Күрһәткесле функция

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Күрһәткесле функция
Рәсем
Множество значений множество положительных вещественных чисел[d]
Ҡапма-ҡаршыһы логарифм
Вики-проект Проект:Математика[d]
 Күрһәткесле функция Викимилектә

Күрһәткесле функция математик функцияһы, бында дәрәжәнең нигеҙе, ә дәрәжә күрһәткесе тип атала.

  • Ысын осраҡта дәрәжәнең нигеҙе — ниндәйҙер тиҫкәре булмаған ысын һан, ә функцияның аргументы ысын дәрәжә күрһәткесе була.
  • Комплекслы функция теорияһында дөйөм осраҡ ҡарала, аргумент һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан була ала.
  • Иң дөйөм күренештә — , Лейбниц тарафынан 1695 йылда индерелә.
Экспонента графигы

Дәрәжәнең нигеҙе сифатында e һаны булған осраҡ айырым ҡарала. Бындай функция экспонента (ысын йәки комплекслы) тип атала. Шул уҡ ваҡытта, теләһә ниндәй ыңғай нигеҙен е һанының дәрәжәһе булараҡ күрһәтергә мөмкин булғанлыҡтан, «экспонента» төшөнсәһе йыш ҡына «күрһәткесле функция» төшөнсәһе урынына ҡулланыла.

Ысын функция[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Күрһәткесле функция билдәләмәһе[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

— тиҫкәре булмаған ысын һан булһын, ти, — рациональ һан: . Ул саҡта артабанғы ҡағиҙәләр буйынса билдәләнә.

  • Әгәр булһа, ул саҡта .
  • Әгәр һәм булһа, ул саҡта .
  • Әгәр һәм булһа, ул саҡта .
    • булғанда ҡиммәте юҡ (мәғәнәһе юҡ).

Ирекле ысын күрһәткесе өсөн ҡиммәтен эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһетип билдәләргә мөмкин, бында -ҡа йыйылыусан рациональ һандар. Экспонента өсөн сикләнмә аша башҡа билдәләмәләр ҙә бар, мәҫәлән:

Нигеҙҙәре 2 һәм ½ булған күрһәткесле функция

Үҙсәнлектәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Дәрәжәгә күтәреү үҙсәнлектәре:

  • / =

Монотонлыҡ аралыҡтары:

булғанда күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә үҫә, шуның менән бергә:

  • (теләһә ниндәй өсөн)

булғанда ярашлы рәүештә күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә кәмей, шуның менән бергә:

  • (теләһә ниндәй өсөн)

Йәғни күрһәткесле функция сикһеҙлектә теләһә ниндәй полиномиаль функциянан тиҙерәк үҫә. Үҫеүенең ҙур тиҙлеген, мәҫәлән, ҡағыҙҙы бөкләү тураһында мәсьәлә менән иллюстрацияларға мөмкин.


Кире функция:

Дәрәжәле функция өсөн кире функция - тамыр функцияһы индергән кеүек, күрһәткесле функцияға кире логарифмик функцияны индерәйек:

( нигеҙе буйынса логарифм )

е һаны:

Күрһәткесле функцияның уникаль үҙсәнлеген билдәләп китәйек, үтәлгән һанын табайыҡ (шундай һаны, уның күрһәткесле функцияһының сығарылмаһы функцияның үҙенә тигеҙ):

-ҡа ҡыҫҡартҡандан һуң -ны аныҡларға мөмкин булыуы еңел күренә:

һайлап, Эйлер һанын табабыҙ:

функцияһын икенсе төрлө рәт рәүешендә күрһәтергә мөмкин булыуын билдәләп китәйек: (дөрөҫлөгөн еңел генә быуын-быуынлап дифференциаллау юлы менән асыҡларға мөмкин):

Ошонан сығып теүәлерәк яҡынлашыу табабыҙ:

һанының берҙән берлеген -ты төрләндереп еңел күрһәтергә мөмкин. Ысынлап та, әгәр -тан юғарыраҡта үтһә, шул уҡ арауыҡта булған өлкә табыла.

Дифференциаллау:

натураль логарифм функцияһын ҡулланып, ирекле ыңғай нигеҙле күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә була. Дәрәжәнең үҙсәнлеге буйынса: , ошонан сығып, экспонентаның үҙсәнлеге һәм ҡатмарлы функцияны дифференциаллау ҡағиҙәһе буйынса:

Аныҡһыҙ интеграл:

натураль логарифм функцияһын ҡулланып, нигеҙе ирекле ыңғай һан булған күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә мөмкин:

Был бәйләнеш экспонентаның үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән сикләнергә мөмкинлек бирә.

Аналитик үҙсәнлектәре:

Айырым алғанда:

Рәткә тарҡатыу:

.

Потенцирлау һәм ҡаршы логарифм[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Унарлы (10x) һәм натураль (ex) ҡаршы логарифмдарҙы «Электроника МК-51» микрокалькуляторында табыу функцияһының һүрәте

Потенцирлау (нем. potenzieren һүҙенән — һанды уның логарифмының билдәле ҡиммәте буйынса табыу[1], йәғни тигеҙләмәһен сығарыу ул. Логарифмдың билдәләмәһенән булыуы килеп сыға, шулай итеп, һанын дәрәжәһенә күтәреүҙе икенсе һүҙ менән « һанын нигеҙе буйынса потенцирлау», йәки һанынан күрһәткесле функцияны иҫәпләү тип әйтергә мөмкин.

Ҡаршы логарифм[2] числа x — потенцирлау һөҙөмтәһе, йәғни логарифмы (бирелгән нигеҙе өсөн) һанына тигеҙ булған һан[2][3]:

«Ҡаршы логарифм» терминын Валлисом 1693 йылда индергән[4]. Үҙ-аллы төшөнсә булараҡ ҡаршы логарифм логарифмик таблицаларҙа[5], логарифмик линейкаларҙа, микрокалькуляторҙарҙа ҡулланыла. Мәҫәлән, һанынан куб тамыр алыу өсөн логарифмик таблицалар буйынса һанының логарифмын табырға, уны 3-кә бүлергә һәм аҙаҡ (ҡаршы логарифмдар таблицаһы буйынса) һөҙөмтәнең ҡаршы логарифмын табырға кәрәк.

Комплекслы функция[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Экспонентаны комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтеү өсөн, ысын аргументты комплекслы аргументҡа алмаштырып, уға шул уҡ рәт аша билдәләмә бирәбеҙ:

Был функция, ысын функция кеүек үк, шул уҡ төп алгебраик һәм аналитик үҙсәнлектәргә эйә. Рәттә өсөн ысын өлөшөн уйланма өлөшөнән айырып, беҙ данлыҡлы Эйлер формулаһын табабыҙ:

Бынан комплекслы экспонента уйланма күсәрҙә периодлы булыуы килеп сыға:

Нигеҙе һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан булған күрһәткесле функция комплекслы экспонента һәм комплекслы логарифм ярҙамында еңел иҫәпләнә.

Миҫал: ; сөнки (логарифмдың төп ҡиммәте), аҙаҡ табабыҙ: .


Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
  2. 2,0 2,1 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
  3. Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
  4. Математика XVII столетия // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 56.
  5. Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.