Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ:
Сығарылма .
Сығарылма төшөнсәһен иллюстрациялау Функцияның сығарылмаһы — функцияның бирелгән нөктәлә үҙгәреү тиҙлеген характерлаусы Дифференциаль иҫәпләмә төшөнсәһе. Әгәр ундай сикләнмә булһа, функция үҫешенең уның аргументы үҫешенә сағыштырмаһының, аргумент үҫеше нулгә ынтылғандағы сикләнмәһе тип билдәләнә. Сикле сығарылмаһы булған функцияны (ниндәйҙер нөктәлә), дифференциалланыусы (был нөктәлә) тип атайҙар.
Сығарылманы иҫәпләү барышы дифференциаллау тип атала.
Кире процесс — алынманы табыу — интеграллау .
Классик дифференциаль иҫәпләмәлә сығарылма йышыраҡ сикләнмә төшөнсәһе аша билдәләнә, әммә сикләнмәләр теорияһы тарихи дифференциаль иҫәпләмәнән һуңыраҡ барлыҡҡа килә. Ньютон сығарылманы флюксия тип атай, Лейбниц мәктәбе база төшөнсәһе сифатында дифференциал төшөнсәһенә өҫтөнлөк бирә[ 1]
Лагранж ҡулланған ярашлы dérivée француз терминын урыҫ теленә тәржемә итеп, «Функцияның сығарылмаһы» формаһында урыҫ терминын беренсе булып В. И. Висковатов ҡуллана[ 2]
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
→
R
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
функцияһы бирелһен, ти. Функцияның сығарылмаһы тип, функцияны
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
әгәр
A
{\displaystyle A}
f
(
x
0
+
h
)
=
f
(
x
0
)
+
A
h
+
o
(
h
)
{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}
A
{\displaystyle A}
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
→
R
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
функцияһы бирелһен, ти.
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}}
сикләнмәһе атала.
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
[ үҙгәртергә | сығанаҡты үҙгәртеү ]
f
′
(
x
0
)
=
f
x
′
(
x
0
)
=
D
f
(
x
0
)
=
d
f
d
x
(
x
0
)
=
d
y
d
x
|
x
=
x
0
=
y
˙
(
x
0
)
.
{\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}
Һуңғыһы ғәҙәттә ваҡыт буйынса сығарылманы аңлатыуын билдәләп китәйек (теоретик механикала ).
Дәрәжәле функцияларҙың сығарылмалары
Тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары
Кире тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары
(
c
)
′
=
0
{\displaystyle \left(c\right)'=0}
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle \left(\sin x\right)'=\cos x}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
x
a
)
′
=
a
x
a
−
1
{\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle \left(\cos x\right)'=-\sin x}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
{\displaystyle \left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a}
(
tg
x
)
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}
(
log
a
x
)
′
=
1
x
ln
a
{\displaystyle \left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}}
(
ctg
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}}
(
c
)
=
(
c
o
n
s
t
)
{\displaystyle \left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)}
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
∈
D
(
x
0
)
⇔
∃
f
′
(
x
0
)
∈
(
−
∞
;
∞
)
.
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}
x
→
x
0
{\displaystyle x\to x_{0}}
Δ
x
=
x
−
x
0
{\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}
үҫеше тип атала, ә
Δ
y
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
.
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}
f
:
(
a
,
b
)
→
R
{\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }
x
0
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}
сығарылма фу́нкция билдәләнә
f
′
:
(
a
,
b
)
→
R
.
{\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}
Нөктәлә сығарылмаһы булған функция был нөктәлә өҙлөкһөҙ була. Киреһе һәр ваҡытта ла дөрөҫ түгел.
Әгәр функцияның сығарылмаһы үҙе өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта
f
{\displaystyle f}
өҙлөкһөҙ дифференциалланыусы тип атайҙар һәм ошолай яҙалар:
f
∈
C
(
1
)
(
(
a
,
b
)
)
.
{\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.}
Сығарылманың геометрик мәғәнәһе. Функцияның графигында x0 абсциссаһы һайлап алына һәм ярашлы ордината f(x0 ) иҫәпләп сығарыла. x0 нөктәһенең тирә-яғында ирекле x нөктәһе алына. F Функцияның графигында ярашлы нөктәләр аша киҫеүсе үткәрелә (беренсе аҡһыл-һоро һыҙыҡ C5 ). Δx = x — x0 алыҫлығы нулгә ынтыла, нәтижәлә киҫеүсе тейеүсегә әйләнә (яйлап ҡараңғыланыусы һыҙыҡтар C5 — C1 ). Был тейеүсенең α ауышлыҡ мөйөшө тангенсы — x0 нөктәһендәге сығарылма була ла инде. Әгәр
f
:
U
(
x
0
)
→
R
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }
x
0
{\displaystyle x_{0}}
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
f
l
(
x
)
≡
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}
һыҙыҡлы функцияһы менән яҡынайтып була.
f
l
{\displaystyle f_{l}}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
мөйөшсә коэффициенты мөйөшө тангенсы тип атала.
s
=
s
(
t
)
{\displaystyle s=s(t)}
хәрәкәт законы булһын, ти. Ул саҡта
v
(
t
0
)
=
s
′
(
t
0
)
{\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
кинәт тиҙлеген күрһәтә. Икенсе сығарылма
a
(
t
0
)
=
s
″
(
t
0
)
{\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
кинәт тиҙләнеште күрһәтә.
Ғөмүмән,
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
процесстың үтеү тиҙлеген күрһәтә.
Сығарылма тураһында, аргумент үҙгәргәндә функция үҙгәреүенең «аралығы» кеүек, башланғыс интуитив күҙаллау биреүсе анимация (тергеҙеү өсөн баҫығыҙ). Ирекле тәртиптәге сығарылма тураһында төшөнсә рекуррентлы бирелә.
f
(
0
)
(
x
0
)
≡
f
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0})}
Әгәр
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
1
)
(
x
0
)
≡
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0})}
Хәҙер
n
{\displaystyle n}
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
n
+
1
)
(
x
0
)
=
(
f
(
n
)
)
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).}
Әгәр
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=f(x,y,z)}
айырым сығарылмаһы булһа, ул саҡта әйтелгән сығарылманың, үҙе
x
,
y
,
z
,
{\displaystyle x,y,z,}
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=f(x,y,z)}
u
x
2
″
=
f
x
2
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}
∂
2
u
∂
x
2
=
∂
2
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}
u
x
y
″
=
f
x
y
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}
∂
2
u
∂
x
∂
y
=
∂
2
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∂
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}
Төрлө үҙгәреүсәндәр буйынса алынған икенсе йәки юғарыраҡ тәртиптәге айырым сығарылма аралаш айырым сығарылма тип атала. Мәҫәлән,
u
x
y
″
=
f
x
y
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}
Маҡсатҡа һәм ҡулланылған математик аппараттың ҡулланыу өлкәһенә бәйле, сығарылмаларҙы яҙыуҙың төрлө ысулдарын ҡулланалар. Шулай, n-сы тәртиптәге сығарылма түбәндәге нотацияларҙа яҙылырға мөмкин:
Лагранждың
f
(
n
)
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}
f
(
1
)
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
=
f
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}
f
(
2
)
(
x
0
)
=
f
″
(
x
0
)
=
f
I
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}
f
(
3
)
(
x
0
)
=
f
‴
(
x
0
)
=
f
I
I
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}
f
(
4
)
(
x
0
)
=
f
I
V
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}
Бындай яҙыу үҙенең ҡыҫҡалығы менән уңайлы һәм киң таралған; әммә штрихтар менән өсөнсө тәртиптән юғары булмаған сығарылмалар өсөн генә тамғалау рөхсәт ителә.
Лейбництың , сикһеҙ бәләкәй сағыштырмаларҙы асыҡ яҙыу менән уңайлы(тик
x
{\displaystyle x}
d
n
f
d
x
n
(
x
0
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})}
Ньютондың , механикала йыш координата функцияһының ваҡыт буйынса сығарылмаһы өсөн ҡулланыла (арауыҡ сығарылмаһы өсөн йышыраҡ Лагранж яҙыуын ҡулланалар). Сығарылманың тәртибе функция өҫтөндәге нөктәләр һаны менән тамғалана, мәҫәлән:
x
˙
(
t
0
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
f
¨
(
x
0
)
{\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
D
n
f
(
x
0
)
{\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})}
∂
n
f
(
x
0
)
{\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})}
Вариацион иҫәпләмәлә һәм математик физикала йыш
f
x
{\displaystyle f_{x}}
f
x
x
{\displaystyle f_{xx}}
f
x
|
x
=
x
0
{\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}}
Әлбиттә, шуның менән бергә улар бөтәһе лә бер үк объекттарҙы тамғалау өсөн хеҙмәт итәләр икәнде онотмаҫҡа кәрәк:
f
(
n
)
(
x
0
)
=
d
n
f
d
x
n
(
x
0
)
=
f
⋅
⋅
.
.
.
⋅
⏞
n
P
A
3
(
x
0
)
=
D
n
f
(
x
0
)
=
f
x
x
…
x
⏟
n
P
A
3
|
x
=
x
0
.
{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.}
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
x
2
−
x
0
2
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
(
x
−
x
0
)
(
x
+
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
(
x
+
x
0
)
=
2
x
0
.
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.}
f
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle f(x)=|x|}
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
f
′
(
x
0
)
=
sgn
x
0
,
{\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},}
бында
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
тамға функцияһын аңлата. Ә әгәр
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
f
+
′
(
x
0
)
=
1
,
f
−
′
(
x
0
)
=
−
1
,
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
Сығарылма табыу операцияһы дифференциаллау тип атала. Был операцияны башҡарғанда йыш ҡына функцияларҙың бүлендектәре, суммалары, ҡабатландыҡтары, шулай уҡ «функциялар функцияһы», йәғни ҡатмарлы функциялар менән эш итергә тура килә. Сығарылманың билдәләмәһенән сығып, был эште еңеләйтеүсе дифференциаллау ҡағиҙәләре сығарырға була.
Әгәр
C
{\displaystyle C}
f
=
f
(
x
)
,
g
=
g
(
x
)
{\displaystyle f=f(x),g=g(x)}
дифференциаллау ҡағиҙәләре дөрөҫ:
C
′
=
0
{\displaystyle C'=0}
x
′
=
1
{\displaystyle x'=1}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}
[ 3] Ҡалып:Иҫбатлау
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}
[ 4] Ҡалып:Иҫбатлау
(
C
f
)
′
=
C
f
′
{\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'}
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}
≠ 0)Ҡалып:Иҫбатлау
(
C
g
)
′
=
−
C
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}}
≠ 0)Әгәр функция параметрлы бирелһә:
{
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
t
∈
[
T
1
;
T
2
]
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}
y
x
′
=
d
y
d
x
=
d
y
d
t
⋅
d
t
d
x
=
y
t
′
⋅
t
x
′
=
y
t
′
x
t
′
{\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}
d
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
d
f
(
g
)
d
g
⋅
d
g
(
x
)
d
x
=
f
g
′
g
x
′
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}}
Ҡабатландыҡ һәм бүлендек сығарылмалары формулалары n-тапҡырлы дифференциаллау осрағына дөйөмләштереләләр (Лейбниц формулаһы ):
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
,
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
биномиаль коэффициенттар .Сығарылманың артабанғы үҙсәнлектәре дифференциаллау ҡағиҙәләренә өҫтәлмә булып хеҙмәт итәләр:
әгәр функция
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
y
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle y(x)=|x|}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
әгәр функцияның аргументтың
x
{\displaystyle x}
максимумы/минимумы булһа, ул саҡта
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
Ферма леммаһы тип атала);
был функцияның сығарылмаһы берҙән-бер, ләкин төрлө функцияларҙың бер төрлө сығарылмалары булырға мөмкин.
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
(
x
)
g
(
x
)
(
g
′
(
x
)
ln
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
(
∀
x
∈
D
f
:
f
(
x
)
>
0
)
{\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)}
Ҡалып:Доказ1
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Сығарылмаһы
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
Иҫкәрмә
x
α
{\displaystyle x^{\alpha }}
α
⋅
x
α
−
1
{\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
a
x
⋅
ln
a
{\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}}
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}{x}}
1
x
⋅
ln
a
{\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {tg} \ x}
1
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {ctg} \ x}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin {x}}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
x
{\displaystyle \arccos {x}}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}
s
h
x
{\displaystyle \mathrm {sh} \ x}
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {ch} \ x}
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {ch} \ x}
s
h
x
{\displaystyle \mathrm {sh} \ x}
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {th} \ x}
1
c
h
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}
c
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {cth} \ x}
−
1
s
h
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
вектор-функцияһының параметр буйынса сығарылмаһына билдәләмә бирәйек:
d
d
t
r
(
t
)
=
lim
h
→
0
r
(
t
+
h
)
−
r
(
t
)
h
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}
Әгәр
t
{\displaystyle t}
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
z
′
(
t
)
{\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}
Вектор-функция сығарылмаһының үҙсәнлектәре (һәр ерҙә сығарылмалар бар тип күҙаллана):
d
d
t
(
r
1
(
t
)
+
r
2
(
t
)
)
=
d
r
1
(
t
)
d
t
+
d
r
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}
d
d
t
(
f
(
t
)
r
(
t
)
)
=
d
f
(
t
)
d
t
r
(
t
)
+
f
(
t
)
d
r
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
d
d
t
(
r
1
(
t
)
r
2
(
t
)
)
=
d
r
1
(
t
)
d
t
r
2
(
t
)
+
r
1
(
t
)
d
r
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}
скаляр ҡабатландыҡты дифференциаллау.
d
d
t
[
r
1
(
t
)
,
r
2
(
t
)
]
=
[
d
r
1
(
t
)
d
t
,
r
2
(
t
)
]
+
[
r
1
(
t
)
,
d
r
2
(
t
)
d
t
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}
векторлы ҡабатландыҡты дифференциаллау.
d
d
t
(
a
(
t
)
,
b
(
t
)
,
c
(
t
)
)
=
(
d
a
(
t
)
d
t
,
b
(
t
)
,
c
(
t
)
)
+
(
a
(
t
)
,
d
b
(
t
)
d
t
,
c
(
t
)
)
+
(
a
(
t
)
,
b
(
t
)
,
d
c
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}
аралаш ҡабатландыҡты дифференциаллау.
D
x
q
f
(
x
)
=
f
(
q
x
)
−
f
(
x
)
(
q
−
1
)
x
.
{\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}
↑ Колмогоров А. Н. , Абрамов А. М. , Дудницын Ю. П.ISBN 5-09-006088-6 . — C. 155—156↑ Комков Г. Д. , Левшин Б. В., Семенов Л. К.М .: Наука , 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.↑ Сумманың сығарылмаһы сығарылмалар суммаһына тигеҙ
↑ Ошонан сығып, айырым алғанда, функциялар һәм константа ҡабатландығының сығарылмаһы был функция сығарылмаһының константаға ҡабатландығына тигеҙ булыуы килеп сыға
↑ A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi
Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант . — 1975. — № 12.В. Г. Болтянский ,«Популярные лекции по математике» , Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.В. А. Гусев , А. Г. Мордкович «Математика»Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1В. М. Бородихин , Высшая математика , учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1 
.gif)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c1512a040f80645b424f10cb2fc237be942c83)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b172aa52700f4bc10de3dc186111a82e2465a50)
