Күрһәткесле функция

Күрһәткесле функция
Множество значений	множество положительных вещественных чисел[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Ҡапма-ҡаршыһы	логарифм
Күрһәткесле функция Викимилектә

Күрһәткесле функция — $f(x)=a^{x}$ математик функцияһы, бында $a$ дәрәжәнең нигеҙе, ә $x$ — дәрәжә күрһәткесе тип атала.

• Ысын осраҡта дәрәжәнең нигеҙе $a$ — ниндәйҙер тиҫкәре булмаған ысын һан, ә функцияның аргументы ысын дәрәжә күрһәткесе була.
• Комплекслы функция теорияһында дөйөм осраҡ ҡарала, аргумент һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан була ала.
• Иң дөйөм күренештә — $u^{v}$, Лейбниц тарафынан 1695 йылда индерелә.

Экспонента графигы

Дәрәжәнең нигеҙе сифатында e һаны булған осраҡ айырым ҡарала. Бындай функция экспонента (ысын йәки комплекслы) тип атала. Шул уҡ ваҡытта, теләһә ниндәй $a$ ыңғай нигеҙен е һанының дәрәжәһе булараҡ күрһәтергә мөмкин булғанлыҡтан, «экспонента» төшөнсәһе йыш ҡына «күрһәткесле функция» төшөнсәһе урынына ҡулланыла.

Ысын функция

Күрһәткесле функция билдәләмәһе

$a$ — тиҫкәре булмаған ысын һан булһын, ти, $x$ — рациональ һан: $x={\frac {m}{n}}$. Ул саҡта $a^{x}$ артабанғы ҡағиҙәләр буйынса билдәләнә.

• Әгәр $x>0$ булһа, ул саҡта $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.
• Әгәр $x=0$ һәм $a\neq 0$ булһа, ул саҡта $a^{x}=1$.
  • $0^{0}$ ҡиммәте юҡ (ҡарағыҙ. Билдәһеҙлектәрҙе асыу).
• Әгәр $x<0$ һәм $a>0$ булһа, ул саҡта $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$.
  • $x<0,a=0$ булғанда $a^{x}$ ҡиммәте юҡ (мәғәнәһе юҡ).

Ирекле ысын $x$ күрһәткесе өсөн $a^{x}$ ҡиммәтен $a^{r_{n}}$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһетип билдәләргә мөмкин, бында $r_{n}$ — $x$-ҡа йыйылыусан рациональ һандар. Экспонента өсөн сикләнмә аша башҡа билдәләмәләр ҙә бар, мәҫәлән:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Нигеҙҙәре 2 һәм ½ булған күрһәткесле функция

Үҙсәнлектәре

Дәрәжәгә күтәреү үҙсәнлектәре:

• $a^{0}=1$
• $a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
• $(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
• $a^{x}$ / $b^{x}$ = $(a/b)^{x}$

Монотонлыҡ аралыҡтары:

$a>1$ булғанда күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә үҫә, шуның менән бергә:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (теләһә ниндәй $n$ өсөн)
• $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

$0<a<1$ булғанда ярашлы рәүештә күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә кәмей, шуның менән бергә:

• $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (теләһә ниндәй $n$ өсөн)
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Йәғни күрһәткесле функция сикһеҙлектә теләһә ниндәй полиномиаль функциянан тиҙерәк үҫә. Үҫеүенең ҙур тиҙлеген, мәҫәлән, ҡағыҙҙы бөкләү тураһында мәсьәлә менән иллюстрацияларға мөмкин.

Кире функция:

Дәрәжәле функция өсөн кире функция - тамыр функцияһы индергән кеүек, күрһәткесле функцияға кире логарифмик функцияны индерәйек:

$f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x$ ($a$ нигеҙе буйынса логарифм $x$)

е һаны:

Күрһәткесле функцияның уникаль үҙсәнлеген билдәләп китәйек, $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ үтәлгән $a_{0}$ һанын табайыҡ (шундай $a$ һаны, уның күрһәткесле функцияһының сығарылмаһы функцияның үҙенә тигеҙ):

${\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\,dx$

$a_{0}^{x}$-ҡа ҡыҫҡартҡандан һуң $a_{0}$-ны аныҡларға мөмкин булыуы еңел күренә:

$a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx}$

$dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}$ һайлап, Эйлер һанын табабыҙ:

$a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$e^{x}$ функцияһын икенсе төрлө рәт рәүешендә күрһәтергә мөмкин булыуын билдәләп китәйек: (дөрөҫлөгөн еңел генә быуын-быуынлап дифференциаллау юлы менән асыҡларға мөмкин):

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

Ошонан сығып теүәлерәк яҡынлашыу табабыҙ:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

$e$ һанының берҙән берлеген $e^{x}$-ты төрләндереп еңел күрһәтергә мөмкин. Ысынлап та, әгәр $e_{1}^{x}$ $e^{x}$-тан юғарыраҡта үтһә, шул уҡ арауыҡта $(e_{1}^{x})'<e^{x}$ булған өлкә табыла.

Дифференциаллау:

$\ln \,x:e^{\ln x}=x$ натураль логарифм функцияһын ҡулланып, ирекле ыңғай нигеҙле күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә була. Дәрәжәнең үҙсәнлеге буйынса: $a^{x}=e^{\ln(a)\,x}$, ошонан сығып, экспонентаның үҙсәнлеге һәм ҡатмарлы функцияны дифференциаллау ҡағиҙәһе буйынса:

$(a^{x})'=\ln(a)a^{x}$

Аныҡһыҙ интеграл:

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

$\ln \,x$ натураль логарифм функцияһын ҡулланып, нигеҙе ирекле ыңғай һан булған күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә мөмкин:

$a^{x}=e^{x\cdot \ln a}$

Был бәйләнеш экспонентаның үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән сикләнергә мөмкинлек бирә.

Аналитик үҙсәнлектәре:

${d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.$

Айырым алғанда:

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

Иҫбатлау  

I. ${d \over dx}e^{x}=e^{x}$ булыуын иҫбатлайыҡ:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=e^{x}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$.

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=1$ булыуын иҫбатлайыҡ. $e^{\Delta x}-1=u$ булһын, ул саҡта $e^{\Delta x}=u+1\Rightarrow \Delta x=\ln(u+1)$. Әгәр $\Delta x\to 0$ булһа, ул саҡта $u=e^{\Delta x}-1\to 0$

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim _{u\to 0}1}{\lim _{u\to 0}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln \lim _{u\to 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1.$

II. ${d \over dx}a^{x}={d \over dx}\left(e^{\ln a}\right)^{x}={d \over dx}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\cdot \ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a$

Рәткә тарҡатыу:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$.

Потенцирлау һәм ҡаршы логарифм

Унарлы (10^x) һәм натураль (e^x) ҡаршы логарифмдарҙы «Электроника МК-51» микрокалькуляторында табыу функцияһының һүрәте

Потенцирлау (нем. potenzieren һүҙенән — һанды уның логарифмының билдәле ҡиммәте буйынса табыу, йәғни $\log _{a}x=b$ тигеҙләмәһен сығарыу ул. Логарифмдың билдәләмәһенән $x=a^{b}$ булыуы килеп сыға, шулай итеп, $a$ һанын $b$ дәрәжәһенә күтәреүҙе икенсе һүҙ менән «$b$ һанын $a$ нигеҙе буйынса потенцирлау», йәки $b$ һанынан күрһәткесле функцияны иҫәпләү тип әйтергә мөмкин.

Ҡаршы логарифм числа x — потенцирлау һөҙөмтәһе, йәғни логарифмы (бирелгән $a$ нигеҙе өсөн) $x$ һанына тигеҙ булған һан:

$\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.$

«Ҡаршы логарифм» терминын Валлисом 1693 йылда индергән. Үҙ-аллы төшөнсә булараҡ ҡаршы логарифм логарифмик таблицаларҙа, логарифмик линейкаларҙа, микрокалькуляторҙарҙа ҡулланыла. Мәҫәлән, $a$ һанынан куб тамыр алыу өсөн логарифмик таблицалар буйынса $a$ һанының логарифмын табырға, уны 3-кә бүлергә һәм аҙаҡ (ҡаршы логарифмдар таблицаһы буйынса) һөҙөмтәнең ҡаршы логарифмын табырға кәрәк.

Комплекслы функция

Экспонентаны комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтеү өсөн, ысын аргументты комплекслы аргументҡа алмаштырып, уға шул уҡ рәт аша билдәләмә бирәбеҙ:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots$

Был функция, ысын функция кеүек үк, шул уҡ төп алгебраик һәм аналитик үҙсәнлектәргә эйә. Рәттә $e^{ix}$ өсөн ысын өлөшөн уйланма өлөшөнән айырып, беҙ данлыҡлы Эйлер формулаһын табабыҙ:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Бынан комплекслы экспонента уйланма күсәрҙә периодлы булыуы килеп сыға:

$e^{z+2\pi i}=e^{z}$

Нигеҙе һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан булған күрһәткесле функция комплекслы экспонента һәм комплекслы логарифм ярҙамында еңел иҫәпләнә.

Миҫал: $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$; сөнки $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ (логарифмдың төп ҡиммәте), аҙаҡ табабыҙ: $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$.

Әҙәбиәт

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.