Ялан (алгебра)

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Ялан.

Ялан дөйөм алгебрала — элементтары өсөн ҡушыу, ҡапма-ҡаршы ҡиммәтте алыу, ҡабатлау һәм бүлеү (нулгә бүлеүҙән башҡа) операциялары билдәләнгән күмәклек, шуның менән бергә был операцияларҙың үҙсәнлектәре ғәҙәттәге һанлы операцияларҙың үҙсәнлектәренә яҡын. Иң ябай ялан булып рациональ һандар (кәсерҙәр) яланы тора. Ялан операцияларының атамалары арифметиканан алынған булһа ла, яландың элементтары мотлаҡ һандар түгел икәнен белеп ҡуйырға кәрәк, операцияларҙың билдәләмәләре лә арифметиктан алыҫ булырға мөмкин.

Ялан — яландар теорияһының төп өйрәнеү темаһы. Рациональ, ысын, комплекслы һандар, бирелгән ябай һандың модуль буйынса вычеттары ялан төҙөйҙәр^[⇨].

Тарихы

Ялан төшөнсәһе сиктәрендә 1830 йылда уҡ асыҡтан-асыҡ булмаһа ла Галуа эшләгән, яланды алгебраик киңәйтеү идеяһын ҡулланып, бер үҙгәреүсәнле тигеҙләмәне радикалдарҙа сығарыу мөмкин булһын өсөн кәрәкле һәм етерлек шартты таба ала. Аҙағыраҡ Галуа теорияһы ярҙамында түңәрәк квадратураһы, мөйөш трисекцияһы һәм кубты икеләтеү кеүек классик мәсьәләләрҙе сығарыу мөмкин булмауы иҫбат ителә. Ялан төшөнсәһен асыҡтан асыҡ Дедекинд индергән тип иҫәпләнә (иң башта «рациональ өлкә» исеме аҫтында, «ялан» термины 1871 йылда индерелә). Ғәҙәттәге һандарға бөтә дөйөм алгебраик абстракцияларҙан иң яҡыны булараҡ, ялан һыҙыҡлы алгебрала скаляр төшөнсәһен универсаллаштырыусы структура булараҡ ҡулланыла,һәм һыҙыҡлы алгебраның төп структураһы — һыҙыҡлы арауыҡ — ирекле яланда конструкция һымаҡ билдәләнә. Шулай уҡ яландар теорияһы һиҙелерлек дәрәжәлә алгебраик геометрия һәм алгебраик һандар теорияһы кеүек бүлектәрҙең инструменталь нигеҙен төҙөй.

Формаль билдәләмәләр

$F$ күмәклегендә алгебра, ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлыҡ үҙсәнлеге үтәлгәндәге, ${\boldsymbol {0}}$ нейтраль элемент менән $F$ күмәклегендә $+$ буйынса коммутатив төркөм һәм нулдән айырмалы $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$ элементтар өҫтөндә ҡабатлау буйыса коммутатив төркөм төҙөүсе.

Юғарыла килтерелгән билдәләмәне асыҡлағанда, $F$ күмәклеге унда индерелгән $+$ ҡушыу һәм $*$ ҡабатлау алгебраик операциялары менән ( $+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F$ , йәғни $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$ ) $\left\langle F,+,*\right\rangle$ яланы тип атала, әгәр түбәндәге аксиомалар үтәлһә:

Ҡушыуҙың коммутативлығы: $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$ .
Ҡушыуҙың ассоциативлығы: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$ .
Нуль элементтың булыуы: $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+a=a$ .
Ҡапма-ҡаршы элементтың булыуы: $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}$ .
Ҡабатлауҙың коммутативлығы: $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$ .
Ҡабатлауҙың ассоциативлығы: $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$ .
Берәмек элементтың булыуы: $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$ .
Нулдән айырмалы элементтар өсөн кире элементтың булыуы: $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$ .
Ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлығы: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$ .

1—4 аксиомалар ҡушыу $+$ буйынса коммутатив төркөмдөң $F$ билдәләмәһенә тап киләләр, 5—8 аксиомалар ҡабатлау $*$ буйынса коммутатив төркөм $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$ билдәләмәһенә тап киләләр, ә 9 аксиома ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларын дистрибутив закон менән бәйләй.

1-7 һәм 9 аксиомалар — берәмек менән коммутатив ҡулсаның билдәләмәһе.

Ҡабатлауҙың коммутативлыҡ аксиомаһын алып ташлап, есем билдәләмәһен алабыҙ.

Башҡа структуралар менән бәйле (һуңғараҡ тарихи барлыҡҡа килгән) ялан есем булып торған коммутатив ҡулса һымаҡ билдәләнергә мөмкин. Структуралар иерархияһы түбәндәгесә:

Коммутатив ҡулсалар ⊃ Бөтөнлөк өлкәһе ⊃ Факториаль ҡулсалар ⊃ төп идеалдар өлкәһе ⊃ Евклид ҡулсалары ⊃ Яландар.

Бәйле билдәләмәләр

Яландар өҫтөндә тәбиғи рәүештә төп дөйөм алгебраик билдәләмәләр индереләләр: аҫялан тип төп яландан операцияларҙы уға сикләүгә ҡарата үҙе ялан булып торған аҫкүмәклек, киңәйеүе — бирелгән яланды аҫялан сифатында тотоусы ялан.

Яландарҙың гомоморфизмы шулай уҡ тәбиғи рәүештә индерелә: $f(a+b)=f(a)+f(b)$ , $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ һәм $f(1)=1$ тигеҙлектәре үтәлгән $f$ сағылышы итеп. Атап әйткәндә, гомоморфизмда бер ниндәй әйләндерелмәле элемент нулгә күсә алмай, сөнки $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$ , ошонан сығып, яландарҙың теләһә ниндәй гомоморфизмы ядроһы нуль, йәғни яландар гомоморфизмы ҡушымта була.

Ялан характеристикаһы — ҡулса характеристикаһы кеүек үк, берәмектең $n$ күсермәһенең суммаһы нулгә тигеҙ булған иң бәләкәй ыңғай бөтөн һан $n$ :

\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.

Әгәр ундай һан булмаһа, ул саҡта характеристика нулгә тигеҙ тип иҫәпләнә. Характеристиканы асыҡлау мәсьәләһен ғәҙәттә, теләһә ниндәй яландың теүәл бер аҫяланы бар тигән факт сәбәпле, ябай ялан төшөнсәһен файҙаланып хәл итәләр — ябай ялан ул үҙенең аҫяландары булмаған ялан.

Галуа яланы — сикле һандағы элементтарҙан тоған ялан. Уларҙы беренсе тикшереүсе Эварист Галуа хөрмәтенә аталған.

Үҙсәнлектәре

Яландың характеристикаһы һәр ваҡыт $0$ $0$ йәки ябай һан.
- $0$ характеристикалы яландың рациональ һандар $\mathbb {Q}$ яланына изоморфлы аҫяланы бар.
- Ябай $p$ характеристикалы яландың вычеттар яланына $\mathbb {Z} _{p}$ изоморфлы аҫяланы бар.
Сикле яланда элементтар һаны һәр ваҡыт $p^{n}$ $p^{n}$ — ябай һандың дәрәжәһенә тигеҙ.
- Шуның менән бергә $p^{n}$ күренешендәге теләһә ниндәй һан өсөн берҙән бер (изоморфизмға тиклем теүәллек менән) $p^{n}$ элементтан торған ялан бар, ғәҙәттә $\mathbb {F} _{p^{n}}$ тип тамғалана.
Яланда нулдең бүлеүселәре юҡ.
Яландың мультипликатив төркөмөнөң теләһә ниндәй сикле аҫтөркөмө циклик аҫтөркөм була. Атап әйткәндә, сикле $\mathbb {F} _{q}$ яланының нулдән айырмалы элементтарының мультипликатив төркөмө $\mathbb {Z} _{q-1}$ гә изоморфлы.
Алгебраик геометрия күҙлегенән ҡарағанда, яландар — нөктәләр, сөнки уларҙың спектры теүәл бер нөктәнән — идеалдан {0} тора. Ысынлап та, яландың башҡа үҙенең идеалдары юҡ: әгәр идеалға нулдән айырмалы элемент инһә, ул саҡта идеалға бөтә уға тапҡырлы элементтар ҙа инә, йәғни бөтә ялан. Киреһенсә, ялан булмаған коммутатив ҡулсаға, әйләндерелмәле булмаған (һәм нулдән айырмалы) a элементы инә. Ул саҡта a барлыҡҡа килтергән төп идеал бөтә ҡулса менән тап килмәй һәм ниндәйҙер максималь (тимәк ябай) идеалға инә, тимәк был ҡулсаның спектрына иң кәме ике нөктә инә.

Яландарға миҫалдар

0-гә тигеҙ характеристикалы яландар

$\mathbb {Q}$ — рациональ һандар,
$\mathbb {R}$ — ысын һандар,
$\mathbb {C}$ — комплекслы һандар,
$\mathbb {A}$ — рациональ һандар яланында алгебраик һандар ( $\mathbb {C}$ яланында аҫялан).
$a+b{\sqrt {2}}$ күренешендәге һандар, $a,b\in \mathbb {Q}$ , ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата. Был $\mathbb {R}$ -ҙа аҫялан төҙөгән квадратик яландың миҫалдарының береһе.
$\mathbb {F} (x)$ — $f(x)/g(x)$ күренешендәге рациональ функциялар яланы, бында $f$ һәм $g$ — ниндәйҙер $\mathbb {F}$ яланы өҫтөндә күпбыуындар (шуның менән бергә $g\neq 0$ , ә $f$ һәм $g$ константтан башҡа уртаҡ бүлеүселәре юҡ).

Нулдән айырмалы характеристикалы яландар

Теләһә ниндәй сикле яландың характеристикаһы нулдән айырмалы һан. Сикле яланға миҫалдар:

$\mathbb {Z} _{p}$ — $p$ модуле буйынса вычеттар яланы, бында $p$ — ябай һан.
$\mathbb {F} _{q}$ — $q=p^{k}$ элементтан торған сикле ялан, бында $p$ — ябай һан, $k$ — натураль һан. Бөтә сикле яландар шундай күренештә.

Нулдән айырмалы характеристикалы сикһеҙ яланға миҫалдар бар.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Алгебраики йомоҡ ялан

Әҙәбиәт

Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-4781-3.
Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». Bulletin des Sciences mathématiques XIII: 428.

Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.