Оҡшашлыҡ

Оҡшашлыҡ
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Ҡапма-ҡаршыһы	разница[d]
Оҡшашлыҡ Викимилектә

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Оҡшашлыҡ — теләһә ниндәй ике $A$, $B$ нөктәләре һәм уларҙың образдары $A'$, $B'$ һәм оҡшашлыҡ коэффициенты тип аталған ниндәйҙер $k\neq 0$ һаны өсөн $|A'B'|=k\cdot |AB|$ нисбәте үтәлгән Евклид арауығын үҙгәртеү ул.

Тарихы

Оҡшаш фигуралар Боронғо Грецияла беҙҙең эраға тиклем V—IV быуаттарҙа ҡаралған; улар Гиппократ Хиосский, Архит Тарентский, Евдокс Книдский хеҙмәттәрендә һәм Евклидтың «Башланғыстар»ының VI китабында осрай.

Миҫалдар

• Теләһә ниндәй гомотетия оҡшашлыҡ була.
• Теләһә ниндәй хәрәкәтте (шул иҫәптән тождестволы) шулай уҡ $k=1$ коэффициенты менән оҡшашлыҡ үҙгәртеүе тип ҡарарға була.

Бәйле билдәләмәләр

• Әгәр $F\mapsto F'$ булған оҡшашлыҡ үҙгәртеүе булһа, $F$ фигураһы $F'$ фигураһына оҡшаш тип атала.
  • Фигураларҙың оҡшашлығы эквивалентлылыҡ бәйләнеше була.
  • Оҡшашлыҡты тамғалау өсөн $\sim$ — тамғаһы ҡулланыла, $F$ һәм $F'$ фигуралары оҡшаш тигәнде $F\sim F'$ тип яҙып була.

Метод подобия

Фигуралар оҡшашлығы бик күп төҙөүгә мәсьәләләр эшләүгә ярҙам итә.

Оҡшашлыҡ методы шунан тора, мәсьәләләге ҡайһы бер бирелештәр буйынса тәүҙә эҙләнгән фигураға оҡшаш фигура төҙөйҙәр, ә аҙаҡ эҙләнгән фигураға күсәләр. Был метод, бер генә бирелгән дәүмәл оҙонлоҡ, ә ҡалғандары — йәки мөйөштәр, йәки киҫектәр сағыштырмаһы булған осраҡта бигерәк тә уңайлы.

Оҡшашлыҡ методына мәсьәләнең классик миҫалы булып, бирелгән мөйөштөң ике яғына тейеүсе һәм бирелгән нөктә аша үтеүсе әйләнә төҙөү тора

Үҙсәнлектәре

• Оҡшашлыҡ Евклид арауығын үҙенә үҙ-ара бер мәғәнәле сағыштырыу була.
• Оҡшашлыҡ яҫылыҡты аффинналы үҙгәртеү була.
• Оҡшашлыҡ тура һыҙыҡта нөктәләрҙең урынлашыу тәртибен һаҡлай, йәғни әгәр $B$ нөктәһе $A$ һәм $C$ нөктәләре араһында ятһа һәм $B'$, $A'$, $C'$ — ниндәйҙер оҡшашлыҡта уларҙың ярашлы образдары булһа, ул саҡта $B'$ нөктәһе шулай уҡ $A'$ һәм $C'$ нөктәләре араһында ята.
• Бер тура һыҙыҡта ятмаған нөктәләр, теләһә ниндәй оҡшашлыҡта, бер тура һыҙыҡта ятмаған нөктәләргә күсәләр.
• Оҡшашлыҡ тура һыҙыҡты тура һыҙыҡҡа, киҫекте киҫеккә, нурҙы нурға, мөйөштө мөйөшкә, әйләнәне әйләнәгә күсерә.
• Оҡшашлыҡ кәкере һыҙыҡтар араһындағы мөйөш дәүмәлен һаҡлай.
• Коэффициенты $k\not =1$ булған оҡшашлыҡ, теләһә ниндәй тура һыҙыҡты уға параллель булған тура һыҙыҡҡа сағылдыра, $k$ йәки $-k$ коэффициенты менән гомотетия була.
  • Һәр оҡшашлыҡты $D$ хәрәкәте менән ниндәйҙер ыңғай коэффициентлы $\Gamma$ гомотетияның композицияһы итеп ҡарарға була.
  • Оҡшашлыҡ үҙ (үҙ түгел) тип атала, әгәр $D$ хәрәкәте үҙ (үҙ түгел) булһа. Үҙ оҡшашлыҡ фигураларҙың ориентацияһын һаҡлай, ә үҙ булмағаны — ориентацияны ҡапма-ҡаршыға үҙгәртә.
• Ике өсмөйөш оҡшаш була, әгәр
  • уларҙың ярашлы мөйөштәре тигеҙ булһа, йәки
  • яҡтары пропорциональ булһа. Шулай уҡ ҡарағыҙ Өсмөйөштәрҙең оҡшашлыҡ билдәләре.
• Оҡшаш фигураларҙың майҙандарының сағыштырмаһы уларҙың оҡшаш һыҙыҡтарының (мәҫәлән, яҡтарының) квадраттарына пропорциональ. Шулай, түңәрәктәрҙең майҙандары уларҙың радиустары квадраттары сағыштырмаһына пропорциональ.

Дөйөмләштереү

3-үлсәмле Евклид арауығында оҡшашлыҡ шулай уҡ билдәләнә ( юғарыла һынап кителгән үҙсәнлектәре һаҡлана), һәм шулай уҡ n-үлсәмле Евклид һәм псевдоевклид арауығында.

Үлсәмле арауыҡтарҙа, $n$-үлсәмле Риманов, псевдориманов һәм Финслер арауыҡтарындағы кеүек, оҡшашлыҡ арауыҡтың үлсәмен үҙ-үҙенә даими ҡабатлашыусыға тиклем аныҡлыҡ менән күсереүсе үҙгәртеү һымаҡ билдәләнә.

n-үлсәмле Евклид, псевдоевклид, Риманов, псевдориманов йәки Финслер арауыҡтарының бөтә оҡшашлыҡтары йыйылмаһы, ярашлы арауыҡтың оҡшашлыҡ (гомотетик) үҙгәртеүҙәр төркөмө тип аталған, $r$-быуынлы Ли үҙгәртеүҙәре төркөмөн төҙөй. Күрһәтелгән типтағы һәр арауыҡта $r$-быуынлы Ли оҡшашлыҡ үҙгәртеүҙәре төркөмөндә хәрәкәттәрҙең $(r-1)$-быуынлы нормаль аҫтөркөмө бар.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Өсмөйөштәрҙең оҡшашлыҡ билдәләре
• Конгруэнтлыҡ (геометрия)
• Конформлы сағылыш
• Симметрия
• Үҙоҡшашлыҡ

Һылтанмалар

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)