Тигеҙһеҙлек

Тигеҙһеҙлек
Тамғалау	знаки неравенства[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Ҡапма-ҡаршыһы	равенство[d]
Тигеҙһеҙлек Викимилектә

Тигеҙһеҙлек математикала — ике һанды йәки башҡа математик объектты түбәндә һанап кителгән тамғаларҙың береһе менән бәйләүсе бәйләнеш.

Ҡәтғи тигеҙһеҙлектәр

• $a<b$ — $a$ дәүмәле $b$-нан бәләкәй тигәнде аңлата.
• $a>b$ — $a$ дәүмәле $b$-нан ҙурыраҡ тигәнде аңлата.

$a>b$ һәм $b<a$ тигеҙһеҙлектәре тиң көслө. $>$ һәм $<$ тамғалары ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр; мәҫәлән, «тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрҙе» әйтеүе $<$ тамғаһы $>$ тамғаһына үҙгәрҙе тигәнде аңлата, йәки киреһенсә.

Ҡәтғи булмаған тигеҙһеҙлектәр

• $a\leqslant b$ — $a$ $b$-нан бәләкәй йәки тигеҙ тигәнде аңлата
• $a\geqslant b$ — $a$ $b$-нан ҙур йәки тигеҙ тигәнде аңлата

$\leqslant$ һәм $\geqslant$ тамғаларының урыҫ телендәге яҙылыш традицияһы сит илдә ҡабул ителгәндән айырыла, унда ғәҙәттә $\leq$ һәм $\geq$ тамғаларын ҡулланалар. $\leqslant$ һәм $\geqslant$ тамғалары тураһында шулай уҡ улар ҡапма-ҡаршы тип әйтәләр.

Тигеҙһеҙлектәрҙең башҡа типтары

• $a\neq b$ — $a$ $b$-ға тигеҙ түгел тигәнде аңлата.
• $a\gg b$ — $a$ дәүмәле $b$-нан күпкә ҙурыраҡ тигәнде аңлата.
• $a\ll b$ — $a$ дәүмәле $b$-нан күпкә бәләкәйерәк тигәнде аңлата.

Артабан был мәҡәләлә, әгәр иҫкәрмә яһалмаһа, тигеҙһеҙлек төшөнсәһе тәүге дүрт төргә ҡарай.

Элементар математикала һанлы тигеҙһеҙлектәрҙе өйрәнәләр. Дөйөм алгебрала, анализда, геометрияла һан булмаған объекттар араһындағы тигеҙһеҙлектәрҙе лә ҡарайҙар.

Бәйле билдәләмәләр

Бер үк тамғалы тигеҙһеҙлектәр бер исемлеләр тип аталалар (ҡайһы берҙә «бер мәғәнәле» йәки «бер төрлө мәғәнәле» терминдары ҡулланыла).

Бер нисә тигеҙһеҙлекте берәүгә берләштереүсе икеле һәм хатта күп тапҡырлы тигеҙһеҙлек рөхсәт ителә. Миҫал:

$a<b<c$ тигеҙһеҙлеге $a<b$ һәм $b<c$ тигеҙһеҙлектәр парының ҡыҫҡаса яҙылышы ул.

Һанлы тигеҙһеҙлектәр

Һанлы тигеҙһеҙлектәр ысын һандарҙан торалар (Комплекслы һандар өсөн ҙур-бәләкәй сағыштырыуы билдәләнмәгән) һәм шулай уҡ $(x,y,\dots ).$ үҙгәреүсәндәр символдары ла булырға мөмкин. Билдәһеҙ дәүмәлдәр ингән һанлы тигеҙһеҙлектәр, (тигеҙләмәләр кеүек) алгебраик һәм трансцендент төрҙәргә бүленәләр. Алгебраик тигеҙһеҙлектәр, үҙ сиратында, беренсе дәрәжә, икенсе дәрәжә һәм шулай артабан тигеҙһеҙлектәргә бүленәләр. Мәҫәлән, $18x<414$ тигеҙһеҙлеге — беренсе дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, $2x^{3}-7x+6>0$ тигеҙһеҙлеге — өсөнсө дәрәжә алгебраик тигеҙһеҙлек, $2^{x}>x+4$ тигеҙһеҙлеге— трансцендент тигеҙһеҙлек.

Үҙсәнлектәре

Һанлы тигеҙһеҙлектәрҙең үҙсәнлектәре ҡайһы бер яҡтан тигеҙләмәләрҙең үҙсәнлектәренә яҡын:

• Тигеҙһеҙлектең ике яғына ла бер үк һанды ҡушырға мөмкин.
• Тигеҙһеҙлектең ике яғынан да бер үк һанды алырға мөмкин. Эҙемтә: тигеҙләмәләге кеүек, тигеҙһеҙлектең теләһә ниндәй быуынын ҡапма-ҡаршы тамғаһы менән тигеҙһеҙлектең икенсе яғына сығарырға мөмкин. Мәҫәлән, $a+b<c$ тигеҙһеҙлегенән, $a<c-b$ тигеҙһеҙлеге килеп сыға.
• Тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк ыңғай һанға ҡабатларға мөмкин.
• Бер исемле тигеҙһеҙлектәрҙе быуын-быуынлап ҡушырға мөмкин: әгәр, мәҫәлән, $a<b$ һәм $c<d$ булһа, ул саҡта $a+b<c+d.$ Ҡапма-ҡаршы тамғалы тигеҙһеҙлектәрҙе оҡшаш рәүештә быуын-быуынлап алырға мөмкин.
• Әгәр ике тигеҙһеҙлектең бөтә дүрт өлөшө лә ыңғай булһа, ул саҡта тигеҙһеҙлектәрҙе ҡабатларға мөмкин.
• Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғы ла ыңғай булһа, уларҙы бер үк (натураль) дәрәжәгә күтәрергә мөмкин, шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙ буйынса логарифмларға мөмкин (әгәр логарифмдың нигеҙе 1-ҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртергә кәрәк).

Башҡа үҙсәнлектәре

• (Транзитивлыҡ) Әгәр $a<b$ һәм $b<c$ булһа, ул саҡта $a<c$ һәм ҡалған тамғалар өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.
• Әгәр тигеҙһеҙлектең ике яғын да бер үк тиҫкәре һанға ҡабатлаһаң, тигеҙһеҙлектең тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә: ҙурыраҡ бәләкәйерәккә, ҙур йәки тигеҙ бәләкәй йәки тигеҙгә һ. б.

Тигеҙһеҙлектәрҙе сығарыу

Әгәр тигеҙһеҙлеккә билдәһеҙ дәүмәл символы инһә, ул саҡта тигеҙһеҙлекте сығарыу, билдәһеҙҙең ниндәй ҡиммәттәрендә тигеҙһеҙлек үтәлә тигән һорауҙы асыҡлауҙы аңлата. Миҫалдар:

$x^{2}<4$ тигеҙһеҙлеге $-2<x<2$ булғанда үтәлә.

$x^{2}>4$ тигеҙһеҙлеге $x>2,$ йәки $x<-2$ булғанда үтәлә.

$x^{2}<-4$ тигеҙһеҙлеге бер ҡасан да үтәлмәй (сығарылышы юҡ).

$x^{2}>-4$ тигеҙһеҙлеге $x$-тың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә үтәлә (тождество).

Иғтибар: әгәр билдәһеҙ дәүмәл ингән тигеҙһеҙлекте йоп дәрәжәгә күтәрһәң, «артыҡ» сығарылыштар килеп сығырға мөмкин. Миҫал: әгәр $x>3$ тигеҙһеҙлеген квадратҡа күтәрһәң: $x^{2}>9,$, килеп сыҡҡан $x<-3,$ хата сығарылышы бирелгән тигеҙһеҙлекте ҡәнәғәтләндермәй. Шуға күрә шундай юл менән табылған бөтә сығарылыштарҙы бирелгән тигеҙһеҙлеккә ҡуйып ҡарау юлы менән тикшерергә кәрәк.

Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр

Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектең дөйөм форматы бар: $ax>b$ йәки $ax<b,$ бында $a\neq 0$ ($\geqslant$ һәм $\leqslant$ тамғалары менән эш оҡшаш). Уны сығарыу өсөн, тигеҙһеҙлекте $a$ һанына бүлегеҙ һәм, әгәр $a<0$ булһа, тигеҙһеҙлектең тамғаһын ҡапма-ҡаршыға үҙгәртегеҙ. Миҫал:

$5x-11>8x+1.$ Оҡшаш быуындарҙы берләштерәбеҙ: $-3x>12,$ йәки $x<-4.$

Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр системаһы

Әгәр бер үк билдәһеҙ берәүҙән күберәк тигеҙһеҙлеккә инһә, һәр тигеҙһеҙлекте айырым сығарырға кәрәк һәм аҙаҡ бөтәһе лә бер юлы үтәлергә тейеш булған был сығарылыштарҙы сағыштырырға кәрәк.

Миҫал 1. ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}$ системаһынан ике сығарылыш табабыҙ: беренсе тигеҙһеҙлек өсөн $x<2,$ икенсеһе өсөн: $x>{2 \over 3}.$ Уларҙы берләштереп, яуап табабыҙ: ${2 \over 3}<x<2.$

Миҫал 2. ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$ Сығарылыштары: $x<2$ һәм $x<{2 \over 3}.$ Икенсе сығарылыш беренсеһен йота, шулай итеп яуап: $x<{2 \over 3}.$

Миҫал 3. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$ Сығарылыштары: $x>2$ һәм $x<{2 \over 3},$ улар берләшә алмай, шуға күрә бирелгән системаның сығарылышы юҡ.

Икенсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр

Икенсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәрҙең (шулай уҡ квадрат тигеҙһеҙлек тип тә аталалар) дөйөм күренеше:

$x^{2}+px+q>0$ йәки $x^{2}+px+q<0.$

Әгәр $x^{2}+px+q=0$ квадрат тигеҙләмәһенең $x_{1},x_{2},$ ысын тамырҙары булһа,тигеҙһеҙлектәрҙе ярашлы рәүештә түбәндәге күренешкә килтерергә мөмкин:

$(x-x_{1})(x-x_{2})>0$ йәки $(x-x_{1})(x-x_{2})<0.$

Беренсе осраҡта $x-x_{1}$ һәм $x-x_{2}$ бер төрлө тамғалы булырға тейешд, икенсе осраҡта — төрлө. Һуңғы яуапты табыу өсөн түбәндәге ябай ҡағиҙәне ҡулланырға кәрәк.

Төрлө ысын тамыры булған $x^{2}+px+q$ квадрат өсбыуын тамырҙар араһындағы интервалда тиҫкәре һәм был интервалдан тышта ыңғай.

Әгәр $x^{2}+px+q=0$ тигеҙләмәһенең ысын тамырҙары булмаһа, уның һул яғы $x$-тың бөтә ҡиммәттәрендә лә бер үк тамғалы. Шуға күрә бирелгән икенсе дәрәжә тигеҙһеҙлек йә тождество булып тора, йәки сығарылышы юҡ (түбәндәге миҫалдарҙы ҡарағыҙ).

Миҫал 1. $-2x^{2}+14x-20>0.$ Тигеҙһеҙлекте $-2$-гә бүлеп, $x^{2}-7x+10<0$ күренешенә килтерәбеҙ. $x^{2}-7x+10=0$ квадрат тигеҙләмәһен сығарып, $x_{1}=2;x_{2}=5$ тамырҙарын табабыҙ, шуға күрә бирелгән тигеҙһеҙлек $(x-2)(x-5)<0$ тигеҙһеҙлеге менән тиң көслө. Юғарыла килтерелгән ҡағиҙә буйынса, $2<x<5,$ ошо яуап була ла инде.

Миҫал 2. $-2x^{2}+14x-20<0.$ Оҡшаш рәүештә $x-2$ һәм $x-5$ бер төрлө тамғалы булыуын табабыҙ, йәғни, ҡағиҙә буйынса, йә $x<2,$ йәки $x>5.$

Миҫал 3. $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ тигеҙләмәһенең ысын тамырҙары юҡ, шуға күрә уның һул яғы $x$-тың бөтә ҡиммәттәрендә лә бер үк тамғалы. $x=0$ булғанда һул яғы ыңғай, шуға күрә бирелгән тигеҙһеҙлек тождество ($x$-тың бөтә ҡиммәттәрендә лә дөрөҫ).

Миҫал 4. $x^{2}+6x+15<0.$ Алдағы миҫалдағы кеүек, бында һул яғы һәр ваҡыт ыңғай, шуға күрә тигеҙһеҙлектең сығарылышы юҡ.

Оҡшаш рәүештә, ҡабатлашыусыларға тарҡатып, юғары дәрәжәләге тигеҙһеҙлектәрҙе лә сығарырға мөмкин. Икенсе ысул — һул яғының графигын төҙөргә һәм, төрлө интервалдарҙа ниндәй тамғалы икәнен асыҡларға кәрәк.

Ҡайһы бер билдәле тигеҙһеҙлектәр

Түбәндә, әгәр үҙгәреүсәндәр күрһәтелгән сиктәргә инһә тождестволы үтәлгән, практик яҡтан файҙалы тигеҙһеҙлектәр килтерелгән.

• $a+{1 \over a}\geqslant 2,$ бында $a>0.$ Тигеҙлек тик $a=1$ булғанда ғына үтәлә.
• ${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ бында $a,b>0.$ Мәғәнәһе: ике һандың урта геометригы уларҙың урта арифметигынан ҙур түгел. Тигеҙлек тик $a=b$ булғанда ғына үтәлә.
• Бернулли тигеҙһеҙлеге:

$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,$ бында $x\geqslant -1,n$ — натураль һан.

• Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге.
• Өсмөйөш тигеҙһеҙлеге:

$|a+b|\leqslant |a|+|b|$

Был тигеҙһеҙлектең эҙемтәләрен Абсолют дәүмәл мәҡәләһендә ҡарағыҙ.

Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары

«Тигеҙ түгел» символы төрлө программалау телдәрендә төрлөсә һүрәтләнә.

Символ	Телдәр
!=	C, Java, PHP, Python
<>	Basic, Pascal
≈	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Тигеҙһеҙлек тамғалары кодтары

Символ	Һүрәтләнеше	Юникод		Башҡортса исеме	HTML			LaTeX
		Код	Название		Шестнадцатеричное	Десятеричное	Мнемоника
<	$<$	U+003C	Ҡалып:Sc	Бәләкәй	&#x3C;	&#60;	&lt;	<, \textless
>	$>$	U+003E	Ҡалып:Sc	Ҙур	&#x3E;	&#62;	&gt;	>, \textgreater
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Ҡалып:Sc	Бәләкәй йәки тигеҙ	&#x2A7D;	&#10877;	отсутствует	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Ҡалып:Sc	Ҙур йәки тигеҙ	&#x2A7E;	&#10878;	отсутствует	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Ҡалып:Sc	Бәләкәй йәки тигеҙ	&#x2264;	&#8804;	&le;	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Ҡалып:Sc	Ҙур йәки тигеҙ	&#x2265;	&#8805;	&ge;	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Ҡалып:Sc	Күпкә бәләкәй	&#x226A;	&#8810;		\ll
≫	$\gg$	U+226B	Ҡалып:Sc	Күпкә ҙур	&#x226B;	&#8811;		\gg

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Сравнение (программирование)

Әҙәбиәт

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.