Яҫылыҡ

Яҫылыҡ
Ҡайҙа өйрәнелә	стереометрия[d]
Закон йәки теорема формулаһы	$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0$
Обозначение в формуле	$\mathbf {n}$ һәм $\mathbf {r} _{0}$
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Яҫылыҡ Викимилектә

Ике киҫешеүсе яҫылыҡ

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре

• Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
• Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
• Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
• Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

Яҫылыҡ һәм уның ике нормаль векторы: n₁ и n₂

Яҫылыҡ тигеҙләмәһе

Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

• Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

бында $A,B,C$ һәм $D$ — һандар, шуның менән бергә $A,B$ һәм $C$ бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$

бында $\mathbf {r}$ — $M(x,y,z)$ нөктәһенең радиус-векторы, $\mathbf {N} =(A,B,C)$ векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор). $\mathbf {N}$ векторының йүнәлтеүсе косинустары:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала. $D=0$ булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә, $A=0$ (йәки $B=0$, $C=0$) булһа яҫылыҡ $Ox$ (ярашлы рәүештә $Oy$ йәки $Oz$) күсәренә параллель була. Әгәр $A=B=0$ ($A=C=0$, йәки $B=C=0$) булһа, яҫылыҡ $Oxy$ (ярашлы рәүештә $Oxz$ йәки $Oyz$) яҫылығына параллель була.

• Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

бында $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — яҫылыҡ тарафынан $Ox,Oy$ һәм $Oz$ күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

• $\mathbf {N} (A,B,C)$ нормаль векторға перпендикуляр булған, $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

векторлы формала:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс $M(x_{i},y_{i},z_{i})$ нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0$

(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$

векторлы формала:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$

бында $\mathbf {N^{0}}$- берәмек вектор, $p$ — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

($\mu$ һәм $D$ тамғалары ҡапма-ҡаршы).

Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә

Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

$r_{0}$ — яҫылыҡта бирелгән $P_{0}$ нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы $P$ нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $P_{0}$ нөктәһенән $P$ нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$ (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)

Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:

$n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,$

был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

Мәҫәлән: Бирелә: яҫылыҡта ятҡан $P(2,6,-3)$ нөктәһе һәм нормаль вектор $N(9,5,2)$.

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.

• $(2)$ нормалаштырылған тигеҙләмә:

$\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;$

менән бирелгән яҫылыҡтан $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ нөктәһенең тайпылышы

$\delta >0$,әгәр $M_{1}$ һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта $\delta <0$. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $|\delta |$ тигеҙ.

• $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ нөктәһенән $ax+by+cz+d=0$ тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $\rho$ түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:

$\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ

• $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ һәм $Ax+By+Cz+D_{2}=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

$d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

• ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0$ һәм ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

$d={\frac {\mid [{\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},{\bar {n}}]\mid }{\mid {\bar {n}}\mid }}$

Өс һәм әҙерәк яҫылыҡтарҙың үҙ-ара торошо осраҡтары. Айырып әйткәндә, 4 тип — ике яҫылыҡ киҫешә, 11 тип — E₃ яҫылығы E₁ һәм E₂ яҫылыҡтарының киҫешеү һыҙығы аша үтә, 12 тип — өс яҫылыҡ бер нөктәлә киҫешә

Бәйле төшөнсәләр

• Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта

$\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};$

Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта

$\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.$

• Яҫылыҡтар параллель, әгәр

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$ йәки $[\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0$ булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр

$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$ йәки $(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0$ булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә^:222:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,$

бында $\alpha$ һәм $\beta$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.

• Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар^:224. Яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,$

бында $\alpha$, $\beta$ һәм $\gamma$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

$R^{n}$ арауығында m-яҫылыҡ

Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ $K^{n}(V,P)$ бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән $\alpha$ нөктәләр күмәклеге атала: $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{nm}$ — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй, ${\vec {t}}$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\vec {d}}$ — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+...+{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V$ — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
${\vec {a_{i}}}$ векторҙары йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ $\alpha ,\beta$ параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм $\exists x\in \alpha :x\notin \beta$.

(n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар. ${\vec {n}}$ — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти. ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\vec {r_{0}}}$ — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$ — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе.
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин: $\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$, йәки:
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0$.
Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала.

m-яҫылыҡтарға миҫалдар

1. Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә: $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$. n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
2. Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Тура һыҙыҡ
• Сагитталь яҫылыҡ
• Ярымяҫылыҡ
• Арауыҡ

Әҙәбиәт

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Һылтанмалар

• Викимилектә Яҫылыҡ темаһы буйынса медиафайлдар бар.