрядтар буйынса ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Әгәр ике шундай һәм натураль һандары бирелһә:

бында ;  — һанының цифрҙары һаны;  — разрядтың (позицияның) тәртип номеры, ;  — иҫәпләү системаһының нигеҙе; конкрет иҫәпләү системаһының һан тамғалары (цифрҙары) күмәклеге: , , ; ул саҡта:

разрядтар буйынса ҡабатлап, аралағы һөҙөмтәләрҙе табабыҙ:

бында: r — күсереү ҡиммәте, mod() — бүлгәндән ҡалдыҡты табыу функцияһы, div() — тулы булмаған бүлендекте табыу функцияһы.

Шунан табылған аралағы һөҙөмтәләрҙе ҡушабыҙ:

Шулай итеп ҡабатлау ғәмәле бер разрядлы һандарҙы, кәрәк булғанда күсереүҙе эшләп, эҙмә-эҙ ябай ҡабатлау процедураһына ҡайтып ҡала, ул таблица методы йәки эҙмә-эҙ ҡушыу юлы менән башҡарыла. Һәм артабан ҡушыуға.

Теләһә ниндәй позицион иҫәпләү системаһында һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр шул уҡ унарлы системалағы ҡағиҙәләр буйынса башҡарыла, сөнки улар бөтәһе лә ярашлы күпбыуындар өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу ҡағиҙәләренә нигеҙләнгән. Шуның менән бергә бирелгән иҫәпләү системаһы нигеҙенә ярашлы ҡабатлау таблицаһын файҙаланырға кәрәк.

Икеле, унарлы һәм ун алтылы иҫәпләү системаларында ҡабатлау миҫалы, уңайлы булһын өсөн һандар бер-береһенең аҫтына разрядтарына ярашлы яҙылған, күсеү өҫтән яҙыла:

Бөтөн һандар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Бөтөн һандар күмәклеге — натураль һандар күмәклеген күренешендәге тиҫкәре һандарҙы өҫтәп табылған киңәйеүе [3]. Бөтөн һандар күмәклеге тип тамғалана. Бөтөн һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр натураль һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы һымаҡ билдәләнә.

Һанлы тура һыҙыҡта ыңғай һәм тиҫкәре һан.

Натураль һандарҙан айырмаһы шунда, һанлы тура һыҙыҡта тиҫкәре һандар ҡапма-ҡаршы яҡҡа йүнәлгән, был ҡабатлау процедураһын бер аҙ үҙгәртә. Һандарҙың үҙ-ара йүнәлешен иҫәпкә алырға кәрәк, бында бер нисә осраҡ булырға мөмкин:

  • Әгәр ике аргумент та ыңғай булһа, ул саҡта:
  • Әгәр аргументтарҙың береһе тиҫкәре булһа, ул саҡта: йәки
  • Әгәр ике аргумент та тиҫкәре булһа, ул саҡта:

Бында һәм артабан шулай уҡ разрядтар буйынса ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Мәҫәлән, аңлатмаһын ҡарайыҡ; һәм һандарының тамғаһы төрлө булғанлыҡтан, минус тамғаһын йәйә тышына сығарабыҙ: , артабан иҫәпләп яуапты табабыҙ: .

Рациональ һандар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Рациональ һандар күмәклеге менән тамғалана (ингл. quotient «бүлендек» һүҙенән) һәм ошо күренештә яҙылырға мөмкин:

ғәҙәттәге (йәки ябай) кәсерҙәр күренешендәге рациональ һандарҙы ҡабатлау өсөн, кәсерҙең числителдәрен һәм знаменателдәрен бер-береһенә ҡабатларға кәрәк.

Әгәр ике шундай һәм рациональ һандары бирелһә, бында: (кәсерҙәр ҡыҫҡармай торған), ул саҡта [4]:

Ҡабатлауға миҫал:

Рациональ һандар өҫтөндә «ҡабатлау» арифметик ғәмәле йомоҡ ғәмәлдәргә инә.

Ысын һандар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән ысын һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр рациональ һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы һымаҡ билдәләнә[5].

Әгәр ярашлы рәүештә рациональ һандарҙың Коши шартын ҡәнәғәтләндереүсе фундаменталь эҙмә-эҙлектәре менән билдәләнгән, сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән, һәм тип тамғаланған ике ысын һан бирелһә:

,

ул саҡта уларҙың ҡабатландығы тип һәм эҙмә-эҙлектәренең ҡабатландығы менән билдәләнгән һаны атала:

ысын һан , түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндерә:

Шулай итеп ике һәм ысын һандарының ҡабатландығы булып, бер яҡтан бөтә күренешендәге ҡабатландыҡтар һәм икенсе яҡтан бөтә күренешендәге ҡабатландыҡтар араһында тороусы ысын һаны тора [6].

Практикала, ике һәм һандарын ҡабатлау өсөн, уларҙы талап ителгән аныҡлыҡ менән алынған яҡыса рациональ һандар һәм менән алмаштырырға кәрәк. Һандарҙың ҡабатландығының яҡынса ҡиммәте итеп күрһәтелгән рациональ һандарҙың ҡабатландығы алына . Шуның менән бергә, алынған рациональ һандар һәм һандарына ҡайһы яҡтан (кәме менән йәки артығы менән) яҡынайыуы мөһим түгел. Ҡабатлау разряды буйынса ҡабатлау алгоритмы буйынса башҡарыла.

Яҡынса һандар ҡабатландығының абсолют хатаһы: , һандың абсолют хатаһы был һандың һуңғы тамғаһының яртыһына тигеҙ итеп алына. Ҡабатландыҡтың сағыштырма хатаһы аргументтарҙың сағыштырма хаталары суммаһына тигеҙ: . Табылған һөҙөмтәне беренсе дөрөҫ мәғәнәле цифрға тиклем түңәрәкләйҙәр, яҡынса һандың мәғәнәле цифры, әгәр һандың абсолют хатаһы был цифрға ярашлы разряд берәмегенең яртыһынан артмаһа, дөрөҫ цифр була.

Өтөрҙән һуң өсөнсө тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән ҡабатлауға миҫал:

  • Бирелгән һандарҙы өтөрҙән һуң 4-се тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ (иҫәпләү аныҡлығын арттырыу өсөн);
  • Табабыҙ: ;
  • Разрядтары буйынса ҡабатлайбыҙ: ;
  • Өтөрҙән һуң 3-сө тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ: .

График[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ысын һандар күмәклегендә ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе графикта координаталар башы аша үтеүсе һәм ике яҡтан өҫкә һәм аҫҡа парабола рәүешендә бөгөлгән йөҙ рәүешендә.

f(c)=a*b функцияһының графигы

булғанлыҡтан, ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе был күмәклектәр өсөн дә ошо яҫылыҡта ятасаҡ.

Комплекслы һандар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Комплекслы һан

Комплекслы һандар күмәклеге арифметик ғәмәлдәр менән ялан булып тора һәм ғәҙәттә символы менән тамғалана.

Алгебраик күренештә яҙылған ике комплекслы һандың ҡабатландығы тип түбәндәге комплекслы һан атала:

бында: ,  — уйланма берәмек.

Тригонометрик күренештә яҙылған ике комплекслы һанды ҡабатлау өсөн, уларҙың модулдәрен ҡабатларға, ә аргументтарҙы ҡушырға кәрәк:

Комплекслы яҫылыҡта комплекслы һандарҙы ҡабатлау.

бында: комплекслы һандың модуле һәм аргументы.

Күрһәтмә күренештәге комплекслы һанын комплекслы һанына ҡабатлау, һанына ярашлы вектоҙы мөйөшөнә бороуға һәм уның оҙонлоғон тапҡыр үҙгәртеүгә ҡайтып ҡала. Күрһәтмә күренештәге комплекслы һандарҙың ҡабатландығы өсөн түбәндәге тигеҙлек дөрөҫ:

бында:  — e һаны.

Экспоненциаль яҙыу[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Экспоненциаль яҙыуҙа һандар күренешендә яҙылалар, бында  — һандың мантиссаһы,  — характеристикаһы,  — иҫәпләү системаһының нигеҙе, . Экспоненциаль күренештә яҙылған ике һанды ҡабатлау өсөн уларҙың мантиссаларын һәм характеристикаларын ҡабатларға кәрәк:

Мәҫәлән:

Ирекле һандарҙы ҡабатлау[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Төрлө күмәклектәргә ингән һандарҙы ҡабатлағанда ҡабатлаусы һәм ҡабатланыусы бик үк тиң хоҡуҡлы булмағанын иҫәпкә алырға кәрәк: мәҫәлән  — рациональ һан биш тапҡыр алына, бөтәһе лә яҡшы. Был осраҡта һандың төрөн үҙгәртеүҙе башҡарырға кәрәк (әгәр конкрет мәсьәләлә бындай мөмкинлек булһа). Бының өсөн бәләкәйерәк ҡеүәтле күмәклектән алынған һан ҙурыраҡ ҡеүәтле күмәклектән алынған һан яғына киңәйтелә. Йәғни натураль һандар рациональ һандарҙың аҫкүмәклеге булыуы мнән файҙаланып, расширяем натураль һанын рациональ һанға тиклем киңәйтәбеҙ һәм ике рациональ һанды ҡабатлайбыҙ: . Ошоға оҡшаш рәүештә, булыуынан файҙаланып, төрлө күмәклектән булған һандарҙы бер береһенә ҡабатларға мөмкин.

Физик дәүмәлдәрҙе ҡабатлау[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Физик дәүмәлдәрҙең үлсәү берәмектәренең билдәле атамалары бар: (L) оҙонлоҡ өсөн — метр (м), (T) ваҡыт өсөн — секунд (с), (M) масса өсөн — грамм (г) һ.б. Шуға күрә теге йәки был дәүмәлдәрҙең ҡабатландығы ябай ғына һан түгел, ә исемле һан[7]. Исем, ҡабатлау операцияһында тиң хоҡуҡлы ҡатнашыусы, үҙаллы объект. Физик дәүмәлдәр өҫтөндә ҡабатлау ғәмәлен башҡарғанда, һан өлөштәре кеүек уларҙың исемдәре лә ҡабатлана. Үлсәмле физик дәүмәлдәрҙән тыш үлсәмһеҙ (миҡдарлы) дәүмәлдәр ҙә бар, улар формаль рәүештә һанлы күсәрҙең элементтары булып торалар, йәғни билдәле бер физик күренештәргә бәйләнмәгән һандар («штуктарҙа», «тапҡырҙарҙа» һ.б. үлсәнәләр). При умножении чисел представляющих собой Физик дәүмәлде күрһәтеүсе һандарҙы үлсәмһеҙ дәүмәлгә ҡабатлағанда, ҡабатланыусы һан дәүмәле буйынса ҡабатлаусы тапҡыр арта һәм үлсәү берәмеген һаҡлай. Мәҫәлән, әгәр 5-метрлыҡ рейкаларҙы 3 штук миҡдарында алһаҡ, ҡабатлау һөҙөмтәһендә рейкаларҙың дөйөм оҙонлоғо 15 метр булыуын табабыҙ:

5 м · 3 = 15 м.

Төрлө төрҙәге физик дәүмәлдәрҙе ҡабатлауҙы, беҙ ҡабатлаған дәүмәлдәрҙән принципиаль рәүештә айырылып торған, яңы физик дәүмәлдәрҙе табыу тип ҡарарға кәрәк. Әгәр ундай ҡабатландыҡты булдырыу физик мөмкин булһа, мәҫәлән, эште, тиҙлекте йәки башҡа дәүмәлдәрҙе тапҡанда, был дәүмәл баштағы дәүмәлдәрҙән айырмалы күмәклек төҙөй. Был осраҡта дәүмәлдәрҙең композицияһына яңы тамғалау бирелә (яңы термин), мәҫәлән: тығыҙлыҡ, тиҙләнеш, ҡеүәт һәм башҡалар[8].

Мәҫәлән, әгәр бер физик процессҡа тап килгән V = 4 м/с тиҙлекте T = 2 с ваҡытҡа ҡабатлаһаҡ, ошо уҡ физик процессҡа тап килеүсе исемле һан (физик дәүмәл) килеп сыға, ул «оҙонлоҡ» тип атала һәм метрҙарҙа үлсәнә: L = 8 м.

L = V · T = 4 м/с · 2 с = 8 (м/с) · с = 8 м.

Физик процесстарҙы математик саралар менән һүрәтләгәндә бер төрлөлөк төшөнсәһе бик мөһим роль уйнай, был мәҫәлән «1 кг он» һәм «1 кг баҡыр» ярашлы рәүештә төрлө {он} һәм {баҡыр} күмәклектәренә инеүен аңлата. Шулай уҡ бер төрлөлөк төшөнсәһе ҡабатланыусы дәүмәлдәрҙең бер физик процессҡа ҡарауын күҙ уңында тота.

Шулай уҡ ҡара[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Комментарийҙар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. Ҡайһы берҙә беренсе аргументты ҡабатланыусы, ә икенсеһен ҡабатлаусы тип, шуның менән бергә ике аргументты ла ҡабатлашыусы тип атайҙар.

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
  2. Истомина, 2005, с. 165
  3. Выгодский, 2003
  4. Гусев, 1988, с. 20
  5. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  6. Ильин, 1985, с. 46
  7. Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста. brestschool7.iatp.by. 18 апрель 2016 тикшерелгән.
  8. Макаров Владимир Петрович О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. 18 апрель 2016 тикшерелгән.

Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Һылтанмалар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]