Алгебраик геометрия

Геометрик алгебра менән бутамаҫҡа

Тольятти йөҙө — бишенсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелгән алгебраик йөҙ. Итальян математигы Эудженио Тольятти хөрмәтенә аталған.

Алгебраик геометрия (рус. Алгебраическая геометрия) — математиканың алгебраны һәм геометрияны берләштергән бүлеге. Классик алгебраик геометрияның, шулай уҡ киң мәғәнәлә хәҙерге заман алгебраик геометрияның төп өйрәнеү предметы булып алгебраик тигеҙләмәләр системаларының сығарылыштары күмәклеге тора. Хәҙерге заман алгебраик геометрия геометрияла барлыҡҡа килгән мәсьәләләрҙе хәл итеү өсөн башлыса дөйөм алгебра (бигерәк тә коммутатив алгебра) ысулдарына таяна.

Алгебраик геометрияның төп өйрәнеү объекты — алгебраик күп төрлөлөктәр, йәғни алгебраик тигеҙләмәләр системаларының сығарылыштары күмәклеге булараҡ бирелгән геометрик объекттар.

Алгебраик кәкреләр: тура һыҙыҡтар, конус киҫелештәре, кубиктар (эллиптик кәкре кеүектәр) һәм юғарыраҡ тәртиптәге кәкреләр (ундай кәкреләргә миҫалдар — лемнискаталар) иң яҡшы өйрәнелгәндәр. Алгебраик кәкре һыҙыҡтар теорияһының төп һорауҙары кәкре һыҙыҡтағы үҙенсәлекле нөктәләр йәки бөгөлөү нөктәһе кеүек «махсус» нөктәләрҙе өйрәнеүгә ҡағыла. Алға киткән һорауҙар кәкре һыҙыҡ топологияһына һәм дифференциаль тигеҙләмәләр менән бирелгән кәкре һыҙыҡтар араһындағы мөнәсәбәттәргә ҡағыла.

Хәҙерге заман алгебраик геометрия математиканың комплекслы анализ, топология йәки һандар теорияһы кеүек төрлө өлкәләре менән бик күп үҙ-ара бәйләнештәр тота. Аныҡ бер нисә үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләр системаһын өйрәнеү ирекле алгебраик тигеҙләмәләр системаһы сығарылыштары күмәклегенең дөйөм эске үҙенсәлектәрен тикшереүҙең мөһимлеген аңлауға, һөҙөмтәлә, математиканың күп кенә бүлектәрендә тәрән һөҙөмтәләргә килтерә.

XX быуатта алгебраик геометрия бер нисә (үҙ-ара бәйле) дисциплинаға бүленә:

• Алгебраик геометрияның төп йүнәлеше — алгебраик йомоҡ ялан өҫтөндә (айырым алғанда, комплекслы һандар яланы өҫтөндә) алгебраик күп төрлөлөктәрҙең үҙсәнлектәрен өйрәнеү.
• алгебраик һанлы ялан өҫтөндө (йәки хатта ҡулса өҫтөндә) алгебраик күп төрлөлөктәрҙе — алгебраик һандар теорияһының бүлеге булған арифметик (йәки Диофант) геометрияһының предметын өйрәнеү.
• Комплекслы күп төрлөлөктөң ысын нөктәләрен өйрәнеү менән ысын алгебраик геометрия шөғөлләнә.
• Үҙенсәлектәр теорияһының күп өлөшө алгебраик күп төрлөлөк үҙсәлектәрен өйрәнеүгә ҡарай.
• Иҫәпләү алгебраик геометрияһы алгебраик геометрияның һәм компьютер алгебраһының киҫелешендә ята. Уның төп бурысы — асыҡтан-асыҡ бирелгән алгебраик күп төрлөлөк үҙсәлектәрен өйрәнеү өсөн алгоритмдар һәм программа тәьминәтен эшләү.

XX быуаттың алгебраик геометрияһында тикшеренеүҙең төп ағымы, күп төрлөлөктө билдәле бер арауыҡҡа һалыуҙың тәғәйен ысулына бәйле булмаған, алгебраик күп төрлөлөктәрҙең «эске» үҙсәлектәренә баҫым яһап, дөйөм алгебра төшөнсәләрен әүҙем файҙаланып бара. Уның төп ҡаҙанышы булып шәлкемдәр теорияһын алгебраик күп төрлөлөктәрҙе, дифференциацияланыусы һәм комплекслы күп төрлөлөктө өйрәнеүгә оҡшаш ысулдар менән тикшереүгә ҡулланырға мөмкинлек биреүсе, Александр Гротендиктың схемалар теорияһы тора.

Был нөктә төшөнсәһенең киңәйеүенә килтерә: классик алгебраик геометрияла аффин төрлөлөгө нөктәһен координаталар ҡулсаһының максималь идеалы итеп билдәләргә мөмкин була, ә тейешле аффин схемаһының бөтә нөктәләре был ҡулсаның ябай идеалдары булып тора. Бындай схеманың нөктәһен ҡәҙимге нөктә кеүек тә, аҫ күп төрлөлөк итеп тә ҡарарға мөмкин, был классик алгебраик геометрияның телен һәм ҡоралдарын унификацияларға булышлыҡ итә. [Уайлс Эндрю Джон тарафынан Ферманың бөйөк теоремаһын иҫбатлау бындай ҡараш ҡеүәтенең сағыу миҫалдарының береһе булып тора.

Төп төшөнсәләр

Аффин күп төрлөлөктәре

Иң элек төп ялан k-ны билдәләргә кәрәк. Классик алгебраик геометрияла, ғәҙәттә, комплекслы һандар яланы файҙаланыла, әммә күп кенә һөҙөмтәләр теләһә ниндәй алгебраик йомоҡ ялан өсөн дөрөҫ булып ҡала (артабан алгебраик йомоҡлоҡ күҙ уңында тотоласаҡ). n-үлсәмле $\mathbb {A} ^{n}$ аффин арауығын ҡарайыҡ. (k өҫтөндә векторлы арауыҡты ҡарамауҙың сәбәбе, күптөрлөлөк үҙсәлектренең вектор арауығы структураһына бәйле булмауын һыҙыҡ өҫтөнә алыу. Төп арауыҡ элементтары вектор булараҡ түгел, ә нөктә булараҡ ҡарала). Аффин арауығында берәй базис алабыҙ (атап әйткәндә, координаталарҙың башын һайлайбыҙ). Ул саҡта k[x₁,…,x_n] ҡулсаһынан һәр S күпбыуындар ғаиләһенә координаталары түбәндәге күмәклектән бөтә күпбыуындарҙы ҡәнәғәтләндергән V(S) нөктәләр күмәклеген ярашлы ҡуйып була:

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\,|\,\forall p\in S:p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}.$

Ысынында иһә, функцияның полиномиаль булыу үҙенсәлеге базис һайлауға бәйле түгел, шуға күрә $\mathbb {A} ^{n}$ аффин арауығында тик полиномиаль функциялар һәм ошондай функциялар ғаиләһенең уртаҡ нулдәре күмәклеге тураһында һүҙ алып барырға мөмкин. V(S) күренешендә күрһәтеп булған күмәклектәр алгебраик күмәклектәр тип аталалар.

U аффин арауығының теләһә ниндәй аҫкүмәклегенә был күмәклектең бөтә нөктәләрендә нулгә тигеҙ булған I(U) күпбыуындар күмәклеген ярашлы ҡуйып була. Был күмәклек күпбыуындар ҡулсаһында идеал булыуын тикшереү ҡыйын түгел. Ике тәбиғи һорау тыуа:

• Ниндәй U өсөн U = V(I(U)) дөрөҫ?
• Ниндәй S күпбыуындар күмәклеге өсөн S = I(V(S)) дөрөҫ?

Беренсе тигеҙлек үтәлһен өсөн U алгебраик күмәклек булыуы мотлаҡ; был шарттың етерлек булыуын тикшереү ҙә ҡыйын түгел. Икенсе һорауға яуап эҙләү ҙур ҡыйынлыҡтар тыуҙыра, Давид Гильберт тарафынан билдәле Гильберттың нулдәр тураһында теоремаһы иҫбат ителә.

Уға ярашлы I(V(S)) S элементтары барлыҡҡа килтергән күпбыуындар ҡулсаһында идеал радикалы менән тап килә; был алгебраик күмәклектәр һәм күпбыуындар ҡулсаһының радикаль идеалдары араһында биектив ярашлыҡ булыуын аңлата. Гильберттың базис тураһында теоремаһы күпбыуындар ҡулсаһында бөтә идеалдар сикле тыуҙырылғандар тип раҫлай. Йәғни теләһә ниндәй алгебраик күмәклекте сикле һандағы тигеҙләмәләр менән бирергә мөмкин.

Алгебраик күмәклекте ике бәләкәйерәк алгебраик күмәклектәрҙең берләшмәһе рәүешендә күрһәтеп булмай икән, ул килтереп булмай торған тип атала. Аффинн алгебраик күп төрлөлөк — ул килтереп булмай торған алгебраик күмәклек; алгебра телендә аффинн күп төрлөлөктәргә күпбыуындар ҡулсаһының ябай идеалдары ярашлы. Теләһә ниндәй алгебраик күмәклекте сикле һандағы алгебраик күп төрлөлөктәрҙең (уларҙың береһе лә башҡаларҙың аҫкүмәклеге түгел) берекмәһе күренешендә күрһәтергә мөмкин, һәм берҙән-бер ысул менән.

Ҡайһы бер авторҙар «алгебраик күмәклектәр» һәм «алгебраик төрлөлөктәр» араһында терминологик айырма уҙғармай һәм уның урынына «килтереп булмай торған алгебраик күмәклек» (йәки «килтеп булмай торған күп төрлөлөк») терминын ҡуллана.

Регуляр функциялар

$V\subset \mathbb {A} ^{n}$ алгебраик күмәклегендә регуляр функция — ул V алгебраик күмәклегендә ниндәйҙер полиномиаль функцияны сикләү булып торған функция. V алгебраик күмәклегендә регуляр функциялар был күмәклектең координаталы ҡулсаһы тип аталған k[V] ҡулсаһын төҙөйҙәр. Был ҡулса күпбыуындар ҡулсаһының факторҡулсаһына I(V) буйынса изоморфлы (ысынлап та, әгәр f һәм g V-та бер үк сикләүгә эйә булһалар, ул саҡта f − g I(V)-ға инә.

Алгебраик күмәклектәр араһындағы регуляр сағылыштар тәбиғи рәүештә билдәләнә. Атап әйткәндә, $f:X\to \mathbb {A} ^{n}$ регуляр сағылышы $(f_{1},f_{2},\ldots f_{n})$ күренешендә, бында $f_{i}$ — регуляр функциялар. $Y\in \mathbb {A} _{n}$ алгебраик күмәклегендә регуляр сағылыш — ул шундай $f:X\to \mathbb {A} ^{n}$ регуляр функция, бында $f(X)\subseteq Y$.

Әгәр $f:X\to Y$ регуляр сағылышы бирелһә, теләһә ниндәй $\varphi :Y\to \mathbb {A} ^{1}$ регуляр функцияһына $f^{*}\varphi =\varphi \circ f$ ҡағиҙәһе буйынса $f^{*}\varphi :X\to \mathbb {A} ^{1}$ регуляр функцияһын ярашлы ҡуйырға мөмкин. $\varphi \mapsto \varphi \circ f$ сағылышы $f^{*}:k[Y]\to k[X]$ ҡулсалар гомоморфизмы була, шулай уҡ координаталы ҡулсаларҙың һәр гомоморфизмы алгебраик күмәклектәрҙең регуляр сағылышын билдәләй (кире йүнәлештә). Был ярашлыҡтарҙан алгебраик күмәклектәрҙең категорияһы (уның морфизмдары — регуляр функциялар) k сикле тыуҙырылғандар категорияһына -нильпотентһыҙҙар алгебраларына ҡаршылыҡлы булыуы килеп сыға. Был эквивалентлыҡты асыу схемалар теорияһының башланғыс нөктәһе була.

Рациональ функциялар

Алдағы пункттан айырмалы рәүештә, бында тик (килтеп булмай торған) алгебраик күп төрлөлөктәр ҡараласаҡ . Икенсе яҡтан, был билдәләмәләрҙе проектив күп төрлөлөктәргә таратырға мөмкин.

Әгәр V — аффин күп төрлөлөгө булһа, уның координаталы ҡулсаһы бөтөн, һәм шунан сығып, бүлендектәр яланы бар. Был ялан k(V) тип тамғалана һәм V-та рациональ функциялар яланы тип атала. Рациональ функцияның билдәләнеү өлкәһе мотлаҡ рәүештә бөтә V-ҡа тигеҙ түгел, ә күмәклектең өҫтәмәһенә тигеҙ, унда уның знаменателе нулгә тигеҙ. Регуляр функциялар осрағына оҡшаш рәүештә күп төрлөлөктәр араһында рациональ сағылыш билдәләнә, оҡшаш рәүештә, рациональ сағылыштар рациональ функцияларҙың яландар гомоморфизмдарына үҙ-ара бер мәғәнәлә ярашлы.

Әгәр ике аффин күп төрлөлөгө араһында билдәләнеү өлкәләрендә үҙ-ара кире булған ике рациональ сағылыш булһа, был күп төрлөлөктәр бирациональ эквивалентлы тип атала (эквивалент рәүештә, был күп төрлөлөктәрҙең рациональ функциялар яланы изоморфлы).

Аффин күп төрлөлөгө, әгәр ул аффин арауыҡҡа бирациональ эквивалентлы булһа, рациональ күп төрлөлөк тип атала. Икенсе төрлө әйткәндә, уны рациональ параметрлап була. Мәҫәлән, берәмек әйләнә рациональ кәкре була, сөнки тура һыҙыҡтан әйләнәгә рациональ сағылыш биреүсе

$x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}$

$y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,$

функциялары бар, кире сағылыш та рациональ булыуын тикшереп була (шулай уҡ ҡарағыҙ: Стереографическая проекция).

Схемалар

1950-се йылдар аҙағында Александр Гротендик алгебраик күп төрлөлөк төшөнсәһен дөйөмләштереүсе схема төшөнсәһенә билдәләмә бирә. Аффин схема — ул ниндәйҙер ҡулсаның (классик алгебраик геометрияла — күпбыуындар ҡулсаһының) ундағы ҡулсалар шәлкеме менән бергә спектры (һәр асыҡ күмәклеккә күмәклектең һәр нөктәһендә билдәләнгән рациональ функция ярашлы ҡуйыла). Аффин схемалар коммутатив ҡулсалар категорияһына ҡаршылыҡлы категория төҙөйҙәр, был алгебраик күмәклектәрҙең һәм нильпотенттарһыҙ алгебраларҙың ҡаршылыҡлығын киңәйтә. Дөйөм схемалар бер нисә аффин схемаһын йәбештереү һөҙөмтәһе булып торалар (топологик арауыҡтарҙың Зарисский топологияһы кеүек).

Ысын алгебраик геометрия

Ысын алгебраик геометрия — ысын алгебраик күмәклектәрҙе, йәғни ысын коэффициентлы алгебраик тигеҙләмәләрҙең ысын сығарылыштарын һәм улар араһында сағылыштарҙы өйрәнеү.

Ярым алгебраик геометрия — ярым алгебраик күмәклектәрҙе, йәғни ысын коэффициентлы алгебраик тигеҙләмәләрҙең һәм тигеҙһеҙлектәрҙең ысын сығарылыштары күмәклеген, шулай уҡ улар араһында сағылыштарҙы өйрәнеү.

Иҫәпләү алгебраик геометрияһы

Грёбнер базисы

Грёбнер базисы — ул ялан (мотлаҡ рәүештә алгебраик йомоҡ булмаған) өҫтөндәге күпбыуындар ҡулсаһында был идеалды барлыҡҡа килтергән элементтар системаһы; Грёбнер базисын иҫәпләү, алгебраик йомоҡ киңәйеүҙә был идеал менән бирелгән V алгебраик күмәклектең ҡайһы бер үҙсәнлектәрен асыҡларға мөмкинлек бирә (мәҫәлән, ысын коэффициентлы тигеҙләмәләр системаһы тәбиғи рәүештә бөтә тигеҙләмәләрҙе ҡәнәғәтләндергән комплекслы һандар күмәклеген билдәләй).

• V (бирелгән яландың алгебраик йомоҡ киңәйеүендә), Грёбнер базисы бер берәмектән генә торғанда һәм бары шул саҡта ғына буш.
• Гильберт рәттәре V күп төрлөлөгөнөң үлсәмлеген иҫәпләргә мөмкинлек бирәләр.
• Әгәр үлсәмлек нулгә тигеҙ булһа, күп төрлөлөк нөктәләренең һанын (һәр ваҡыт сикле) иҫәпләп сығарыу ысулы бар.
• V-ның башҡа алгебраик күп төрлөлөккә бирелгән рациональ сағылышы өсөн Грёбнер базисы V образының (Зарисский топологияһында) сикләүен һәм сағылыштың критик нөктәләрен иҫәпләргә мөмкинлек бирә.

Грёбнер базисы тураһында мәғлүмәттәр был күмәклектең килтереп булмай торған компоненттарға тарҡалыуын иҫәпләү өсөн етмәй, әммә был мәсьәләне сисеү алгоритмдары бар.

Ҡайһы бер осраҡтарҙа Грёбнер базисын иҫәпләү ҡатмарлы: иң насар осраҡта уның, дәрәжәһе күпбыуындар ҡулсаһында үҙгәреүсәндәр һанына икеләтә экспонента ($a^{b^{x}}$ күренешендәге аңлатма) булараҡ бәйле булған күпбыуындары булыуы мөмкин; базис элементтарының һаны шул уҡ тиҙлек менән үҫә ала. Хәйер, был ҡатмарлыҡтың өҫкө сиге, күп осраҡта ошо алгоритмдар ярҙамында бер нисә тиҫтә үҙгәреүсәнле күпбыуындар ҡулсалары менән эшләргә мөмкин.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Аналитик геометрия
• Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами
• Дифференциаль геометрия
• Коммутатив алгебра
• Проективное пространство

Әҙәбиәт

• Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия / пер. с англ. Ю. И. Манина. — Мир. — М., 1979.
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах / пер. с англ. С. М. Львовского. — М.: МЦНМО, 2007.
• Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс / пер. с англ. под ред. Ф. Л. Зака. — М.: МЦНМО, 2005.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах) — М.: ИЛ, 1954—1955.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 3-е, испр. и доп.. — М.: МЦНМО, 2007.
• Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l’IHÉS, 1960.
• Alexander Grothendieck. Séminaire de Géometrie Algébrique

Һылтанмалар

• Ravi Vakil. The Rising Sea: Foundations Of Algebraic Geometry Notes 2013 йыл 30 март архивланған. — записки курса алгебраической геометрии в Стэнфордском университете.