Квадрат тигеҙләмә

Квадра́т тигеҙләмә — : $ax^{2}+bx+c=0,$ күренешендәге алгебраик тигеҙләмә, бында $x$ — үҙгәреүсән, $a$ , $b$ , $c$ — коэффициенттар, $\quad a\neq 0.$

 $ax^{2}+bx+c$  аңлатмаһы квадрат өсбыуын тип атала ^[1].

Тамыр — ул $x$ үҙгәреүсәненең квадрат өсбыуынды нулгә, ә квадрат тигеҙләмәне дөрөҫ тигеҙлеккә әйләндереүсе ҡиммәте.

Квадрат тигеҙләмә элементтарының үҙ исемдәре бар^[1]:

$a$ беренсе йәки өлкән коэффициент,
$b$ икенсе, урта йәки $x$ -тың коэффициенты,
$c$ ирекле быуын тип атала.

Өлкән коэффициенты бергә тигеҙ булған квадрат тигеҙләмә килтерелгән тигеҙләмә тип атала^[1]. Бындай тигеҙләмә бөтә аңлатманы $a$ өлкән коэффициентҡа бүлгәндә килеп сыға:

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.

Бөтә коэффициенттары ла нулдән айырмалы булған тигеҙләмә тулы квадрат тигеҙләмә тип атала.

Өлкән коэффициенттан башҡа бер булһа ла коэффициенты (йә икенсе, йә өсөнсө коэффициент, йәки ирекле быуын) нулгә тигеҙ булған квадрат тигеҙләмә тулы булмаған квадрат тигеҙләмә тип атала.

Квадрат тигеҙләмәләр тураһында тарихи мәғлүмәттәр

Боронғо Вавилон

беҙҙең эраға тиклем икенсе мең йыллыҡта уҡ вавилонсылар квадрат тигеҙләмәне сығара белгәндәр ^[1]. Уларҙы сығарыу Боронғо Вавилонда нигеҙҙә ер участкаларының майҙанын иҫәпләү, хәрби ихтыяж менән бәйле ер эштәре кеүек практик мәсьәләләр менән тығыҙ бәйле була. Бындай белемдең булыуы шулай уҡ математика менән астрономияның үҫеше арҡаһында мөмкин була.Тулы һәм тулы булмаған квадрат тигеҙләмәләрҙе лә сығарыу ысулы билдәле була. Хәҙерге алгебраик яҙыуҙы ҡулланып, Боронғо Вавилонда сығарылған квадрат тигеҙләмә өлгөләрен килтерәбеҙ:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Квадрат тигеҙләмәләрҙе сығарыу ҡағиҙәләре күп яҡтан хәҙергеләргә оҡшаш, тик вавилон текстарында был ҡағиҙәләрҙе килтереп сығарған фекерләүҙәр теркәлмәгән.

Индия

Квадрат тигеҙләмә ярҙамында сығарылыусы мәсьәләләр беҙҙең эраның 499 йылында һинд астрономы һәм математигы Ариабхата тарафынан яҙылған астрономия буйынса «Ариабхаттиам» трактатында осрай. Беренселәрҙән булып квадрат тигеҙләмәнең тамырҙары формулаһын сығарыусы тип һинд ғалимы Брахмагупта иҫәпләнә (яҡынса 598 йыл)^[1]; Брахмагупта : $ax^{2}+bx=c$ каноник күренешкә килтергән квадрат тигеҙләмәне сығарыуҙың универсаль ҡағиҙәһен тасуирлай; шуның менән бергә $a,$ -нан башҡа бөтә коэффициенттар ҙа тиҫкәре булырға мөмкин тип фараз ителә. Ғалим тарафынан формулировкаланған ҡағиҙә асылда хәҙерге менән тап килә.

Ысын һандар күмәклегендә квадрат тигеҙләмә тамырҙары

I ысул. Тамырҙарҙы иҫәпләү өсөн дөйөм формула

$ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тигеҙләмәһе тамырҙарын табыу өсөн дөйөм осраҡта түбәндә килтерелгән алгоритмды ҡулланырға кәрәк:

Квадрат тигеҙләмәнең дискриминанты ҡиммәтен табырға: дискриминант тип $D=b^{2}-4ac$ аңлатмаһы атала.
Шарт	$D>0$	$D=0$	$D<0$
ысын тамырҙары һаны	ике тамыр	тамыр берәү (ҡайһы берҙә ике тигеҙ йәки тап килеүсе тамыр тураһында әйтелә — уны шулай уҡ 2 тапҡырлы тамыр тип атайҙар)	ысын һандар күмәклегендә тамыры юҡ тигән һығымта яһайҙар.
Формула	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	$x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$	комплекслы тамырҙар формулаһын түбәндә ярашлы бүлектә ҡарағыҙ

Формуланы сығарыу

Формуланы ошолай итеп сығарып була:

ax^{2}+bx+c=0,

ax^{2}+bx=-c

Ике яғын да $4a$ -ға ҡабатлайбыҙ һәм $b^{2}$ ҡушабыҙ:

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Иҫкәрмә: күренеүенсә, ике тапҡырлы тамыр өсөн формула дөйөм формуланың айырым осрағы булып тора, дөйөм формулаға D=0 тигеҙлеген ҡуйып табып була, ә D<0 булғанда тамырҙар юҡлығы тураһында һығымта ошолай яһап була:был осраҡта -D>0, ә ${\sqrt {-1}}=i$ .

Тасуирланған ысул универсал, әммә ул берҙән-бер түгел. Бер тигеҙләмәне сығарыуға төрлө ысул ҡулланып була, ниндәй ысулға өҫтөнлөк биреү сығарыусының үҙенән тора. Бынан тыш, ысулдарҙың ҡайһы берәүһе стандарт ысулға ҡарағанда ябайыраҡ, ҡыҫҡараҡ, ҡупшыраҡ була.

II ысул. b коэффициенты йоп булғанда квадрат тигеҙләмә тамырҙары

$ax^{2}+2kx+c=0$ күренешендәге тигеҙләмә өсөн, йәғни $b$ йоп булғанда, бында

k={\frac {1}{2}}b,

тамырҙарҙы табыу өсөн (1) формула урынына ябайыраҡ аңлатма ҡулланып була^[1].

Иҫкәрмә: түбәндә бирелгән формулаларҙы стандарт формулаға b=2k аңлатмаһын ҡуйып һәм ҡатмарлы булмаған үҙгәртеүҙәр яһап табып була.

Дискриминант		Тамырҙар
килтерелмәгән	килтерелгән	D>0	килтерелмәгән	килтерелгән
дискриминанттың сиреген иҫәпләү уңайлыраҡ: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Шуның менән бөтә кәрәкле үҙсәнлектәре һаҡлана.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}$
		D=0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III ысул. Тулы булмаған квадрат тигеҙләмәләрҙе сығарыу

Тулы булмаған квадрат тигеҙләмәләрҙе сығарыуға айырым ҡараш кәрәк. Өс мөмкин булған ситуацияны ҡарайбыҙ.

b=0, c=0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

ax^{2}=0;

$x^{2}=0;$ $x=0.$

(үҙгәртеү процессы махсус рәүештә ентекле күрһәтелгән, практикала шунда уҡ һуңғы тигеҙлеккә күсергә мөмкин)

ax^{2}+c=0

$ax^{2}=-c;$ $x^{2}=-{\frac {c}{a}};$ $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}.$

Әгәр $-{\frac {c}{a}}>0;$ , тигеҙләмәнең ике ысын тамыры бар, әгәр $-{\frac {c}{a}}=0;$ , ул саҡта $x=0.$ , ә инде $-{\frac {c}{a}}<0;$ булһа, тигеҙләмәнең ысын тамырҙары юҡ.

ax^{2}+bx=0;

$x(ax+b)=0;$ $x=0$ йәки $ax+b=0;$ $x=-{\frac {b}{a}}.$

Бындай тигеҙләмәнең һис һүҙһеҙ ике тамыры бар

IV ысул. Коэффициенттарҙың айырым нисбәтен файҙаланыу

Квадрат тигеҙләмәләрҙең, коэффициенттары, уларҙы күпкә еңелерәк ысул менән сығарырға мөмкинлек биреүсе, үҙ-ара үҙенсәлекле нисбәттә булған, айырым осраҡтары бар.

Өлкән коэффициент һәм ирекле быуындың суммаһы икенсе коэффициентҡа тигеҙ булған квадрат тигеҙләмә тамырҙары

Әгәр $ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тигеҙләмәһендә беренсе коэффициент һәм ирекле быуындың суммаһы икенсе коэффициентҡа тигеҙ булһа: $a+c=b$ , уның тамырҙары булып $-1$ һәм ирекле быуындың беренсе коэффициентҡа бүлендегенә ҡапма-ҡаршы булған һан тора ( $-{\frac {c}{a}}$ ).

Иҫбатлау

1 ысул. Иң башта бындай тигеҙләмәнең ысынлап та ике тамыры бармы икәнен асыҡлайбыҙ (шул иҫәптән, ике тап килеүсе):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}

.

Эйе, был ысынлап та шулай, коэффициенттарҙың теләһә ниндәй ысын ҡиммәттәрендә лә $(a-c)^{2}\geqslant 0$ , тимәк, дискриминант тиҫкәре түгел. Шулай итеп, әгәр $a\not =c$ булһа, тигеҙләмәнең ике тамыры бар, әгәр инде $a=c$ булһа, уның бер генә тамыры бар. Был тамырҙарҙы табайыҡ:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}

.

x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

Айырым осраҡта, әгәр $a=c$ булһа, тамыры берәү була: $-1.$

2 ысул

Квадрат тигеҙләмә тамырҙарының геометрик моделен ҡулланабыҙ: беҙ уларҙы $y=ax^{2}+bx+c$ параболаһы менән абсциссалар күсәренең киҫешеү нөктәһе итеп ҡарайбыҙ. Һәр парабола, уны биреүсе аңлатмаға бәйһеҙ рәүештә, $x=-{\frac {b}{2a}}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик фигура булып тора. Был шуны аңлата: симметрия күсәренә перпендикуляр булған һәр тура һыҙыҡтың парабола менән киҫеп алынған киҫеге күсәр менән ҡап урталай бүленә. Был әйтелгәндәр, айырым осраҡта, абсциссалар күсәре өсөн дә дөрөҫ. Шулай итеп, теләһә ниндәй парабола өсөн түбәндәге тигеҙлектәрҙең береһе дөрөҫ: $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ (әгәр $x_{1}<x_{2}$ ) йәки $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ (әгәр ҡапма-ҡаршы мәғәнәләге тигеҙһеҙлек дөрөҫ булһа). Модулдең геометрик мәғәнәһен күрһәтеүсе $\rho (a;b)=|a-b|$ тождествоһын ҡулланып, шулай уҡ $x_{1}=-1$ булыуын иҫәпкә алып (быны тигеҙлекте $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ квадрат өсбыуынына ҡуйып иҫбат итергә була, шуға күрә -1 - тигеҙләмәнең тамыры) , түбәндәге тигеҙлеккә киләбеҙ: $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ . Айырма, уға модулде ҡушҡанда һәр саҡ ыңғай, ә алғанда - тиҫкәре булыуын иҫәпкә алып һәм $b-a=c$ тигеҙлеген иҫләп, модулде асабыҙ: $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}$ . Икенсе осраҡта, оҡшаш үҙгәртеүҙәр башҡарып, шул уҡ һөҙөмтәгә киләбеҙ. Шуны иҫбат итергә һоралғайны ла инде.

Ошонан сығып, ниндәй ҙә булһа квадрат тигеҙләмәне сығарыр алдынан, уға ошо теореманы ҡулланыу мөмкинлеген тикшерергә кәрәк: өлкән коэффициент һәм ирекле быуындың суммаһын икенсе коэффициент менән сағыштырырға.

Бөтә коэффициенттары суммаһы нулгә тигеҙ булған квадрат тигеҙләмә тамырҙары

Әгәр квадрат тигеҙләмәлә бөтә коэффициенттары суммаһы нулгә тигеҙ ( $a+b+c=0$ ) булһа,бындай тигеҙләмәнең тамырҙары булып $1$ һәм ирекле быуындың өлкән коэффициентҡа бүлендеге ( ${\frac {c}{a}}$ ) тора.

Иҫбатлау

1 ысул. Иң беренсе, $a+b+c=0$ тигеҙлегенән $b=-(a+c)$ килеп сығыуын күрәбеҙ. Тамырҙары һанын асыҡлайбыҙ:

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.

Коэффициенттарҙың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә тигеҙләмәнең бер булһа ла тамыры бар: ысынлап та, коэффициенттарҙың теләһә ниндәй ҡиммәтендә $(a-c)^{2}\geqslant 0$ , тимәк дискриминант тиҫкәре түгел. Иғтибар итегеҙ, әгәр $a\not =c$ булһа, тигеҙләмәнең ике тамыры бар, әгәр инде $a=c$ булһа, бер генә тамыр. Был тамырҙарҙы табайыҡ:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Шуны иҫбат итергә һоралғайны ла инде.

Айырым осраҡта, әгәр

a=c

булһа, тигеҙләмәнең бер генә тамыры бар, ул

1

һаны.

2 ысул. Юғарыла бирелгән квадрат тигеҙләмә тамырының билдәләмәһе буйынса, ҡуйып ҡарау юлы менән 1 һаны тигеҙләмәнең тамыры булыуын асыҡлайбыҙ: $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ - дөрөҫ тигеҙлек, тимәк, 1 - был күренештәге квадрат тигеҙләмәнең тамыры. Артабан, Виет теоремаһы буйынса икенсе тамырын табабыҙ: был теоремаға ярашлы, тигеҙләмәнең тамырҙары ҡабатландығы ирекле быуындың өлкән коэффициентҡа бүлендегенә тигеҙ булған һанға тигеҙ - $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$ , ш.и.и.һ.

Ошонан сығып, тигеҙләмәне стандарт ысул менән сығарырҙан алда, уға ошо теореманы ҡулланыу мөмкинлеген тикшерегеҙ: тигеҙләмәнең бөтә коэффициенттарын ҡушығыҙ һәм сумма нулгә тигеҙ түгелме икәнен тикшерегеҙ.

V ысул. Квадрат өсбыуынды һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡатыу

Әгәр $ax^{2}+bx+c(a\not =0)$ күренешендәге өсбыуынды ниндәй ҙә булһа юл менән һыҙыҡлы ҡабатлашыусылар ҡабатландығы $(kx+m)(lx+n)=0$ рәүешендә күрһәтеп булһа, $ax^{2}+bx+c=0$ тигеҙләмәһенең тамырҙарын табып була — улар $-{\frac {m}{k}}$ һәм $-{\frac {n}{l}}$ һандары. Ысынлап та, $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0$ , ә был һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе сығарып, юғарыла әйтелгәнгә киләбеҙ. Квадрат өсбыуын һәр ваҡытта ла ысын коэффициентлы һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡатылмай икәнен билдәләп китергә кәрәк: был уға ярашлы тигеҙләмәнең ысын тамырҙары булған осраҡта ғына мөмкин.

Ҡайһы бер айырым осраҡтарҙы ҡарайыҡ.

Сумманың (айырманың) квадраты формулаһын ҡулланыу

Әгәр квадрат өсбыуын $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$ күренешендә булһа, әйтелгән формуланы ҡулланып, уны һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡата алабыҙ, тимәк , тамырҙарын да табабыҙ:

(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2};

(ax+b)^{2}=0;

x=-{\frac {b}{a}}.

Сумманың (айырманың) тулы квадратын айырыу

Шулай уҡ әйтелгән формуланы «сумманың (айырманың) тулы квадратын айырыу» тип исемләнгән методты ҡулланғанда файҙаланалар. Алдан индерелгән тамғалауҙар менән, килтерелгән квадрат тигеҙләмәгә ҡарата был шуны аңлата:

бер үк һанды ҡушабыҙ һәм алабыҙ
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$ .
килеп сыҡҡан аңлатмаға формуланы ҡулланабыҙ, кәметеүсе һәм ирекле быуынды уң яҡҡа сығарабыҙ
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0;$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
тигеҙләмәнең уң һәм һул яҡтарынан квадрат тамыр алабыҙ һәм үҙгәреүсәнде табабыҙ
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}};$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.$

Иҫкәрмә: әгәр аңғарһағыҙ, был формула «Килтерелгән квадрат тигеҙләмә тамырҙары» бүлегендә тәҡдим ителгән формула менән тап килә. (1) дөйөм формулаға a=1 тигеҙлеген ҡуйып та шул уҡ һөҙөмтәгә килергә мөмкин ине. Был факт ябай тап килеү түгел: тасуирланған метод менән, өҫтәлмә фекерләүҙәр башҡарып, дөйөм формуланы сығарырға һәм дискриминант үҙсәнлеген иҫбатларға була.

VI ысул. Тура һәм кире Виет теоремаһын ҡулланыу

Виеттың тура теоремаһы (аҫта шул уҡ исемдәге бүлекте ҡара) һәм уға кире теорема килтерелгән квадрат тигеҙләмәне, (1) формула буйынса оҙон иҫәпләүҙәр башҡармай, телдән сығарырға мөмкинлек бирә.

Кире теоремаға ярашлы, һәр $x_{1},x_{2}$ һандар пары (һан), түбәндә килтерелгән тигеҙләмәләр системаһының сығарылышы булараҡ, $x^{2}+px+q=0$ тигеҙләмәһенең тамырҙары булалар:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}

Был тигеҙләмәләрҙе ҡәнәғәтләндереүсе һандарҙы телдән табырға тура теорема ярҙам итә. Уның ярҙамы менән тамырҙарҙың үҙҙәрен белмәйенсә уларҙың тамғаһын асыҡлап була. Бының өсөн түбәндәге ҡағиҙәгә таянырға кәрәк:

1) әгәр ирекле быуын тиҫкәре булһа, тамырҙар төрлө тамғалы, һәм модуле ҙурыраҡ булған тамырҙың тамғаһы тигеҙләмәнең икенсе коэффициентының тамғаһына ҡапма-ҡаршы;

2) әгәр ирекле быуын ыңғай булһа, ике тамыр ҙа бер үк тамғалы, һәм ул тамға - икенсе коэффициенттың тамғаһына ҡапма-ҡаршы.

VII способ. «Күсереү» методы

«Күсереү» тип исемләнгән метод, килтерелмәгән һәм тигеҙләмәне өлкән коэффициентҡа бүлеү юлы менән бөтөн коэффициентлы килтерелгән тигеҙләмәгә әйләндереп булған тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙы, бөтөн коэффициентлы килтерелгән тигеҙләмәләрҙе сығарыуға ҡайтарып ҡала. Ул шунан ғибәрәт:

1) ике яғын да ҡабатлайбыҙ:

ax^{2}+bx+c=0|\cdot a

(ax)^{2}+b(ax)+ac=0

2) y=ax яңы үҙгәреүсәнен индерәбеҙ:

y^{2}+by+ac

.

Артабан тигеҙләмәне юғарыла әйтелгән ысул менән телдән сығарабыҙ, унан һуң тәүге үҙгәреүсәнгә әйләнеп ҡайтабыҙ тигеҙләмәнең тамырҙарын табабыҙ $y_{1}=ax_{1}$ һәм $y_{2}=ax_{2}$ .

Миҫал

Виеттың кире теоремаһын ҡулланып, $8x^{2}+2x-1=0$ тигеҙләмәһен сығарырға уйлайбыҙ икән, ти. Әгәр уның ике яғын да 8-гә бүлергә уйлаһаҡ, беҙ кәсер коэффициентлы килтерелгән тигеҙләмә табырбыҙ, шуға күрә уға теореманы ҡулланыу ҡыйын буласаҡ. Әммә, күсереү методын ҡулланып, бөтөн коэффициентлы килтерелгән тигеҙләмә таба алабыҙ:

8x^{2}+2x-1=0|\cdot 8;

(8x)^{2}+2(8x)-8=0;

.

y=8x формулаһы буйынса алмаштырып ҡуйып, түбәндәге тигеҙләмәне табабыҙ:

y^{2}+2y-8=0

.

-4 һәм 2 һандары уның тамырҙары. Кире алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарабыҙ:

8x_{1}=-4;\ 8x_{2}=2;

x_{1}=-0,5;\ x_{2}=0,25.

Геометрик мәғәнә

Квадрат функцияның графигы - парабола. Квадрат тигеҙләмәнең сығарылышы (тамыры) тип параболаның абсциссалар күсәре менән киҫешеү нөктәләренең абсциссаһы атала. Әгәр квадрат функция менән бирелгән парабола абсциссалар күсәре менән киҫешмәһә, тигеҙләмәнең ысын тамырҙары юҡ. Әгәр парабола абсциссалар күсәрен бер нөктәлә (параболаның түбәһендә) киҫһә, тигеҙләмәнең бер ысын тамыры бар (шулай уҡ, тигеҙләмәнең ике тап килеүсе тамыры бар тип әйтәләр). Әгәр парабола абсциссалар күсәрен ике нөктәлә киҫһә, тигеҙләмәнең ике ысын тамыры бар (уңдағы һүрәтте ҡара.)

Әгәр $a$ коэффициенты ыңғай булһа, параболаның тармаҡтары өҫкә ҡарай йүнәлгән, һәм киреһенсә. Әгәр $b$ коэффициенты ыңғай булһа ( $a$ ыңғай булғанда, тиҫкәре булғанда киреһенсә), параболаның түбәһе һул ярымяҫылыҡта ята һәм киреһенсә.

Квадрат тигеҙләмәләрҙе график ысул менән сығарыу

Юғарыла тасуирланған универсаль ысулдан тыш график ысул тип аталған ысул бар. Дөйөм алғанда, $f(x)=g(x)$ күренешендәге рациональ тигеҙләмәне сығарыу ысулы түбәндәгенән ғибәрәт: бер үк координаталар системаһында $y=f(x)$ һәм $y=g(x)$ функцияларының графигын төҙөйҙәр һәм был графиктарҙың уртаҡ нөктәләренең абсциссаларын табалар; табылған һандар тигеҙләмәнең тамырҙары була ла инде.

Квадрат тигеҙләмәләрҙе график ысул менән сығарыуҙың биш төп ысулы бар.

I ысул

$ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тигеҙләмәһен был ысул менән сығарыу өсөн $y=ax^{2}+bx+c$ функцияһының графигын төҙөйҙәр һәм был графиктың $x$ күсәре менән киҫешеү нөктәләренең абсциссаларын табалар.

II ысул

Шул уҡ тигеҙләмәне II ысул менән сығарыу өсөн уны $ax^{2}=-bx-c$ күренешенә үҙгәртәләр һәм бер үк координаталар системаһында $y=ax^{2}$ квадратик функцияның һәм $y=-bx-c$ һыҙыҡлы функцияның графиктарын төҙөйҙәр, аҙаҡ уларҙың киҫешеү нөктәләренең абсциссаларын табалар.

III ысул

Был ысул менән сығарыу өсөн бирелгән тигеҙләмәне, сумманың (айырманың) тулы квадратын айырыу методын ҡулланып, $a(x+l)^{2}+m=0$ , ә аҙаҡ $a(x+l)^{2}=-m$ күренешенә килтерергә кәрәк. Бынан һуң $y=a(x+l)^{2}$ функцияһының графигын (ул тамғаһына бәйле $|l|$ берәмеккә уңға йәки һулға күскән $y=ax^{2}$ функцияһының графигы) һәм абсциссалар күсәренә параллель $y=-m$ тура һыҙығын төҙөйҙәр. Тигеҙләмәнең тамыры булып парабола менән тура һыҙыҡтың киҫешеү нөктәһенең абсциссаһы тора.

IV ысул

Квадрат тигеҙләмәне $ax^{2}+c=-bx$ күренешенә килтерәләр. Шунан $y=ax^{2}+c$ функцияһының графигын (ул $c$ берәмеккә өҫкә, әгәр был коэффициент ыңғай булһа, йәки аҫҡа, әгәр был коэффициент тиҫкәре булһа, күскән $y=ax^{2}$ функцияһының графигы) һәм $y=-bx$ тура һыҙығын төҙөйҙәр. Уларҙың уртаҡ нөктәләренең абсциссаларын табалар.

V ысул

Квадрат тигеҙләмәне түбәндәге күренешкә килтерәләр:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}};

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

аҙаҡ

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

.

Үҙгәртеүҙәр башҡарып, $y=ax+b$ һыҙыҡлы функцияһының һәм $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)$ кире пропорционаллегенең графигын төҙөйҙәр, был графиктарҙың киҫешеү нөктәләренең абсциссаларын табалар. Был методты ҡулланыуға сикләүҙәр бар: әгәр $c=0$ булһа, метод ҡулланылмай.

Квадрат тигеҙләмәне циркуль һәм линейка ярҙамында сығарыу

Юғарыла тасуирланған график ысул менән сығарыу методтарының етешһеҙлектәре бар: улар ҙур күләмле эш башҡарыуҙы талап итә, шуға өҫтәп кәкере һыҙыҡтарҙы - парабола һәм гипербола - төҙөү теүәллеге түбән. Түбәндә тәҡдим ителгән, циркуль һәм линейка менән сағыштырмаса теүәлерәк төҙөүҙәрҙе күҙаллаусы методҡа был проблемалар хас түгел.

Был ысул менән сығарыуҙы башҡарыу өсөн, түбәндәге ғәмәлдәр эҙмә-эҙлелеген башҡарырға кәрәк.

Oxy координаталар системаһында үҙәге $S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {a+c}{2a}})$ нөктәһендә булған, y күсәрен C(0;1) нөктәһендә киҫкән әйләнә төҙөргә кәрәк.
Артабан өс осраҡ булыуы мөмкин:
- әйләнә радиусының оҙонлоғо S нөктәһенән абсциссалар күсәренә төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғонан ҙурыраҡ: Был осраҡта әйләнә x күсәрен ике нөктәлә киҫә, ә тигеҙләмәнең, был нөктәләрҙең абсциссаларына тигеҙ булған ике ысын тамыры була;
- радиус перпендикулярға тигеҙ: бер нөктә һәм ике тапҡырлы бер ысын тамыр;
- радиус перпендикулярҙан бәләкәй: $\mathbb {R}$ күмәклегендә тамырҙары юҡ.

Иҫбатлау

Файл:.Квадрат тигеҙләмәне циркуль һәм линейка ярҙамында сығарыу.png

Иҫбатлауға иллюстрация.

Был ысул абсциссалар күсәрен абсциссалары сығарырға кәрәк булған тигеҙләмәнең тамырҙары (тамыры) булған нөктәләрҙә киҫкән әйләнә төҙөүҙө күҙ уңында тота. Был әйләнәне нисек төҙөргә? Әйләнә төҙөлгән икән тип уйлайыҡ. Әйләнә өс нөктәһе менән аныҡ билдәләнә. Ике тамыр булған осраҡта, был нөктәләр $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ булһын ти, бында $x_{1},x_{2}$ квадрат тигеҙләмәнең ысын тамырҙары (һыҙыҡ өҫтөнә алабыҙ: әгәр улар булһа). Был әйләнәнең үҙәгенең координаталарын табабыҙ.Бының өсөн әйләнә $D(0;{\frac {c}{a}})$ нөктәһе аша үтеүен иҫбатлайбыҙ. Ысынлап та, киҫеүселәр тураһында теорема буйынса, индерелгән тамғалауҙарҙа $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ тигеҙлеге үтәлә (һүрәтте ҡара). Был аңлатманы үҙгәртеп, OD киҫегенең оҙонлоғон табабыҙ. Ул D нөктәһенең эҙләнгән ординатаһына тигеҙ: $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ (һуңғы үҙгәртеүҙә Виет теоремаһы ҡулланыла (түбәндәрәк шул исемдәге бүлекте ҡара)). Әгәр тамыр берәү булһа, йәғни абсциссалар күсәре әйләнәгә тейеүсе була, һәм әйләнә y күсәрен ординатаһы 1 булған нөктәлә киҫә. Ул саҡта әйләнә ординаталар күсәрен ҙурыраҡ ординаталы тағы бер нөктәлә киҫә (айырым осраҡта, әгәр 1=c/a булһа, был нөктәләр тап килергә мөмкин). Теорема киҫеүселәр тураһындағы теорема һәм уның айырым осрағы булған тейеүсе тураһында теореманы ҡулланып, шул уҡ юл менән иҫбатлана. Беренсе осраҡта ( ${\frac {c}{a}}\not =1$ ), хәл иткес булып тейеү нөктәһе, y күсәренең 1 ординаталы нөктәһе, һәм уның ${\frac {c}{a}}$ ординаталы нөктәһе тора. Әгәр c/a һәм 1 - тап килеүсе нөктәләр булһа, ә тамыр икәү, хәл иткес булып был нөктә һәм абсциссалар күсәре менән киҫешеү нөктәләре. (1=c/a) булған осраҡта тамыр ҙа берәү, был мәғлүмәттәр иҫбатлау өсөн етерлек, сөнки бындай әйләнә берәү генә булырға мөмкин - уның үҙәге булып тейеүсе киҫектәре һәм перпендикулярҙар менән яһалған квадраттың түбәһе тора, ә радиус квадраттың яғына тигеҙ (йәғни 1-гә). S - центр окружности, имеющей с осью абсциссалар күсәре менән ике уртаҡ нөктәһе булған әйләнәнең үҙәге булһын, ти. Уның координаталарын табайыҡ: бының өсөн был нөктәнән координаталар күсәрҙәренә перпендикулярҙар төшөрәбеҙ. Был перпендикулярҙарҙың остары AB һәм CD киҫектәренең уртаһы була - сөнки ASB һәм CSD өсмөйөштәре тигеҙ эргәле, бер әйләнәнең радиустары булараҡ AS=BS=CS=DS, тимәк уларҙың нигеҙенә төшкән бейеклектәре медиана ла булып тора. Әйтелгән киҫектәрҙең урталарының координаталарын табабыҙ. Парабола $x=-{\frac {b}{2a}}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик булғанлыҡтан, тура һыҙыҡтың шул уҡ абсциссалы нөктәһе AB киҫегенең уртаһы була. Ошонан сығып, S нөктәһенең абсциссаһы был һанға тигеҙ. Тигеҙләмәнең тамыры берәү булған осраҡта x күсәре әйләнәгә тейеүсе була, тейеүсенең үҙсәнлеге буйынса әйләнәнең радиусы x күсәренә перпендикуляр. Тимәк был һан - үҙәктең абсциссаһы. Уның ординатаһын ошолай табабыҙ: ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac {c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ . Мөмкин булған өсөнсө осраҡта, c\a=1 булғанда (тимәк, a=c), ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$ була.

Шулай итеп, беҙ төҙөү өсөн кәрәк булған мәғлүмәттәрҙе таптыҡ. Ысынлап та, әгәр беҙ үҙәге $S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {c+a}{2a}})$ нөктәһендә булған, $C(0;1)$ нөктәһе аша үткән әйләнәне төҙөһәк, ул, тигеҙләмәнең ике тамыры булған осраҡта, x күсәрен абсциссалары ошо тамырҙарға тигеҙ булған нөктәләрҙә киҫә. Ошоға өҫтәп, әгәр радиус оҙонлоғо күсәренә перпендикулярҙан ҙурыраҡ булһа, тигеҙләмәнең ике тамыры була (киреһен фаразлаһаҡ, юғарыла иҫбатланған менән ҡапма-ҡаршылыҡҡа килер инек); әгәр оҙонлоҡтары тигеҙ булһа, бер тамыры бар (шул уҡ сәбәп буйынса); әгәр радиус оҙонлоғо перпендикулярҙан бәләкәй булһа, әйләнәнең x күсәре менән уртаҡ нөктәләре юҡ, тимәк тигеҙләмәнең ысын тамырҙары юҡ (киреһенән сығып иҫбатлана: әгәр тамырҙары булһа, A, B, C нөктәләре аша үткән әйләнә бирелгән әйләнә менән тап килә, шуға күрә Ox күсәрен киҫә. Әммә ул шарт буйынса абсциссалар күсәрен киҫмәҫкә тейеш, тимәк беҙҙең фараз дөрөҫ түгел).

Комплекс һандар күмәклегендә квадрат тигеҙләмә тамырҙары

Ысын коэффициентлы тигеҙләмә

Алгебраның төп теоремаһы раҫлауынса, коэффициенттары $a,~b,~c$ Ысын һандар булған квадрат тигеҙләмәнең теүәл ике комплекс тамыры бар. Шуның менән бергә, дискриминант $D=b^{2}-4ac$ -тың ҡиммәтенә бәйле, бер тамырының, йәки ике тамырының да уйҙырма өлөшө булмаҫҡа, ысын һандар булыуҙары мөмкин:

$D>0$ булғанда, ысын тамырҙары икәү һәм уларҙы
$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}};$ формулаһы буйынса иҫәпләйҙәр.
$D=0$ булһа, тамыр берәү (йәки ике тигеҙ йәки тап килеүсе тамырҙары бар тип әйтәләр):
$x={\frac {-b\pm 0}{2a}}={\frac {-b}{2a}};$
$D<0$ булғанда ысын тамырҙары юҡ, әммә ике комплекс тамырҙары бар, улар ыңғай дискриминант өсөн булған формула буйынса иҫәпләнәләр. Шулай уҡ уны, тиҫкәре һандан тамырҙы уйҙырма берәмек менән ҡабатландыҡ рәүешендә күрһәтеп, күсереп яҙырға була:
$x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.$

Комплекслы коэффициентлы тигеҙләмә

Коэффициенттары комплекслы һандар булған осраҡта ла квадрат тигеҙләмә шул уҡ (1) формула буйынса һәм юғарыла килтерелгән варианттар буйынса сығарыла, тик ике осраҡта ғына айырма бар: дискриминант нуль (бер икеләтә тамыр) һәм нулдән айырмалы дискриминант (ике ябай тамыр).

Килтерелгән квадрат тигеҙләмә тамырҙары

Өлкән коэффициенты $a$ бергә тигеҙ булған $x^{2}+px+q=0,$ күренешендәге квадрат тигеҙләмә килтерелгән квадрат тигеҙләмә тип атала. Был осраҡта тамырҙар өсөн (1) формула ябайлаша:

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Мнемоник ҡағиҙә:

«Радионяня радиотапшырыуынан»:

Тәүҙә «Минус»ты яҙабыҙ,
p яртыһын йәнәшә,
«Плюс-минус» радикал тамғаһы,
Күптәнге беҙҙең таныш.
Ә тамыр аҫтында, иптәш,
Бөтәһе лә бик ябай:
p яртыһы һәм квадратта
Минус матурҡай^[2] q.

«Радионяня радиотапшырыуынан» (икесе вариант):

p-ға ҡапма-ҡаршы һанды,
Беҙ бүләбеҙ урталай,
Һәм тамырҙан ипләп кенә
«минус-плюс» уны ҡамай.
Тамыр аҫтында бик урынлы
p яртыһы квадратта
Минус q — һәм яуап,
Тигеҙләмә тамырҙары.

Виет теоремаһы

Төп мәҡәлә: Виет теоремаһы

Формулировка

$x^{2}+px+q=0$ килтерелгән квадрат тигеҙләмә тамырҙарының суммаһы «минус» тамғаһы менән алынған $p$ коэффициентына, ә тамырҙарҙың ҡабатландығы $q$ ирекле быуынына тигеҙ.

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Дөйөм осраҡта, йәғни килтерелмәгән $ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тигеҙләмә өсөн:

x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad x_{1}x_{2}=c/a.

Был теореманы ҡулланып, ҡайһы бер квадрат тигеҙләмәләрҙе телдән сығарып була.

Миҫал

x^{2}-8x+12=0;

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8;\\x_{1}x_{2}=12;\end{cases}}

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

Квадрат өсбыуынды ҡабатлашыусыларға тарҡатыу һәм шуға бәйле теоремалар

Әгәр квадрат өсбыуындың ике тамыры ла билдәле булһа, уны

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) формулаһы буйынса ҡабатлашыусыларға тарҡатып була.

Иҫбатлау

Был раҫлауҙы иҫбатлау өсөн Виет теоремаһын ҡулланабыҙ. Был теоремаға ярашлы, $ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тигеҙләмәһенең $x_{1}$ һәм $x_{2}$ тамырҙары уның коэффициенттары менән ошондай нисбәттә: $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ . Был нисбәтте квадрат өсбыуынға ҡуябыҙ:

ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=

=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))=a(x-x_{1})(x-x_{2})

.

Дискриминант нуль булған осраҡта был нисбәт сумма һәм айырманың квадраты формулаһы варианттарының береһе була.

(2) формуланың ике мөһим эҙемтәһе бар:

Эҙемтә 1

Әгәр квадрат өсбыуын ысын коэффициентлы һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡалһа, уның шул уҡ һанлы күмәклеккә ингән тамырҙары бар.

Иҫбатлау

$ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$ булһын, ти. Тарҡатманы үҙгәртеп яҙып, табабыҙ:

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))

.

Килеп сыҡҡан аңлатманы (2) формула менән сағыштырып, $-{\frac {m}{k}}$ һәм $-{\frac {l}{n}}$ квадрат өсбыуындың тамырҙары булыуын табабыҙ. Коэффициенттар ысын һан булғас, уларҙың сағыштырмаһына ҡапма-ҡаршы һандар ҙа шул уҡ $\mathbb {R}$ күмәклегенең элементтары була.

Эҙемтә 2

Әгәр квадрат өсбыуындың ысын тамырҙары булмаһа, ул ысын коэффициентлы һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡалмай.

Иҫбатлау

Ысынлап та, әгәр беҙ киреһен фаразлаһаҡ (бындай квадрат өсбыуын һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡала тип), ул саҡта, эҙемтә 1 буйынса, уның $\mathbb {R}$ күмәклегендә тамырҙары бар. Был теореманың шартына ҡаршы килә, шуға күрә беҙҙең фараз дөрөҫ түгел, һәм бындай өсбыуын һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡалмай.

ысын x үҙгәреүсәнле квадратик функция өсөн:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) ', x — график x күсәрен киҫкән нөктәләрҙең координатаһы, x = −1 һәм x = 2 x² − x − 2 = 0 квадрат тигеҙләмәнең тамырҙары була: .

Квадрат тигеҙләмәгә килтерелеүсе тигеҙләмәләр

Алгебраик тигеҙләмәләр

$a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$ күренешендәге тигеҙләмә квадрат тигеҙләмәгә килтерелеүсе тигеҙләмә була.

Дөйөм осраҡта ул $f(x)=t,t\in E(f)$ алмаштырып ҡуйыу һәм артабан $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$ квадрат тигеҙләмәһен сисеү юлы менән сығарыла.

Тигеҙләмәне алмаштырып ҡуйыуһыҙ сығарырға ла мөмкин, был осраҡта ике тигеҙләмә системаһын ҡарайбыҙ:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}

һәм

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}

Әгәр $f(x)=x^{2}$ булһа, тигеҙләмә

ax^{4}+bx^{2}+c=0

күренешен ала.

Бындай тигеҙләмә биквадрат тигеҙләмә тип атала^[3]^[1].

y=x+{\dfrac {k}{x}}

алмаштырып ҡуйыуы ярҙамында

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0

тигеҙләмәһе кире ҡайтмалы йәки дөйөмләштерелгән-симметрик тигеҙләмә тип аталыусы квадрат тигеҙләмәгә әйләнә^[1].

Дифференциаль тигеҙләмәләр

Икенсе тәртиптәге даими коэффициентлы бер төрҙәге һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмә

y''+py'+qy=0

$y=e^{kx}$ алмаштырып ҡуйыу ярҙамында характеристикалы квадрат тигеҙләмәгә әйләнә:

k^{2}+pk+q=0

Әгәр тигеҙләмәнең тамырҙары $k_{1}$ һәм $k_{2}$ бер-береһенә тигеҙ булмаһа, дөйөм сығарылышы ошондай күренештә була:

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, бында

A

һәм

B

— ирекле даими һандар.

Комплекслы тамырҙар өсөн $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$ дөйөм сығарылышты, Эйлер формулаһын ҡулланып, күсереп яҙырға мөмкин:

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ae^{k_{r}x}\cos(k_{i}x+\varphi )

Әгәр характеристикалы тигеҙләмәнең тамырҙары тап килһә $k_{1}=k_{2}=k$ , дөйөм сығарылыш ошондай күренештә була:

y=Axe^{kx}+Be^{kx}

Бындай типтағы тигеҙләмәләр математика һәм физиканың төрлө мәсьәләләрендә осрайҙар. Мәҫәлән, тирбәлеү теорияһы йәки үҙгәреүсән токтың сынйырҙар теорияһы.

Иҫкәрмәләр

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 Энциклопедический словарь юного математика, 1985
↑ другой вариант — «бәхетһеҙ»
↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1988.

Әҙәбиәт

Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.