Бүлеү

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Бүлеү
Рәсем
Тамғалау обелюс[d]
Ҡапма-ҡаршыһы Ҡабатлау
Commons-logo.svg Бүлеү Викимилектә

Бүлеү (бүлеү ғәмәле) — ҡабатлауға кире ғәмәл. Бүлеү ике нөктә , Обелюс , ҡыя һыҙыҡ йәки горизонталь һыҙыҡ менән тамғалана.

Ҡабатлау бер нисә тапҡыр ҡабатланған ҡушыуҙы алмаштырған кеүек, бүлеү бер нисә тапҡыр ҡабатланған алыуҙы алмаштыра.

Мәҫәлән, 14-те 3-кә бүлеүҙе ҡарайыҡ (14/3): 14 эсендә 3 нисә тапҡыр бар? 14-тән 3-тө алыу ғәмәлен бер нисә тапҡыр башҡарып, 14 эсендә 3 -төң дүрт тапҡыр булғанын беләбеҙ, һәм тағы 2 һаны «артып ҡала».

Был осраҡта 14 һаны бүленеүсе, 3 һаны — бүлеүсе, 4 һаны — (тулы булмаған бүлендек һәм 2 һаны — ҡалдыҡ) тип атала. Тулы бүлендек, нисбәт йәки һәм һандарының сағыштырмаһы тип шундай һаны атала, бында . һәм осрағында, уларҙың тулы бүлендеге ғәҙәти кәсере йәки унарлы кәсере рәүешендә яҙылырға мөмкин.

һәм һандарының тулы һәм тулы булмаған бүлендектәре -ға ҡалдыҡһыҙ бүленгәндә һәм тик шул саҡта ғына тап киләләр. Был һандар парының ошо үҙсәнлеге бүленеүсәнлек тип атала.

Үҙсәнлектәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

һанлы күмәклектәрендә бүлеү ғәмәле түбәндәге төп үҙсәнлектәргә эйә:

  • Бүлеү коммутатив түгел (урындарын алмаштырырға ярамай) — аргументтарҙың урындарын алмаштырыуҙан бүлендек үҙгәрә:
  • Бүлеү ассоциатив түгел — өс йәки күберәк һандарҙы бүлеүҙе эҙмә-эҙ башҡарғанда ғәмәлде башҡарыу тәртибенең әһәмиәте бар, һөҙөмтә үҙгәрә:
  • Бүлеү уңдан дистрибутив, был — бер үк күмәклектә бирелгән ике бинар операцияның ярашыусанлыҡ үҙсәнлеге, шулай уҡ таратыу законы булараҡ билдәле[1] :
Дистрибутивлыҡ:
  • күмәклегендә бүлеүгә ҡарата берҙән-бер уңдан нейтраль элемент бар ( һаны), бергә (йәки нейтраль элементҡа) бүлеү баштағы һанға тигеҙ булған һанды бирә:
уңдан нейтраль элемент:
  • күмәклегендә бүлеүгә ҡарата берҙән-бер кире элемент бар, ул берҙе был һанға бүлеп табыла, һөҙөмтәлә бирелгән һанға кире һан табыла:
Кире элемент:
  • күмәклегендә бүлеүгә ҡарата берҙән-бер һулдан нуль элемент бар — һаны, уны теләһә ниндәй һанға бүлеү нулде бирә:
Һулдан Нуль элемент:
  • Ғәҙәти арифметика ҡағиҙәләре буйынса нулгә (нуль элементҡа) бүлеү аныҡламаған;
[[Нулгә бүлеү:

натураль һандар һәм бөтөн һандар күмәклектәре өсөн бүлеү һөҙөмтәһе гел билдәле түгел, бүлеү һөҙөмтәһендә натураль йәки бөтөн һан табыу өсөн, бүленеүсе бүлеүсегә бүленергә тейеш. Был һандар сиктәрендә кәсер һөҙөмтә алыу мөмкин түгел. Был осраҡта ҡалдыҡлы бүлеү тураһында һөйләйҙәр. Йәғни был күмәклектәрҙә бүлеү өлөшләтә бинар операция.

Рациональ , ысын һәм комплекслы һандар күмәклектәрендә (яландарҙа) билдәләнгән бүлеү операцияһы, шул уҡ күмәклеккә ингән һанды (бүлендекте) бирә, тимәк, күмәклектәре бүлеү операцияһына ҡарата йомоҡ (0 нөктәһендә икенсе төрҙә өҙөк бар — шулай булғас рациональ, ысын һәм комплекслы һандар ҡулсалары бүлеү операцияһына ҡарата асыҡ).

Математик аңлатмаларҙа бүлеү операцияһы ҡушыу һәм алыу операцияларына ҡарата юғарыраҡ өҫтөнлөккә эйә, йәғни ул уларҙан алда башҡарыла.

Натураль һандарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]


1 260 257 һанын 37-кә бағаналап
бүлеү

Бөтөн һандар ҡулсаһы бүлеүгә ҡарата йомоҡ түгел. Ябай тел менән әйткәндә, бер бөтөн һандың икенсеһенә бүлендеге бөтөн һан булмаҫҡа мөмкин. Әгәр бүлеү һөҙөмтәһе бөтөн һан булһа, ҡалдыҡһыҙ бүленеү тип әйтелә.

Һандарҙы бүлеү элек-электән иң ауыр арифметик ғәмәл тип һанала. Урта быуаттарҙа бүлеү «сере» тураһында бик әҙ генә кеше хәбәрҙәр булған. Сөнки булған бүлеү алгоритмдары бик ҙур күләмле, башҡарыу һәм хәтерҙә ҡалдырыу өсөн ҡатмарлы булған (мәҫәлән, корабль күренешендә бүлеү[en]).

Бағаналап бүлеү барлыҡҡа килгәс ситуация ҡырҡа үҙгәрә — хәҙер бүлеү башҡа арифметик ғәмәлдәр менән бер рәттән математика буйынса мәктәп программаһына иртә индерелә. Шулай ҙа, ҡабатлау осрағындағы кеүек (тиҙ ҡабатлауҙы ҡара), һуңғы ваҡытта иҫәпләү техникаһында ҡулланылған эффективлыраҡ алгоритмдар билдәле. (ҡара en:Division (digital)), . Һан бирелгән бүлеүсегә ҡалдыҡһыҙ бүленәме икәнлеген тиҙ асыҡларға мөмкинлек биргән ҡағиҙәләр бар (бүленеү билдәләре). 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25-кә һәм уларҙан килеп сыҡҡан һандарға бүленеү билдәләре киң билдәле, шулай уҡ 7, 13, 1001 һәм башҡа һандарға бүленеү билдәләре бар.

Бер үк ваҡытта бер нисә һан ҡалдыҡһыҙ бүленгән һанды уларҙың уртаҡ бүлеүсеһе тип атайҙар. Натураль һандың бүлеүселәре һанын асыҡлау ике мөһим төшөнсәгә килтерә: ҡушма һәм ябай һан. Ябай һандың теүәл ике бүлеүсеһе бар — 1 һәм һан үҙе. Ҡушма һандарҙың бүлеүселәре икенән күп. 1 ябай һан да, ҡушма һан да түгел. Әгәр бер натураль һан икенсеһенә ҡалдыҡһыҙ бүленмәһә, ҡалдыҡлы бүлеү тураһында һүҙ бара. Ҡалдыҡтарҙы ҡарау, уларҙы сағыштырыу яңы фәнгә — һандар теорияһына килтерә. Ғәҙәттә ҡалдыҡҡа түбәндәге сикләүҙәрҙе ҡуялар (ул аныҡ, бер мәғәнәлә билдәләнергә тейеш):

, ,

бында  — бүленеүсе,  — бүлеүсе,  — бүлендек һәм  — ҡалдыҡ.

Бөтөн һандарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Теләһә ниндәй бөтөн һандарҙы бүлеү натураль һандарҙы бүлеүҙән һиҙелерлек айырылмай — уларҙың модулдәрен бүлеү һәм тамғалар ҡағиҙәһен иҫәпкә алыу етә. Ләкин бөтөн һандарҙы ҡалдыҡлы бүлеү бер генә мәғәнәлә билдәләнмәй. Бер осраҡта (ҡалдыҡһыҙ бүлеүҙәге кеүек) тәүҙә модулдәрен ҡарайҙар һәм һөҙөмтәлә ҡалдыҡ бүлеүсе йәки бүленеүсе кеүек тамғалы була (мәҫәлән, ҡалдыҡ (-1)); икенсе осраҡта ҡалдыҡ төшөнсәһе туранан-тура дөйөмләштерелә һәм сикләүҙәр натураль һандарҙан күсереп алына:

.

Билдәһеҙлекте бөтөрөү өсөн килешеү ҡабул ителгән: бүлеүҙән ҡалған ҡалдыҡ һәр саҡ тиҫкәре түгел.

Рациональ һандарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Бөтөн һандар күмәклеген бүлеү ғәмәле буйынса йомоу уны рациональ һандар күмәклегенә тиклем киңәйтеүгә килтерә. Бер бөтөн һанды икенсеһенә бүлеү һөҙөмтәһе һәр ваҡыт рациональ һан була. Улай ғына түгел, килеп сыҡҡан (рациональ) һандарҙа бүлеү ғәмәле һәр ваҡыт башҡарыла (уға ҡарата йомоҡ). Ябай кәсерҙәрҙе бүлеү ҡағиҙәһе:

Ысын һандарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Нулдән айырмалы ысын һандар яланында бүлеү шулай уҡ йомоҡ. Дедекинд киҫелеше бүлеү һөҙөмтәһен аныҡ билдәләргә мөмкинлек бирә. Ысын һандар күмәклеге — өҙлөкһөҙ тәртипкә килтерелгән ялан, тип тамғалана. Ысын һандар күмәклеге иҫәпле түгел, уның ҡеүәте континуум ҡеүәте тип атала. Сикһеҙ унарлы кәсерҙәр рәүешендә күрһәтелгән ысын һандар өҫтөндә арифметик операциялар рациональ һандар өҫтөндө тейешле операцияларҙың[2] өҙлөкһөҙ дауам итеүе кеүек билдәләнә.

Сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән, ярашлы рәүештә рациональ һандарҙың (Коши шартын ҡәнәғәтләндергән) фундаменталь эҙмә-эҙлелеге менән билдәләнгән:

һәм тип тамғаланған ике ысын һан бирелһә, уларҙың бүлендеге тип һәм эҙмә-эҙлелектәренең бүлендеге тип билдәләнгән һаны атала:

,

ысын һан, түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндерә:

Шулай итеп ике һәм ысын һандарының бүлендеге шулай уҡ ысын һан, ул бер яҡтан бөтә күренешендәге һәм икенсе яҡтан бөтә күренешендәге бүлендектәр араһында урынлашҡан [3]. Дедекинд киҫелеше бүлеү һөҙөмтәһен асыҡ билдәләргә мөмкинлек бирә.

Практикала, ике һәм һандарын бүлеү өсөн, уларҙы талап ителгән аныҡлыҡ менән һәм яҡынса рациональ һандары менән алмаштырырға кәрәк. Һандарҙың бүлендегенең яҡынса ҡиммәте итеп күрһәтелгән рациональ һандарҙың бүлендеген алалар. Шуның менән бергә, алынған рациональ һандар һәм һандарына ҡайһы яҡтан (кәме менән йәки артығы менән) яҡынлауы мөһим түгел. Бүлеү бағаналап бүлеү алгоритмы буйынса башҡарыла.

Яҡынса һандарҙың бүлендегенең абсолют хатаһы: , һандың абсолют хатаһы был һандың разрядының һуңғы берәмегенең яртыһына тигеҙ тип алына.

Бүлендектең сағыштырма хатаһы аргументтарҙың сағыштырма хаталарының суммаһына тигеҙ: . Алынған һөҙөмтә беренсе дөрөҫ әһәмиәтле цифрға тиклем түңәрәкләнә, әгәр һандың абсолют хатаһы был цифрға тап килгән разряд берәмегенең яртыһынан артмаһа, яҡынса һандың әһәмиәтле цифры дөрөҫ.

Өтөрҙән һуң 3-сө тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән бүлеү миҫалы:

  • Бирелгән һандарҙы өтөрҙән һуң 4-се тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ (иҫәпләү теүәллеген арттырыу өсөн);
  • Табабыҙ: ;
  • Бағаналап бүләбеҙ: ;
  • Өтөрҙән һуң 3-сө тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ: .

График[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

ысын һандар пары күмәклегендә бүлеү функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе графикта гиперболик параболоид — икенсе тәртиптәге йөҙ күренешендә була[4].

c=a : b функцияһының графигы

булғанлыҡтан, был күмәклектәр өсөн дә бүлеү функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе был йөҙгә инәсәк.

Комплекслы һандарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

z комплекслы һаны комплекслы яҫылыҡта.

Комплекслы һандар күмәклеге арифметик операциялар менән ялан булып тора һәм ғәҙәттә символы менән тамғалана.

Комплекслы һандар күмәклеге бүлеү ғәмәленә ҡарата йомоҡ.

Алгебраик форма[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Яҙыуҙың алгебраик формаһында ике комплекслы һандың бүлендеге тип:

комплекслы һаны атала,

бында:  — комплекслы һандар, ,  — уйланма берәмек; . Практикала комплекслы һандарҙың бүлендеген бүлеүсе һәм бүленеүсене бүлеүсегә комплекслы-эйәртеүле һанға ҡабатлау юлы менән табырға мөмкин:

. Бүлеүсе ысын һан булып китә, ә числителдә ике комплекслы һан ҡабатлана, аҙаҡ килеп сыҡҡан кәсер быуын-быуынлап бүленә. Һөҙөмтә бөтә өсөн билдәләнгән.

Тригонометрик форма[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Тригонометрик формала яҙылған ике комплекслы һанды бүлеү өсөн, бүленеүсенең модулен бүлеүсенең модуленә бүлергә, ә бүленеүсенең аргументынан бүлеүсенең аргументын алырға кәрәк:

Комплекслы яҫылыҡта комплекслы һандарҙы бүлеү.

бында: — комплекслы һандың модуле һәм аргументы; .

Йәғни ике комплекслы һандың модуле модулдәрҙең бүлендегенә тигеҙ, ә аргументы — бүленеүсе һәм бүлеүсе аргументтарының айырмаһына тигеҙ.

Күрһәткесле (экспоненциаль) форма[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Күрһәткесле формалағы комплекслы һанын комплекслы һанына бүлеү, һанына ярашлы векторҙы мөйөшөнә бороуға һәм уның оҙонлоғон тапҡыр үҙгәртеүгә ҡайтып ҡала. Күрһәткесле формалағы комплекслы һандарҙың бүлендеге өсөн түбәндәге тигеҙлек дөрөҫ:

бында:  — e һаны; .

Экспоненциаль яҙыу[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Экспоненциаль яҙылышта һандар күренешендә яҙылалар, бында  — һандың мантиссаһы,  — характеристикаһы,  — иҫәпләү системаһының нигеҙе, . Экспоненциаль формала яҙылған ике һанды бүлеү өсөн мантиссаларын һәм характеристикаларын бүлергә кәрәк:

Мәҫәлән:

Физик дәүмәлдәрҙе бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Физик дәүмәлдең үлсәү берәмегенең билдәле атамаһы (үлсәмлеге) бар: оҙонло (L) өсөн — метр (м), ваҡыт (T) өсөн — секунд (с), масса (M) өсөн — грамм (г) һәм артабан шулай. Шуға күрә, теге йәки был дәүмәлде үлсәү һөҙөмтәһе ябай һан ғына түгел, ә исемле һан[5]. Атамаһы бүлеү операцияһында тиң хоҡуҡлы ҡатнашҡан үҙ-аллы объект булып тора. Физик дәүмәлдәр өҫтөнән бүлеү операцияһын башҡарғанда һан компоненттары үҙҙәре лә, исемдәре лә бүленә. Үлсәмле физик дәүмәлдәрҙән тыш үлсәмһеҙ дәүмәлдәр ҙә (һандар) бар, улар формаль рәүештә һанлы күсәрҙең элементтары, йәғни билдәле бер физик күренештәргә һылтанмаһы булмаған һандар («даналар», «мәртәбәләр» менән үлсәнә һәм башҡалар) булып торалар. Физик дәүмәлдәрҙе кәүҙәләндергән һандарҙы үлсәмһеҙ дәүмәлгә бүлгәндә, бүленеүсе һан ҙурлығы буйынса үҙгәрә һәм үлсәү берәмеген һаҡлай. Мәҫәлән, 15 сөй алып, 3 йәшниккә һалһаң, бүлеү һөҙөмтәһендә һәр йәшниктә 5 сөй алабыҙ:

Төрлө физик дәүмәлдәрҙе бүлеүҙе беҙ бүлгән дәүмәлдәрҙән принципиаль рәүештә айырылып торған яңы физик дәүмәлдәр табыу тип ҡарарға кәрәк. Әгәр физик яҡтан бындай бүлендекте булдырыу мөмкин булһа, мәҫәлән, эште, тиҙлекте йәки башҡа дәүмәлдәрҙе тапҡанда, был дәүмәл тәүгеләренән айырмалы күмәклек барлыҡҡа килтерә. Был осраҡта был дәүмәлдәрҙең композицияһына яңы атама (яңы термин) бирелә, мәҫәлән: тығыҙлыҡ, тиҙләнеш, ҡеүәт һәм башҡалар[6].

Мәҫәлән, әгәр бер физик процесҡа ярашлы оҙонлоҡто ваҡытҡа бүлһәң, шул уҡ физик процесҡа ярашлы исемле һан (физик дәүмәл) барлыҡҡа килә, ул «тиҙлек» тип атала һәм «секундына метрҙарҙа» үлсәнә:

Физик процестарҙы математик ысулдар менән тасуирлағанда бер төрлөлөк төшөнсәһе мөһим роль уйнай, мәҫәлән, «1 кг он» һәм «1 кг баҡыр» төрлө күмәклектәргә, ярашлы рәүештә {он} һәм {баҡыр} күмәклектәренә ҡарайҙар, һәм туранан-тура айырыла алмайҙар. Шулай уҡ бер төрлөлөк төшөнсәһе бүленеүсе дәүмәлдәр бер физик процесҡа ҡарай, тип фаразлай. Ат тиҙлеген, мәҫәлән, эт ваҡытына бүлергә ярамай.

Алгебрала бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Теләһә ниндәй күмәклектәрҙә һәм структураларҙа ябай арифметик бүлеү осрағынан айырмалы рәүештә бүлеү ғәмәле билдәләнмәҫкә мөмкин, йәки күп һөҙөмтәле лә булырға мөмкин. Ғәҙәттә бүлеү ғәмәле берәмек йәки кире элемент төшөнсәһе аша индерелә. Әгәр берәмек элемент бер мәғәнәлә индерелһә (ғәҙәттә аксиоматик юл менән йәки билдәләмә буйынса), кире элемент йыш ҡына һул (), шулай уҡ уң () булырға мөмкин. Был ике кире элемент бер-береһенән айырмалы булырға йәки булмаҫҡа мөмкин, бер-береһенә тигеҙ булырға йәки булмаҫҡа мөмкин. Миҫалға, матрицалар бүлендеге кире матрица аша билдәләнә, бында хатта квадрат матрицалар өсөн дә ошолай булырға мөмкин:

.

Тензорҙар бүлендеге дөйөм осраҡ өсөн билдәләнмәгән.

Күпбыуындарҙы бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Дөйөм алғанда ул натураль һандарҙы бүлеү идеяһын ҡабатлай, сөнки натураль һан ул коэффициенттары — цифрҙар, ә үҙгәреүсән урынында иҫәпләү системаһының нигеҙе торған күпбыуындың ҡиммәте:

.

Шуға күрә бүлендек, бүлеүсе, бүленеүсе, ҡалдыҡ төшөнсәләре оҡшаш рәүештә билдәләнәләр (айырма тик шунда ғына: сикләү ҡалдыҡтың дәрәжәһенә һалына). Шул сәбәпле күпбыуындарҙы бүлеүгә бағаналап бүлеүҙе ҡулланып була . Айырма шунда, күпбыуындарҙы бүлгәндә төп иғтибар коэффициенттарға түгел,ә бүленеүсе һәм бүлеүсенең дәрәжәһенә йүнәлтелә. Шуға күрә ғәҙәттә бүлендек һәм бүлеүсе (тимәк ҡалдыҡ та) даими ҡабатлашыусыларға тиклем аныҡлыҡ менән билдәләнгән тип һанала.

Нулгә бүлеү[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Стандарт арифметика ҡағиҙәләре буйынса 0 һанына бүлеү билдәләнмәгән.

Икенсе эш — бөтә быуындары ла нулдән айырмалы булған сикһеҙ бәләкәй функцияға йәки эҙмә-эҙлелеккә бүлеү. Бүлеүсе-функцияның ҡиммәте нулгә тигеҙ булған нөктәлә бүлендек-функцияның ҡиммәте билдәләнмәй. Нулдән айырмалы сикләнгән функцияларҙы сикһеҙ бәләкәй функцияларға бүлеү сикһеҙ ҙур функцияларҙың барлыҡҡа килеүенә килтерә, ә ике сикһеҙ бәләкәй функциялар бүлендеге 0/0 билдәһеҙлеге тип атала, аныҡ һөҙөмтә алыу өсөн уны үҙгәртергә мөмкин (ҡара билдәһеҙлекте асыу). Нулдән айырмалы ниндәй ҙә булһа һандың нулгә бүлендеге булмай, сөнки бер һан да бүлендектең билдәләмәһен ҡәнәғәтләндермәй[7]. Нулдән айырмалы һанды нулгә бүлеү ғәмәленә бер генә ысын һан да тап килмәй. Ләкин нулдән айырмалы һанды нулгә мөмкин тиклем яҡын һанға бүлеп була, һәм бүлеүсе ни тиклем нулгә яҡыныраҡ булһа, бүлендек шул тиклем ҙур була. Шуға күрә был ғәмәлдең һөҙөмтәһе «сикһеҙ ҙур» тип, йәки (ғәмәлдә ҡатнашыусыларҙың тамғаһына бәйле ыңғай йәки тиҫкәре) « сикһеҙлеккә тигеҙ» тип әйтәләр һәм ошолай яҙалар:
: ±, бында Был аңлатманың мәғәнәһе ошолай: әгәр бүлеүсе нулгә яҡынайһа, ләкин нулгә тигеҙ булмаһа, ә бүленеүсе a-ға тигеҙ булып ҡала йәки уға яҡынайһа, бүлендек (модуле буйынса) сикһеҙ ҙурая.

Шулай уҡ ҡарағыҙ[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Викиһүҙлек логотипы
Викиһүҙлектә «Бүлеү» мәҡәләһе бар

Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
  2. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  3. Ильин, 1985, с. 46
  4. Уравнение заменой переменных легко свести к уравнению гиперболического параболоида .
  5. Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста. brestschool7.iatp.by. Дата обращения: 18 апрель 2016. Архивировано 7 август 2016 года. 2016 йылдың 7 август көнөндә архивланған.
  6. Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения: 18 апрель 2016. Архивировано 6 май 2016 года.
  7. М. Я. Выгодский Элементар математика буйынса белешмә.