Һайлау аксиомаһы

Бында (S_i) R ысын һандар күмәклегенән алынған буш булмаған күмәклектәр ғаиләһе. Йәғни һәр бер ысын һан i өсөн S_i күмәклеге бар. Һүрәттә күмәклек элементтарын һайлап алыу миҫалы килтерелә. Шундай һәр S_i күмәклеге буш түгел, ә бәлки сикһеҙ ҙә. Һайлау аксиомаһы беҙгә, ысын һандар күмәклеге R менән индексацияланған, ярашлы рәүештә (x_i) элементтар ғаиләһен төҙөп, һәр күмәклектән ирекле рәүештә бер элемент һайлап алырға мөмкинлек бирә, бында x_i S_i.-ҙан һайлап алынған

Һайлау аксиомаһы, ингл. аббр. AC (axiom of choice һүҙенән) тип күмәклектәр теорияһының түбәндәге әйтеүе атала:

Һәр буш булмаған $X$ күмәклектәр ғаиләһе өсөн $f$ функцияһы бар, ул ғаиләнең һәр күмәклегенә был күмәклектең элементтарының береһен ярашлы ҡуя. $f$ функцияһы был ғаилә өсөн һайлау функцияһы тип атала.

Формаль телдә:

$\forall X\left[\emptyset \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.$

Әгәр күмәклектәрҙең сикле ғаиләһен ҡарау менән генә сикләнһәк, һайлау аксиомаһының раҫлауы башҡа күмәклектәр теорияһы аксиомаларынан сығып иҫбат ителергә мөмкин һәм айырым аксиома сифатында постулат итеп алыу талап ителмәй. Ул шулай уҡ ҡайһы бер сикһеҙ ғаиләләр өсөн иҫбат ителергә мөмкин, ләкин дөйөм осраҡта сикһеҙ ғаиләләр өсөн һайлау аксиомаһы башҡа аксиомаларҙан килеп сыҡмай, һәм бәйһеҙ раҫлау булып тора.

Тарих һәм баһалар

Һайлау аксиомаһы Эрнстом Цермело тарафынан 1904 йылда әйтеп бирелә һәм баҫтырып сығарыла (беренсе тапҡыр уны Беппо Леви ике йыл алдан әйтеп киткән булһа ла). Яңы аксиома ҡыҙыу бәхәс тыуҙыра һәм хәҙергә тиклем бөтә математиктар ҙа уны бер һүҙһеҙ ҡабул итмәйҙәр. Уны ҡулланған иҫбатлауҙар, уға бәйле булмаған иҫбатлауҙарға ҡарағанда, «башҡа танып белеү әһәмиәтенә» эйә тигән фекер йәшәй. Һайлау аксиомаһының барлыҡҡа килеүе шулай уҡ математикала «бар булыу» төшөнсәһе нимә аңлата тигән — айырып әйткәндә, бер элементы ла билдәле булмаған күмәклекте бар тип иҫәпләп буламы тигән бәхәс тыуҙыра.

Ҡайһы бер математиктар тарафынан һайлау аксиомаһының ҡабул ителмәүе иң беренсе шуның менән нигеҙләнә, $d$ күмәклегенең булыуы тик раҫлана ғына, ләкин уны асыҡлауҙың бер ысулы ла күрһәтелмәй. Был, мәҫәлән, Борелдың һәм Лебегтың фекере. Гильберт, Хаусдорф һәм Френкель, мәҫәлән, ҡапма-ҡаршы фекерҙә булалар, улар һайлау аксиомаһын бер һүҙһеҙ ҡабул итәләр, күмәклектәр теорияһының башҡа аксиомалары кеүек үк: күләмлек аксиомаһы, буш күмәклектең булыуы аксиомаһы, парҙар аксиомаһы, сумма аксиомаһы, дәрәжә аксиомаһы, сикһеҙлек аксиомаһы, «күренеп торған» итеп таныйҙар.

Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно парадоксальных, вызывающих интуитивный протест части математиков. Например, появляется возможность доказать парадокс удвоения шара, который вряд ли могут счесть «очевидным» все исследователи (см. также Квадратура круга Тарского). Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому выбора, провел Вацлав Серпинский. Однако, без сомнения, многие важные математические открытия нельзя было бы сделать без аксиомы выбора.

Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».

Независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело — Френкеля доказал Пол Коэн.

Эквивалентные формулировки

Существует множество других, эквивалентных формулировок аксиомы выбора.

• Декартово произведение семейства непустых множеств не пусто.
• Каждая сюръективная функция $f\colon A\to B$ имеет правую обратную функцию $f^{-1}\colon B\to A$, то есть их композиция $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}$ является идентичной функцией на $B$ или, другими словами, $f(f^{-1}(z))=z$ для всех элементов $z\in B$.
• Лемма Цорна (см. ниже)
• Каждое множество может быть вполне упорядочено (см. ниже, теорема Цермело).
• Принцип максимума Хаусдорфа
• Ҡалып:Якорь2. Для каждого бесконечного множества $A$ существует биекция $A\to A\times A$.

Функция выбора — функция на множестве множеств $X$ такая, что для каждого множества $s$ в $X$, $f(s)$ является элементом из $s$. С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:

• Для любого семейства непустых множеств $X$ существует функция выбора $f$, определённая на $X$.

Или наиболее сжато:

Каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора.

Вторая версия аксиомы выбора утверждает:

Для данного произвольного множества попарно непересекающихся непустых множеств существует по крайней мере одно множество, которое содержит точно один элемент, общий с каждым из непустых множеств.

Некоторые авторы используют другую версию, которая эффективно утверждает:

Для любого множества $A$, его булеан за вычетом пустого подмножества ${\mathcal {P}}(A)\setminus \{\varnothing \}$ имеет функцию выбора.

Авторы, которые используют эту формулировку, часто также говорят о «функции выбора на $A$», но оговаривают, что имеют в виду немного другое понятие функции выбора. Её область определения — булеан (минус пустое подмножество), тогда как в других местах этой статьи, область определения функции выбора — «множество множеств». С этим дополнительным понятием функции выбора, аксиома выбора может быть сжато сформулирована так:

Каждое множество имеет функцию выбора.

Применение

До конца XIX века аксиома выбора использовалась безоговорочно. Например, после определения множества $X$, содержащего непустое множество, математик мог сказать: «Пусть $F(s)$ будет определено для каждого $s$ из $X$». В общем, невозможно доказать, что $F$ существует, без аксиомы выбора, но это, кажется, оставалось без внимания до Цермело.

Не во всех случаях требуется аксиома выбора. Для конечного набора $X$ аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это то же самое, что говорить, если мы имеем несколько (конечное число) коробок, каждая из которых содержит в себе по одной одинаковой вещи, тогда мы можем выбрать ровно одну вещь из каждой коробки. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнём с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Так как есть конечное число коробок, то действуя нашей процедурой выбора, мы придём к концу. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке — второй элемент и т. д. (Для получения формального доказательства для всех конечных множеств следует воспользоваться принципом математической индукции.)

В случае с бесконечным множеством $X$ иногда также можно обойти аксиому выбора. Например, если элементы $X$ — множества натуральных чисел. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Это позволяет нам сделать выбор элемента из каждого множества, поэтому мы можем записать явное выражение, которое говорит нам, какое значение наша функция выбора принимает. Если возможно таким образом определить функцию выбора, в аксиоме выбора нет необходимости.

Сложности появляются в случае, если невозможно осуществить естественный выбор элементов из каждого множества. Если мы не можем сделать явный выбор, то почему уверены, что такой выбор можно совершить в принципе? Например, пусть $X$ — это множество непустых подмножеств действительных чисел. Во-первых, мы могли бы попробовать поступить как в случае, если бы $X$ было конечным. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как $X$ бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего $X$. Так что это не срабатывает. Далее, мы можем попробовать определить наименьший элемент из каждого множества. Но некоторые подмножества действительных чисел не содержат наименьший элемент. Например, таким подмножеством является открытый интервал $(0,\;1)$. Если $x$ принадлежит $(0,\;1)$, то $x/2$ также принадлежит ему, причем меньше, чем $x$. Итак, выбор наименьшего элемента тоже не работает.

Причина, которая позволяет выбрать нам наименьший элемент из подмножества натуральных чисел — это факт, что натуральные числа обладают свойством вполнеупорядоченности. Каждое подмножество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент в силу естественной упорядоченности. Возможно, если бы мы были умнее, то могли бы сказать: «Возможно, если обычный порядок для действительных чисел не позволяет найти особое (наименьшее) число в каждом подмножестве, мы могли бы ввести другой порядок, который таки давал бы свойство вполнеупорядоченности. Тогда наша функция сможет выбрать наименьший элемент из каждого множества в силу нашего необычного упорядочивания». Проблема тогда возникает в этом построении вполнеупорядоченности, которая для своего решения требует наличия аксиомы выбора. Иными словами, каждое множество может быть вполне упорядочено тогда и только тогда, когда аксиома выбора справедлива.

Доказательства, требующие аксиомы выбора, всегда неконструктивны: даже если доказательство создаёт объект, невозможно сказать, что же именно это за объект. Следовательно, хоть аксиома выбора позволяет вполне упорядочить множество действительных чисел, это не даёт нам никакой наглядности и конструктивизма в целом. Сама причина, по которой наш вышеуказанный выбор вполне упорядочения действительных чисел был таким для каждого множества $X$, мы могли явно выбрать элемент из такого множества. Если мы не можем указать, что мы используем вполне упорядоченность, тогда наш выбор не вполне явный. Это одна из причин, почему некоторые математики не любят аксиому выбора (см. также Кризис оснований математики). Например, конструктивистская установка что все существующие доказательства должны быть полностью явными; должно быть возможным построение чего бы то ни было что существует. Они отвергают аксиому выбора потому, что она заявляет существование объекта без описания. С другой стороны, факт — что для доказательства существования используется аксиома выбора — не означает, что мы не сможем совершить построение другим способом.

Принцип вполне упорядочивания (теорема Цермело)

Очень распространённая и удобная формулировка использует понятие вполне упорядоченного множества. Нам потребуется несколько определений, и мы начнём со строгого определения линейного порядка, выражающего знакомую нам идею на языке теории множеств. Напомним, что упорядоченная пара элементов обозначается $(x,\;y)$, и что декартово произведение множеств $X\times Y$ состоит из всех возможных упорядоченных пар $(x,\;y)$, где $x\in X,\;y\in Y$.

Линейным порядком на множестве $A$ называется подмножество декартова произведения $R\subseteq A\times A$, обладающее следующим свойствами:

1. Полное: $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor (y,\;x)\in R)$.
2. Антисимметричное: $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;x)\in R\to y=x)$.
3. Транзитивное: $\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;z)\in R\to (x,\;z)\in R)$.

Полным порядком на множестве $A$ называется такой линейный порядок, что каждое непустое подмножество $X\subseteq A$ имеет наименьший элемент.

Принцип полного порядка заключается в том, что любое множество может быть вполне упорядочено.

Например, множество натуральных чисел может быть вполне упорядоченно обычным отношением «меньше или равно чем». С тем же отношением множество целых чисел не имеет наименьшего элемента. В этом случае мы можем собрать целые числа в последовательность $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots ,\;-n,\;n,\;\ldots )$ и сказать, что младшие члены меньше, чем старшие. Очевидно, такое отношение будет полным порядком на целых числах.

Гораздо менее очевидно, что действительные числа, формирующие несчётное множество, могут быть вполне упорядочены.

Лемма Цорна

Если в частично упорядоченном множестве любая цепь (то есть линейно упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то всё множество имеет хотя бы один максимальный элемент.

Более формально:

Пусть $(P,\;\leqslant )$ — частично упорядоченное множество, то есть, отношение $\leqslant$ — рефлексивно, антисимметрично и транзитивно:

• $\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
• $\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
• $\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

Подмножество $S\subset P$ называется линейно упорядоченным, если $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$. Элемент $u\in P$ называется верхней гранью, если $\forall x\in S\;x\leqslant u$.

Допустим, что любое линейно упорядоченное подмножество множества $P$ имеет верхнюю грань. Тогда $\exists m\in P\;\nexists x\in P\;x>m$, то есть $m$ — максимальный элемент.

Альтернативы

Если ограничить применение аксиомы выбора только конечными и счётными семействами множеств, получается «аксиома счётного выбора». Она вполне достаточна для обоснования большинства теорем анализа и не создаёт указанных выше парадоксов. Однако её недостаточно для обоснования многих положений теории множеств. Ещё один, несколько более сильный вариант — Аксиома зависимого выбора^[en], но и она не подходит для нужд теории множеств.

В 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз предложили взамен аксиомы выбора так называемую «аксиому детерминированности». В отличие от аксиомы выбора, которая имеет интуитивно понятную формулировку и противоречащие интуиции следствия, аксиома детерминированности, наоборот, имеет неочевидную формулировку, однако её следствия куда лучше согласуются с интуицией. Из аксиомы детерминированности вытекает аксиома счётного выбора, но не полная аксиома выбора.

Следствия аксиомы детерминированности в ряде ситуаций противоречат следствиям аксиомы выбора — например, из аксиомы детерминированности следует, что все множества вещественных чисел измеримы по Лебегу, в то время как из аксиомы выбора следует существование неизмеримого по Лебегу множества вещественных чисел. Используя аксиому детерминированности, можно строго доказать, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей, в то время как это утверждение независимо от аксиомы выбора.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Аксиоматика теории множеств

Әҙәбиәт

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.(недоступная ссылка) — Глава 3, § 4.
• Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
• Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
• Медведев Ф. А. Аксиома выбора и математический анализ // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 167—188.
• Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств = Handbook of Mathematical Logic / Барвайс Дж.. — М.: Наука, 1983. — 392 с.