Брахмагупта

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Перейти к навигации Перейти к поиску
Брахмагупта
ब्रह्मगुप्त
Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg
Брахмагупта
Тыуған көнө:

598({{padleft:598|4|0}})

Тыуған урыны:

Бхинмал, Һиндостан

Вафат булыу көнө:

670({{padleft:670|4|0}})

Гражданлығы:

Һиндостан

Ғилми өлкәһе:

математика, астрономия

Брахмагупта, Брамагупта (санскр. ब्रह्मगुप्त, ок. 598670) — һинд математигы һәм астрономы. Удджайнда обсерватория менән етәкселек итә. Византияла һәм ислам илдәрендә астрономияның үҫешенә ҙур йоғонто яһай. Астрономик иҫәпләүҙәр өсөн алгебраик ысулдар ҡуллана башлай, нуль, ыңғай һәм тиҫкәре дәүмәлдәр менән ғәмәлдәр ҡағиҙәләрен индәрә. Уның «Брахма-спхута-сиддханта[en]» («Правильно изложенное учение Брахмы», йәки «Разъяснение совершенной системы Брахмы») исемле төп хеҙмәте бөгөнгө көнгә тиклем һаҡланған. Хеҙмәтенең күп өлөшө астрономияға, ике бүлеге (12-се һәм 18-се) математикаға бағышланған.

Биографияһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагупта яҡынса 598 йылда тыуған. Был уның «Брахма-спхута-сиддханта» китабынан күренә, унда Брахмагупта был тексты 30 йәшендә 628 йылда яҙыуын әйтә (сак эраһы буйынса 550 йыл)[1][2]. Брахмагупта Төньяҡ-Көнбайыш Һиндостандың Раджастхан штатында, ул ваҡытта Гурджар династияһы иленең баш ҡалаһы Бхилламалда[en] тыуған. Уның атаһы Джишнугупта була[3]. Ихтимал, ул Вьяграмукха хакимлыҡ иткән ваҡытта ғүмеренең күп өлөшөн Бхинмалда үткәргән (һәм, моғайын, уның ҡурсалауында булған)[4], шуға күрә уны йыш ҡына Бхилламалачарья тип исемләйҙәр (Бхилламаланан уҡытыусы)[5]. Брахмагупта Удджайнда астрономик обсерватория етәксеһе була. Шулай уҡ Варахамихира ла эшләгән был обсерватория боронғо Һиндостанда иң яҡшыһы була[3].

Раху башы, Ҡояшҡа һәм Айға үс итеп, ҡайһы берҙә уларҙы йота, шул рәүешле ай тотолоу һәм ҡояш тотолоу тыуҙыра

Брахмагуптаның тикшеренеүҙәренә уның дини ҡараштары етди йоғонто яһай. Индуизмға ныҡ ышаныусы булараҡ, ул ҡайһы бер замандаштарының космологик ҡараштарын, атап әйткәндә Ариабхатаның Ер әйләнеүсе сфера тип раҫлаусы ҡарашын тәнҡитләй[6]. Брахмагупта Ариабхата менән ҡояш тотолоу тәбиғәте тураһында бәхәсләшә[7]:

Кешеләр араһында тотолоуҙарҙы [аждаһа Раху] Башы тыуҙырмай тип уйлаусылар бар. Был аҡылға һыймаҫлыҡ фекер, сөнки тап ул тотолоуҙарҙы барлыҡҡа килтерә, һәм донъяның күпселек халҡы тап ул тотолоуҙарҙы тыуҙыра тип һөйләй. Алла Һүҙе булған Ведаларҙа, Брахма ауыҙы менән Баш тотолоуҙарҙы тыуҙыра тип әйтелә. Уға ҡапма-ҡаршы, Ариабхата, бөтәһенә ҡаршы барып, телгә алынған изге һүҙҙәргә дошманлыҡ итеп, тотолоуҙы Баш барлыҡҡа килтермәй, ә тик Ай һәм Ерҙең күләгәһе барлыҡҡа килтерә тип раҫлай… Был авторҙар күпселеккә буйһонорға тейештәр, сөнки Ведаларҙа булған бөтә нәмә изге.

Брахмагупта Ариабхатаның хеҙмәттәре менән таныш булһа ла, Бхаскараның хеҙмәттәре менән таныш булғанмы икәне билдәһеҙ. Брахмагуптаның хеҙмәттәрендә уға замандаш астрономдар адресына күп һанда тәнҡитле иҫкәртмәләр бар, ә «Брахма-спхута-сиддхантаның» йөкмәткеһе шул осорҙағы һинд математиктары араһында ҡаршылыҡтар булыуын дәлилләй. Фекер айырымлыҡтары күбеһенсә астрономик параметрҙарҙы һәм теорияны һайлау менән бәйле була. Брахмагуптаның оппоненттары теорияһын тәнҡитләү «Брахма-спхута-сиддхантаның» тәүге ун ике бүлегендә бар, ә ун өсөнсө һәм ун һигеҙенсе бүлектәрҙә юҡ.

Ғәрәп ғалимы Аль-Бируни үҙенең «Китаб аль-Хинд» китабында (яҡынса 1035 йыл) һинд астрономдарының идеяларын тасуирлай һәм анализлай. Үҙенең хеҙмәтендә ул Брахмагуптаға иң ҙур абруй һымаҡ һылтана[8].

Төп хеҙмәттәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагуптаның төп ике хеҙмәте билдәле: «Брахма-спхута-сиддханта» (ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त) (628) һәм «Кхандакхадьяка» (खण्डखाद्यक) (665)[9].

Брахма-спхута-сиддханта[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

«Брахма-спхута-сиддханта»[en] («Брахманың камиллаштырылған тәғлимәте», йәки «Брахма системаһын киренән ҡарау»[10]) — Брахмагуптаның математикаға һәм астрономияға бағышланған иң билдәле хеҙмәте. Трактат шиғырҙар менән яҙылған һәм иҫбаламайынса тик һөҙөмтәләрҙән генә тора. Хеҙмәте 25 бүлектән тора[3] (башҡа сығанаҡтарҙа 24 бүлек һәм таблицалар менән ҡушымта тураһында әйтелә[5]).

Шул осорҙоң астрономияһы буйынса ғәҙәттәге текстан ғибәрәт булған тәүге 10 бүлеге йыш ҡына хеҙмәтенең беренсе версияһы һымаҡ ҡарала, сөнки тик был бүлектәр генә ингән манускрипттар (боронғо ҡулъяҙмалар) бар. Был текст Дашадхьяйи исемен йөрөтә[5]. Унда, атап әйткәндә, урта һәм ысын оҙонлоҡто иҫәпләү, тәүлек әйләнәһен иҫәпләү, ҡояш һәм ай тотолоуҙарын иҫәпләү, күк есемдәренең ваҡыт үтеү менән урынын (эфемеридалар), уларҙың ҡалҡыуын һәм байышын, ялғаныуын иҫәпләү ысулдары бар[3].

Артабанғы 15 бүлегендә тәүге бүлектәргә һиҙелерлек өҫтәмәләр һәм төҙәтмәләр, шулай уҡ математика буйынса бүлектәр бар[3]. Математик бүлектәр һинд математиктарының ике төп ҡарашы: «процедуралар математикаһы», йәки алгоритмдар, һәм «сығанаҡтар математикаһы», йәки тигеҙләмәләр тураһында төшөнсә бирә. Китаптың 12-се бүлеге «Математика» исемен йөрөтә, ул иң ябай арифметик ғәмәлдәргә, пропорцияларға, ҡушып бутауға мәсьәләләргә һәм рәттәргә арналған, был Брахмагупта осорондағы практик математиканың төп өлөшөн тәшкил итә. 18-се бүлек, «Распылитель», алгебра менән туранан тура бәйле, әммә ундай термин ул ваҡытта әле булмағанлыҡтан, бүлектә ҡаралған беренсе мәсьәлә буйынса аталған[6].

VIII быуаттың икенсе яртыһында, Аббасидтар династияһынан Багдад хәлифе Абу-әль-Аббас Абд-Аллах аль-Мамун (712—775) илселек менән Һиндостанда булғанда, Удджайндан Канках исемле ғалимды Багдадҡа саҡыра, ул астрономияның һинд системаһын «Брахма-спхута-сиддханта» нигеҙендә уҡытҡан була. Хәлиф китаптың ғәрәп теленә яҙма тәржемәһен һорай, быны 771 йылда математик һәм философ Ибраһим әль-Фазари башҡара[2][9]. Таблицалар — зидж рәүешендә башҡарылған тәржемә — кәрәкле аңлатмалары һәм тәҡдимдәре менән, «Большой Синдхинд» исемен ала. Әл-Хорезми үҙенең астрономия («Зидж ал-Хорезми») һәм арифметика («Книга об индийском счёте») буйынса хеҙмәттәрен яҙыу өсөн был хеҙмәт менән файҙаланыуы билдәле. XI быуатта һуңғыһының латин теленә тәржемәһе позицион иҫәпләү системаһының таралыуында хәл иткес роль уйнаған тип иҫәпләнә[9].

«Брахма-спхута-сиддханта» VII—IX быуаттарҙа Ҡытай математиктары тарафынан тәржемә ителә (һәр хәлдә дүрт тәржемә билдәле), шул рәүешле унарлы иҫәпләү системаһының ҡытай ғалимдары араһында таралыуына мөмкинлек бирә[9]. 1817 йылда математикаға арналған ике бүлеге Генри Томас Колбрук тарафынан инглиз теленә тәржемә ителә[5].

860 йылда һинд математигы Притхудака Свами китапҡа комментарийҙар яҙа, улар Васана-бхашья исемен йөрөтәләр. Тулы комментарийҙарҙан тик бер нисә манускрипттар ғына һаҡланып ҡалған. Шулай уҡ китаптың тулы версияһына һәм тәүге ун бүлеккә бер нисә аноним комментарийҙар билдәле. Һиндостанда Брахмагуптаның китабы 1902 һәм 1966 йылдарҙа баҫылып сыға[5].

Кхандакхадьяка[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагуптаның икенсе эше, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), 665 йылда яҙыла[6]. Ул 8 бүлектән тора. Брахмагупта был хеҙмәтендә, күбеһенсә Ариабхата тәҡдим иткән системаны ҡулланып, бер нисә астрономик иҫәпләүҙәренә төҙәтеүҙәр индерә һәм ябайлаштыра[8]. Бынан тыш, унда синустарҙы иҫәпләү өсөн интерполяцион формулалар инә[3]. В VIII веке Кхандакхадьяка была переведена на арабский язык под названием «Арканд»[8].

Кхандакхадьякаға комментарийҙар 864, 966, 1040, 1180 йылдарҙа яҙыла, уларҙың ҡайһы берҙәре һаҡланған. Китап үҙе 1925 һәм 1941 йылдарҙа Калькуттала баҫылып сыға. Инглиз теленә Прабодх Чандра Сенгупта 1934 йылда тәржемәләй[5].

Математикаға индергән өлөшө[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупта үҙенең хеҙмәтендә нулгә һандан был һандың үҙен алыу нәтижәһе тигән билдәләмә бирә. Ул беренселәрҙән булып ыңғай һәм тиҫкәре һандар һәм нуль өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр башҡарыу ҡағиҙәләрен сығарған, ыңғай һандарҙы байлыҡ итеп, ә тиҫкәре һандарҙы бурыс итеп ҡараған. Артабан Брахмагупта нулгә бүлеүгә билдәләмә биреп арифметиканы киңәйтергә маташа[3]. Согласно Брахмагупте[3][11],

  • Нулде нулгә бүлһәң нуль була;
  • Ыңғай йәки тиҫкәре һанды нулгә бүлеү знаменателендә нуль булған кәсер;
  • Нулде ыңғай йәки тиҫкәре һанға бүлһәң нуль була.

Брахмагупта күп урынлы һандарҙы бағаналап ҡабатлауҙың өс ысулын тәҡдим итә (төп һәм ике ябайлаштырылған), улар әлеге ваҡытта ҡулланылған ысулдарға яҡын. Төп ысулды Брахмагупта «гомутрика» тип атай, был тәржемәлә «һыйыр һейҙеге траекторияһы» (ингл. "like the trajectory of cow's urine")[3] тигәнде аңлата.

Брахмагупта шулай уҡ Ньютондың итерацион формулаһына эквивалентлы булған квадрат тамырҙы яҡынса иҫәпләү ысулын, (Newton-Raphson), ax2 + c = y2 күренешендәге ҡайһы бер билдәһеҙ квадрат тигеҙләмәләрҙе эшләү ысулын, эҙмә-эҙ кәсерҙәр ысулын ҡулланып ax + c = byкүренешендәге билдәһеҙ һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе эшләү ысулын тәҡдим итә[3].

Ул «Сумма квадратов есть сумма чисел, умноженная на удвоенное число шагов, увеличенное на единицу, и делённая на три. Сумма кубов есть квадрат суммы чисел до одного и того же числа» тип раҫлап, тәүге n һандың квадраттары һәм кубтары суммаһын тәүге n һандың суммаһы аша билдәләй [11][11]. Формулалар иҫбатламайынса килтерелә[3].

Кхандакхадьяктың хеҙмәтендә Брахмагупта, Ньютон — Стирлингтың интерполяцион формулаһынан һуң 1000 йылдан артығыраҡ ваҡыт үткәс сығарылған формуланың айырым осрағы булған, икенсе тәртиптәге интерполяцион формуланы тәҡдим итә. Ул был формуланы үҙе төҙөгән тригонометрик таблицаларҙа синустың ҡиммәттәрен интерполяциялау өсөн ҡуллана[12]. Формула аргументының ҡиммәте a + xh (h > 0 һәм −1 ≤ x ≤ 1 булғанда) булғанда f функцияһының ҡиммәтенә баһа бирә, әгәр уның ҡиммәте ah, a һәм a + h нөктәләрендә билдәле булһа. Ул ошондай күренештә яҙыла:

бында Δ — беренсе тәртиптәге үҫә барыусы сикле айырма операторы, йәғни

Дүртмөйөш өсөн Брахмагупта формулаһы

Брахмагупта әйләнәгә ҡамалған дүртмөйөштөң майҙанын иҫәпләү формулаһын тәҡдим итә[3]. Брахмагупта формулаһы дөйөмләштерелгән өсмөйөш майҙанының Герон формулаһы булып тора. Йәғни, яҡтары a, b, c, d һәм ярымпериметры p булған әйләнәгә ҡамалған дүртмөйөштөң майҙаны S тигеҙ

Шул уҡ ваҡытта Брахмагупта үҙе формула тик әйләнәгә ҡамап булған дүртмөйөштәр өсөн генә дөрөҫ булыуын асыҡлап әйтмәй, шуға күрә ҡайһы бер тарихсылар бында Брахмагуптаның хатаһы бар тип иҫәпләйҙәр [3].

Брахмагуптаның ирекле өсмөйөштө ҡамаусы әйләнәнең радиусы өсөн формулаһы билдәле:

бында a, b, c — өсмөйөштөң яҡтары, ha, hb һәм hc — уның бейеклектәре.

Брахмагупта тождествоһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагуптаның тождествоһы ике квадраттың ике суммаһының ҡабатландығы үҙе ике квадраттың суммаһы булып тора тип раҫлай, шуның менән бергә ике төрлө.

Миҫал өсөн,

Брахмагупта теоремаһы[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагупта теоремаһы AF = FD тип раҫлай

Диагоналдәре үҙ-ара перпендикуляр булған ҡамалған дүртмөйөш булһын, ти. Опустим из точки пересечения Диагоналдәренең киҫешеү нөктәһенән уның яҡтарының береһенә перпендикуляр төшөрәйек. Будучи продолженным по другую сторону от точки пересечения Диагоналдәр киҫешкән нөктәнән икенсе яғына дауам иткәндә, был перпендикуляр дүртмөйөштөң ҡаршы ятҡан яғын ике тигеҙ өлөшкә бүлә.

Брахмагупта мәсьәләһе[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагупта мәсьәләһе — бирелгән дүрт яғы буйынса циркуль һәм линейка ярҙамында ҡамалған дүртмөйөш төҙөргә[13]. Сығарылыштарҙың береһе Аполлоний әйләнәһен ҡуллана.

Астрономияға индергән өлөшө[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагупта Ерҙе хәрәкәтһеҙ тип уйлай (үҙенең күсәре тирәһендә әйләнмәй) һәм үҙенең хеҙмәтендә Брахма-спхута-сиддханта йылдың оҙайлығы 365 көн 6 сәғәт 5 минут һәм 19 секунд тип күрһәтә, шул уҡ ваҡытта артабанғы хеҙмәтендә Кхандакхадьяка йылдың оҙайлығын 365 көн 6 сәғәт 12 минут һәм 36 секунд тип күрһәтә. Икенсе ҡиммәт Ариабхатанан алынған булыуы мөмкин[3].

Брахмагуптаның Брахма-спхута-сиддхантала тасуирланған астрономик ҡараштары уның тикшеренеүҙәренең юғары кимәле һәм фәнни зирәклеге тураһында һөйләй. Шулай, хеҙмәтенең «Ай тотолоу тураһында» тип аталған етенсе бүлегендә, Брахмагупта Ай Ерҙән Ҡояшҡа ҡарағанда алыҫтараҡ тора тигән ҡарашты кире ҡаға[14].

7.1. Әгәр Ай Ҡояштан юғарыраҡ булһа, ул саҡта уның Ҡояшҡа яҡын яртыһы һәр саҡ яҡты булыр ине.

7.2. Оҡшаш рәүештә, Айҙың Ҡояш яҡтыртҡан яғы һәр саҡ күренеп торор ине, ә яҡтыртылмаған яғы күренмәгән килеш ҡалыр ине.

7.3. [Айҙың яҡтыртылған өлөшөнөң] яҡтылығы Ҡояш йүнәлешендә арта. Яҡты ярымай аҙағында яртыһы яҡты һәм икенсе яртыһы ҡараңғы. Шулай итеп, ярымай мөгөҙҙәренең бейеклеген иҫәпләп сығарып була.

Брахмагупта, Ай Ергә Ҡояшҡа ҡарағанда яҡыныраҡ булғанлыҡтан, Айҙың яҡтылыҡ дәрәжәһе Ҡояш һәм Айҙың үҙ-ара торошона бәйле һәм был ике күк есеменең араһындағы мөйөш ҙурлығынан сығып иҫәпләнергә мөмкин тип аңлата.

Брахмагуптаның ваҡыт үтеү менән күк есемдәренең урынын иҫәпләү ысулы (эфемеридалары), уларҙың ҡалҡыуын һәм байыуын, ялғаныуын, шулай уҡ ҡояш һәм ай тотолоуҙарҙы иҫәпләүҙәре астрономияға индергән мөһим өлөшө булып тора. Брахмагупта пураник космологияның Ер яҫы йәки эсе ҡыуыш тигән ҡараштарын тәнҡитләй. Ул Ер һәм күк сферик формала һәм Ер хәрәкәт итә тип раҫлай. 1030 йылда Газневид астрономы Абу аль-Райхан аль-Бируни үҙенең «Та’рих аль-Хинд» исемле хеҙмәтендә Брахмагуптаның эшенә комментарий бирә. Бируни әйтеп китеүенсә, Ерҙең шар формаһында булыу теорияһын тәнҡитләүселәргә («Әгәр был шулай булһа, таштар һәм ағастар ерҙән ҡолап төшәсәк») Брахмагупта ошолай яуап бирә:

Киреһенсә, әгәр был шулай булһа, Ер үҙенең формаһын хатта бер минут эсендә лә һаҡлай алмаҫ ине. […] Бөтә ауыр нәмәләр Ерҙең үҙәгенә тартылалар […] Ер бөтә яҡтан да бер төрлө. Тәбиғәт законы буйынса бөтә кешеләр ҙә Ерҙә баҫып торалар, һәм бөтә ауыр нәмәләр ергә ҡолайҙар, Ерҙең тәбиғәте шулай ҡоролған, әйберҙәрҙе үҙенә тартып һәм тотоп тороу өсөн, һыуҙың тәбиғәте — ағыу, уттың — яныу, елдең — хәрәкәткә килтереү булған кеүек … Ер — ул берҙән-бер түбәндәге нәмә, бөтә предметтар һәр ваҡыт теләһә ниндәй йүнәлештән, ҡайҙа ғына уны ташлаһағыҙ ҙа, уға әйләнеп ҡайталар, һәм бер ҡасан да ерҙән өҫкә күтәрелмәйҙәр.

— Брахмагупта, Брахма-спхута-сиддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Ерҙең тартыу көсө тураһында Брахмагупта ошолай тип әйтә:

Есемдәр ергә ҡолап төшәләр, сөнки Ерҙең тәбиғәте шулай — уларҙы тартыу, һыуҙың тәбиғәте — ағыу булған кеүек.

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2

Яҙмалары[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Брахмагуптаның төп хеҙмәте, «Брахманың камиллаштырылған тәғлимәте» («Брахма-спхута-сиддханта», 628)[15], Ҡалып:Нет АИ 2

Брахмагуптаның икенсе хеҙмәте, «Кхандакхадьяка» (655), шулай уҡ астрономия буйынса фундаменталь хеҙмәт булып тора.

Баҫылған эштәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  • Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Delhi, 1966. vol. 1.

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  1. Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, p. xxxv–xxxvi
  2. 2,0 2,1 Brahmagupta. Encyclopedia of World Biography (2006). 20 август 2013 тикшерелгән.
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 J. J. O'Connor, E. F. Robertson Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics archive. Тәүге сығанаҡтан архивланған 15 сентябрь 2013. 20 август 2013 тикшерелгән.
  4. Plofker, 2007, p. 418—419
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 Brahmagupta. Complete Dictionary of Scientific Biography. 20 август 2013 тикшерелгән.
  6. 6,0 6,1 6,2 Takao Hayashi Brahmagupta. Энциклопедия Британника. Тәүге сығанаҡтан архивланған 16 сентябрь 2013. 20 август 2013 тикшерелгән.
  7. Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии. Указ. соч., с. 111.
  8. 8,0 8,1 8,2 Katz V. J., Imhausen A. История человечества — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII—XVI века. — P. 410—412. — 796 p.(недоступная ссылка)  (рус.)
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 Pearce Ian Brahmagupta, and the influence on Arabia. MacTutor History of Mathematics archive. Тәүге сығанаҡтан архивланған 15 сентябрь 2013. 20 август 2013 тикшерелгән.
  10. Брахмагупта. Большая советская энциклопедия. 20 август 2013 тикшерелгән.
  11. 11,0 11,1 11,2 Plofker, 2007, p. 428—434
  12. Joseph George G. The Crest of the Peacock — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000. — P. 285—286. — ISBN 0-691-00659-8..
  13. В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии.
  14. Plofker, 2007, p. 419—420
  15. Брахмагупта // Большой Энциклопедический словарь. 2000

Шулай уҡ ҡарағыҙ[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  • Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
  • Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
  • Юшкевич А. П. История математики в средние века — М.: Физматгиз, 1961.
  • Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
  • Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
  • История математики, т.1, М., 1970.
  • Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

Һылтанмалар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]