Пирамида (геометрия)

Алты мөйөшлө пирамида.

Пирами́да (бор. грек. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — ҡырҙарының береһе (нигеҙе тип аталған) — ирекле күпмөйөш, ә ҡалған ҡырҙары (эргә ҡырҙары тип аталған) — уртаҡ түбәһе булған өсмөйөштәр булған күпҡыр. Нигеҙенең мөйөштәре һаны буйынса пирамидалар өсмөйөшлө (тетраэдр), дүртмөйөшлө һ. б. булалар. Пирамида конустың айырым осрағы.

Геометрияла пирамиданың үҫеш тарихы

Пирамида геометрияһының башланғысы Боронғо Египтта һәм Вавилонда һалына, әммә Боронғо Грецияла әүҙем үҫеш ала. Пирамиданың күләме боронғо египетлыларға билдәле булған. Пирамиданың күләме нимәгә тигеҙ икәнен асыҡлаусы беренсе грек математигы Демокрит була, ә Евдокс Книдский иҫбатлай. Боронғо грек математигы Евклид пирамида тураһындағы белемдәрҙе үҙенең «Башланғыстарҙың» XII томында системалаштыра, шулай уҡ пирамиданың беренсе билдәләмәһен бирә: бер яҫылыҡтан бер нөктәлә тап килешкән яҫылыҡтар менән сикләнгән есемле фигура (XI китап, 12-се билдәләмә).

Пирамиданың элементтары

SO — бейеклек
SF — апофема
OF — нигеҙенә ҡамалған әйләнә радиусы

• апофема — төҙөк пирамиданың эргә ҡырының түбәһенән төшөрөлгән бейеклеге;
• Эргә ҡырҙары — түбәһендә тап булышҡан өсмөйөштәр;
• эргә ҡабырғалары — эргә ҡырҙарының уртаҡ яҡтары;
• пирамиданың түбәһе — эргә ҡабырғаларын тоташтырған һәм нигеҙе яҫылығында ятмаған нөктә;
• бейеклек — пирамиданың түбәһенән уның нигеҙе яҫылығына төшөрөлгән перпендикуляр киҫеге (был киҫектең остары булып пирамиданың түбәһе һәм перпендикулярҙың нигеҙе тора);
• пирамиданың диагональ киҫелеше — пирамиданың, уның түбәһе һәм нигеҙенең диагонале аша үтеүсе, киҫелеше атала;
• нигеҙ — пирамиданың түбәһе инмәгән күпмөйөш.

Пирамиданың йәйелмәһе

Төҙөк биш мөйөшлө пирамиданың йәйелмәһе:
1. нигеҙе яҫылығына («йондоҙ»)
2. эргә ҡырҙарының береһе яҫылығына

Йәйелмә тип, геометрик есем йөҙөн бер яҫылыҡ менән тап килтереп һалғанда (йөҙөнөң ҡырҙарын һәм башҡа элементтарын бер-береһенең өҫтөнә һалмайынса) барлыҡҡа килгән яҫы фигура атала. Йөҙөнөң йәйелмәһен өйрәнеү өсөн, уны һығылмалы, һуҙылмай торған плёнка итеп ҡарарға кәрәк. Ошолай күрһәтелгән йөҙҙәрҙең ҡайһы берҙәрен бөгөү юлы менән яҫылыҡ менән тап килтерергә мөмкин. Бында, әгәр йөҙҙөң бүлеген яҫылыҡ менән йыртмайынса һәм йәбештермәйенсә тап килтереп булһа, шундай йөҙҙө йәйелеүсе тип, ә килеп сыҡҡан яҫы фигураны — уның йәйелмәһе тип атайҙар.

Пирамиданың үҙсәнлектәре

Әгәр бөтә эргә ҡабырғалары тигеҙ булһа, ул саҡта:

• пирамиданың нигеҙен әйләнәгә ҡамарға мөмкин, шуның менән бергә пирамиданың түбәһе уның үҙәгенә проекциялана;
• эргә ҡабырғалары нигеҙе яҫылығы менән тигеҙ мөйөштәр яһайҙар;
• шулай уҡ киреһе лә дөрөҫ, йәғни әгәр эргә ҡабырғалары нигеҙе яҫылығы менән тигеҙ мөйөштәр яһаһа, йәки әгәр пирамиданың нигеҙен ҡамаусы әйләнә төҙөргә мөмкин булһа, шуның менән бергә пирамиданың түбәһе уның үҙәгенә проекцияланһа, ул саҡта пирамиданың бөтә эргә ҡабырғалары тигеҙ була.

Әгәр эргә ҡырҙары нигеҙенең яҫылығы менән бер үк мөйөштәр яһаһа, ул саҡта:

• пирамиданың нигеҙенә әйләнә ҡамарға мөмкин, шуның менән бергә пирамиданың түбәһе уның үҙәгенә проекциялана;
• эргә ҡырҙарының бейеклектәре тигеҙ;
• эргә йөҙөнөң майҙаны нигеҙенең периметры менән эргә ҡырының бейеклеге ҡабатландығының яртыһына тигеҙ.

Пирамиданы башҡа геометрик есемдәр менән бәйләүсе теоремалар

Төҙөк пирамида тирәләй сфера ҡамау:
SD — пирамиданың бейеклеге.
AD — нигеҙен ҡамаусы әйләнә радиусы.
В — эргә ҡыры ҡабырғаһының уртаһы
С — ҡабырғаларҙың уртаһы аша уларға перпендикуляр үткәрелгән яҫылыҡтарҙың киҫешеү нөктәһе.
AC=CS — пирамиданы ҡамаусы сфераның радиусы

Төҙөк пирамидаға ҡамалған сфера:
D — нигеҙенең үҙәге
SF — апофема
ASD — эргә ҡырҙары араһындағы биссектриса яҫылығы
BCE — нигеҙе һәм эргә ҡыры араһындағы биссектриса яҫылығы
С — бөтә биссектриса яҫылыҡтарының киҫешеү нөктәһе
CK=CD — пирамидаға ҡамалған сфера радиусы

Сфера

• пирамиданы сфераға ҡамап була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр пирамиданың нигеҙендә әйләнәгә ҡамап булған күпмөйөш ятһа (кәрәкле һәм етерлек шарт). Ҡабырғаларҙың уртаһы аша уларға перпендикуляр үткәрелгән яҫылыҡтарҙың киҫешеү нөктәһе сфераның үҙәге була. Был теореманан, теләһә ниндәй өсмөйөшлө пирамиданы һәм теләһә ниндәй төҙөк пирамиданы сфераға ҡамап була;
• әгәр пирамиданың эске ике ҡырлы мөйөштәренең биссектриса яҫылыҡтары бер нөктәлә киҫешһә, пирамидаға сфераны ҡамап була (кәрәкле һәм етерлек шарт). Был нөктә сфераның үҙәге була.

Конус

• Конус пирамидаға ҡамалған тип атала, әгәр уларҙың түбәләре тап килһә, ә уның нигеҙе пирамиданың нигеҙенә ҡамалған булһа. Шуның менән бергә конусты пирамидаға ҡамап була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр пирамиданың апофемалары үҙ-ара тигеҙ булһа (кәрәкле һәм етерлек шарт);
• Конус пирамиданы ҡамаусы тип атала, әгәр уларҙың түбәләре тап килһә, ә уның нигеҙе пирамиданың нигеҙен ҡамаған булһа. Шуның менән бергә конусҡа пирамиданы ҡамап була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр пирамиданың бөтә эргә ҡабырғалары тигеҙ булһа (кәрәкле һәм етерлек шарт);
• Бындай конустарҙың һәм пирамидаларҙың бейеклектәре тигеҙ була.

Цилиндр

• Цилиндр пирамидаға ҡамалған тип атала, әгәр уның бер нигеҙе пирамиданың нигеҙенә параллель яҫылыҡ менән киҫелешенә ҡамалған әйләнә менән тап килһә, ә икенсе нигеҙе пирамиданың нигеҙендә ятһа.
• Цилиндр пирамиданы ҡамаусы тип атала, әгәр пирамиданың түбәһе уның бер нигеҙендә ятһа, ә уның икенсе нигеҙе пирамиданың нигеҙен ҡамаусы булһа. Шуның менән бергә, пирамиданы цилиндрға ҡамап була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр пирамиданың нигеҙендә — ҡамалған күпмөйөш булһа (кәрәкле һәм етерлек шарт).

Пирамида менән бәйле формулалар

• Пирамиданың күләмен түбәндәге формула буйынса иҫәпләргә була:

$V={\frac {1}{3}}Sh,$

бында $\ S$ — нигеҙенең майҙаны һәм $\ h$ — бейеклек;

$V={\frac {1}{6}}V_{p},$

бында $\ V_{p}$ — параллелепипедтың күләме;

• Шулай уҡ өсмөйөшлө пирамиданың (тетраэдрҙың) күләмен түбәндәге формула буйынса иҫәпләргә була:

$V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,$

бында $a_{1},a_{2}$ — асамай ҡабырғалар , $d$ — $a_{1}$ һәм $a_{2}$ араһындағы алыҫлыҡ, $\varphi$ — $a_{1}$ һәм $a_{2}$ араһындағы мөйөш.

• Эргә йөҙө — ул эргә ҡырҙарының майҙандары суммаһы:

$S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}$

• Тулы йөҙө — ул эргә йөҙөнөң майҙаны менән нигеҙе майҙанының суммаһы:

$\ S_{p}=S_{b}+S_{o}$

• Төҙөк пирамиданың эргә йөҙөнөң майҙанын табыу өсөн түбәндәге формуланы ҡулланырға мөмкин:

$S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}sin\alpha$

бында $a$ — апофема , $\ P$ — нигеҙенең периметры, $\ n$ — нигеҙенең яҡтары һаны, $\ b$ — эргә ҡабырға, $\alpha$ — пирамиданың түбәһе янындағы яҫы мөйөшө.

Пирамиданың айырым осраҡтары

Төҙөк пирамида

Пирамида, әгәр уның нигеҙе төҙөк күпмөйөш булһа, ә түбәһе нигеҙенең үҙәгенә проекцияланһа, төҙөк пирамида тип атала. Ул саҡта ул түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә була:

• төҙөк пирамиданың эргә ҡабырғалары тигеҙ була;
• төҙөк пирамидала бөтә эргә ҡырҙары — конгруэнт тигеҙ эргәле өсмөйөштәр;
• теләһә ниндәй төҙөк пирамидаға сфера ҡамарға һәм уны ҡамаусы сфера төҙөргә мөмкин;
• әгәр ҡамалған һәм ҡамаусы сфераларҙың үҙәктәре тап килһә, пирамиданың түбәһе эргәһендәге яҫы мөйөштәренең суммаһы $\pi$ тигеҙ, ә уларҙың һәр береһе ярашлы рәүештә ${\frac {\pi }{n}}$ тигеҙ, бында n — нигеҙендәге күпмөйөштөң яҡтарының һаны;
• төҙөк пирамиданың эргә йөҙөнөң майҙаны нигеҙенең периметры менән апофема ҡабатландығының яртыһына тигеҙ.

Тура мөйөшлө пирамида

Пирамида, әгәр уның эргә ҡабырғаларының береһе нигеҙенә перпендикуляр булһа, тура мөйөшлө пирамида тип атала. Был осраҡта ошо ҡабырғаһы пирамиданың бейеклеге лә була.

Тетраэдр

Өсмөйөшлө пирамида тетраэдр тип атала. Тетраэдрҙа ҡырҙарының теләһә ҡайһыһы пирамиданың нигеҙе итеп ҡабул ителә ала. Бынан тыш, «төҙөк өсмөйөшлө пирамида» һәм «төҙөк тетраэдр» төшөнсәләре араһында ҙур айырма бар. Төҙөк өсмөйөшлө пирамида — ул нигеҙендә төҙөк өсмөйөш булған пирамида (эргә ҡырҙары тигеҙ эргәле өсмөйөштәр булырға тейеш). Төҙөк тетраэдр ул бөтә ҡырҙары ла тигеҙ яҡлы (төҙөк) өсмөйөштәр булған тетраэдр.

Әҙәбиәт

• Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
• Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.
• Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Усечённая пирамида
• Бипирамида

Һылтанмалар

• Бумажные модели пирамид 2010 йыл 4 ғинуар архивланған. (инг.)
• «Начала» Евклида 2011 йыл 9 ноябрь архивланған.