Күп үҙгәреүсәнле функция анализы

Күп үҙгәреүсәнле функция анализы
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Күп үҙгәреүсәнле функция анализы Викимилектә

Күп үлсәмле анализ (күп үлсәмле йәки күп вариациялы иҫәпләмә булараҡ та билдәле) — күп үҙгәреүсәндәр осрағы өсөн дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләрҙе дөйөмләштереү булып тора.

Типик операциялар

Сикләнмәләр һәм өҙлөкһөҙлөк

Күп үлсәмле арауыҡтарҙа сикләнмәләрҙе һәм өҙлөкһөҙлөктәрҙе өйрәнеү бер үҙгәреүсәнле функцияларға хас булмаған бик күп логик булмаған һәм патологик һөҙөмтәләргә килтерә. Мәҫәлән, ике үҙгәреүсәнле скаляр функциялар бар, уларҙың билдәләнеү өлкәһендә шундай нөктәләр бар, улар ирекле тура һыҙыҡ буйлап яҡынлашҡанда үҙенсәлекле сикләнмә бирәләр, һәм парабола буйлап яҡынлашҡанда икенсе сикләнмә бирәләр.

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$ функцияһы координаталар башы аша үткән теләһә ниндәй тура һыҙыҡ буйлап нулгә ынтыла. Әммә координаталар башына $y=x^{2}$ параболаһы буйынса яҡынлашҡанда, сикләнмә = 0.5.

Төрлө траекториялар буйынса сикләнмәләр тап килмәгәнлектән, сикләнмәһе булмай.

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ функцияһыһының $x_{1},\ldots ,x_{n}$ үҙгәреүсәндәре ярашлы рәүештә $a_{1},\ldots ,a_{n}$ һандарына яҡынайғанда, әгәр һәр $\varepsilon >0$ һаны өсөн $|f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon$, йәғни $|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta$ үтәлерлек шундай $\delta >0$ һаны табылһа, $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ функцияһыһының сикләнмәһе A була.

$u=f(M)$ функцияһы, әгәр был функцияның $A$ нөктәһендә сикләнмәһе булһа һәм ул функцияның $f(A)$ ҡиммәтенә тигеҙ булһа, $A$ нөктәһендә өҙлөкһөҙ тип атала.

$u=f(M)$ функцияһы ${M}$ күмәклегенең һәр нөктәһендә өҙлөкһөҙ булһа, ул ${M}$ күмәклегендә өҙлөкһөҙ тип атала.

Айырым сығарылманы табыу

Айырым сығарылма төшөнсәһе күп үлсәмле функцияны дифференциаллағанда һис шикһеҙ барлыҡҡа килә һәм геометрик мәғәнәлә уның , тура мөйөшлө координаталар системаһын ҡараған осраҡта (O,$x_{k}$,f) яҫылығына параллель яҫылыҡты билдәләнеү өлкәһендә киҫмәгән өлөшөнөң сығарылмаһы булып тора, бында О — координаталар күсәрҙәре киҫешкән нөктә; $x_{k}$ дифференциаллау нөктәһенең айырым аргументы булып тора; f — нөктәнең ординатаһы.

n-үлсәмле функцияның ҡаралған сығарылмаһы ${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}$ тип тамғалана, был уны аргументтарҙың береһе буйынса дифференциаллау:

${\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}~...~x_{k}+\Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\Delta x_{k}}},$

бында $x_{k}$ — билдәләнгән аргумент; ә $\partial$ символы $d_{x}$ -тың үҙгәртелгән яҙыуы һәм айырым ҡулланылмай.

Айырым сығарылмалар сығарылмаларҙың ҡатмарлыраҡ сағылышын булдырыу өсөн ҡыҙыҡлы ысулдар менән берләштерелә ала. Векторлы иҫәпләмәлә ($nabla$) набла операторы айырым сығарылма күҙлегенән сығып градиент, дивергенция, һәм ротор терминдарын билдәләү өсөн ҡулланыла.

Айырым сығарылмалар матрицаһы — Якоби матрицаһы — ике ирекле үлсәмле арауыҡтар араһында функцияның сығарылмаһын (сағылышы) күҙаллау өсөн ҡулланылырға мөмкин . Шулай итеп, сығарылма функцияның билдәләнеү өлкәһенән алынған нөктәгә бәйле үҙгәреп торған һыҙыҡлы үҙгәртеү булараҡ күрһәтелеүе мөмкин.

Айырым сығарылмалар ингән дифференциаль тигеҙләмәләр айырым сығарылмалы дифференциаль тигеҙләмәләр йәки (Д)АСТ тип атала. Был тигеҙләмәләрҙе сығарыу, ҡағиҙә булараҡ, ғәҙәттәге бер генә үҙгәреүсәнгә ҡарата сығарылмалар ингән дифференциаль тигеҙләмәләрҙе сығарыуға ҡарағанда ҡатмарлыраҡ.

Тапҡырлы интеграллау

$\underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}$ интегралы, $n>1$ булғанда тапҡырлы интеграл тип атала. $n=2$ осрағында ул икеләтә, $n=3$ осрағында — өсләтә интеграл тип, ә ирекле $n\in N$ осрағында — n-тапҡырлы интеграл тип атала. Уны шулай уҡ $\int \limits _{X}f(x)dx$ тип тамғалайҙар. Бындай яҙылышта $x$ символы аҫтында $E^{n}$ арауығының $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ нөктәһен, $dx$ символы аҫтында — $dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$ ҡабатландығын, ә $\int \limits _{D}$ тамғаһы аҫтында — $D$ n-үлсәмле өлкә буйынса n-тапҡырлы интегралды аңларға кәрәк.

Тапҡырлы интеграл интеграл төшөнсәһен күп үҙгәреүсәнле функцияларға тарата. Икеләтә интегралдар арауыҡта өлкәләрҙең күләмен иҫәпләү өсөн ҡулланыла ала. Тонелли—Фубини теоремаһы тапҡырлы интеграл ҡабатлы интеграл кеүек иҫәпләнә алыуын тәьмин итә.

Өҫкө йөҙлө интегралдар һәм кәкре һыҙыҡлы интегралдар өҫкө йөҙ һәм кәкре кеүек күп төрлөлөктәр өҫтөнән интеграллау өсөн ҡулланылалар.

Күп үҙгәреүсәнле функция анализының фундаменталь теоремаһы

Бер үҙгәреүсәнле функцияларҙың математик анализында фундаменталь теорема сығарылма һәм интеграл араһында бәйләнеш булдыра. Күп үҙгәреүсәнле функциялар анализында сығарылма һәм интеграл араһында бәйләнеш векторлы анализдың билдәле интеграллау теоремаларында булдырыла:

• Ньютон — Лейбниц теоремаһы
• Стокс теоремаһы
• Остроградский — Гаусс теоремаһы
• Грин теоремаһы

Күп үлсәмле математик анализды тәрәнерәк өйрәнеү күрһәтеүенсә, был дүрт теорема дифференциаль формаларҙы интеграллау тураһында дөйөм теореманың, Стокс теоремаһының айырым осраҡтары булып торалар.

Ҡулланыу

Күп үлсәмле математик анализ ысулдары физик донъяның күп объекттарын өйрәнеү өсөн ҡулланылалар.

		Өлкә	Ҡулланылған ысулдар
Кәкреләр		$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	Кәкреләрҙең оҙонлоғо, Кәкре һыҙыҡлы интегралдар, һәм кәкрелек.
Өҫкө йөҙҙәр		$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	Йөҙҙәрҙең майҙандары, Өҫкө йөҙлө интегралдары, йөҙ аша ағым, һәм кәкрелек.
Скаляр яландар		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимумдар һәм минимумдар, Лагранж ҡабатлашыусылары, йүнәлеш буйынса сығарылмалар.
Векторлы яландар		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Векторлы анализдың теләһә ниндәй операцияһы, градиент, дивергенция, һәм роторҙы ла индереп.

Күп үлсәмле математик анализ күп һанлы азатлыҡ дәрәжәһенә эйә булған детерминирланған системаларҙы анализлау өсөн ҡулланылырға мөмкин. Был системаларҙы моделләштереү өсөн йыш ҡына һәр азатлыҡ дәрәжәһенә ярашлы бәйле булмаған һәм бәйле үҙгәреүсәнле функциялар ҡулланыла. Ә күп үлсәмле математик анализ системалы динамиканы ҡылыҡһырлау өсөн ысулдар менән тәьмин итә.

Күп үлсәмле математик анализ тәбиғәт фәненең, социологияның, инженерияның күп өлкәләрендә, детерминирланған тәртипте күрһәткән юғары үлсәмле системаларҙы моделләштереү һәм өйрәнеү өсөн ҡулланыла. Детерминирланмаған, йәки стохастик (осраҡлы) системаларҙы стохастик иҫәпләмә кеүек математиканың башҡа төрөн ҡулланып өйрәнергә мөмкин.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Векторлы анализ
• Интеграл
• Сығарылма (дөйөмләштереүҙәр)

Әҙәбиәт

• Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
• Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Һылтанмалар

• Онлайн Калькулятор Пределов  (рус.)
• Онлайн Калькулятор Производных  (рус.)
• Онлайн Калькулятор Интегралов  (рус.)