Алгебраик күп төрлөлөк

Алгебраик күп төрлөлөк (рус. Алгебраическое многообразие) — алгебраик геометрияның төп өйрәнеү объекты. Алгебраик күп төрлөлөктөң классик билдәләмәһе — ысын йәки комплекслы һандар өҫтөндә алгебраик тигеҙләмәләр системаһының сығарылыштары күмәклеге. Хәҙерге билдәләмәләр уны төрлө ысулдар менән дөйөмләштерә, әммә ошо билдәләмәгә тап килгән геометрик интуицияны һаҡлап ҡалырға тырыша^[1].

Төрлө авторҙарҙа алгебраик күп төрлөлөктөң билдәләмәһе бер аҙ айырылыуы мөмкин: ҡайһы бер авторҙар^[2] билдәләмәгә килтереп булмаусанлыҡ үҙсәнлеген (күп төрлөлөк бәләкәй күп төрлөлөктәрҙең берләшмәһе була алмай тигәнде аңлата, түбәндәрәк ҡарағыҙ) индерә. Ҡайһы берәүҙәр^[3] килтереп булмай торған һәм «дөйөм» күп төрлөлөктәрҙе айыралар. Был мәҡәләлә беҙ беренсе килешеү буйынса эш итербеҙ һәм тигеҙләмәләр системаһының килтереп булмаған сығарылыштары күмәклеген алгебраик күмәклектәр тип атарбыҙ.

Алгебраик күп төрлөлөк төшөнсәһенең шыма күп төрлөлөк төшөнсәһе менән оҡшашлығы бар.

Айырмалары шунда: алгебраик күп төрлөлөктәрҙең, шыма күп төрлөлөктәрҙән айырмалы рәүештә, айырым нөктәләре булырға мөмкин. Ысын алгебраик күп төрлөлөктөң үҙенсәлекле булмаған нөктәһенең эргә-тирәһе шыма күп төрлөлөккә изоморфлы.

1800 йылдар тирәһендә иҫбат ителгән алгебраның төп теоремаһы, бер үҙгәреүсәнле килтерелгән күпбыуын (алгебраик объект) үҙенең комплекслы тамырҙары менән, йәғни комплекслы яҫылыҡтағы сикле нөктәләре күмәклеге менән (геометрик объект) теүәл билдәләнә икәнен күрһәтеп, алгебра һәм геометрия араһында бәйләнеш булдыра. Гильберттың нулдәр тураһында теоремаһы, был һөҙөмтәне дөйөмләштереп, күпбыуындар ҡулсаһының идеалдары һәм алгебраик күп төрлөлөктәр араһында фундаменталь ярашлылыҡ булдыра. Гильберттың нулдәр турандағы теоремаһын һәм уға бәйле һөҙөмтәләрҙе файҙаланып, математиктар алгебраик күп төрлөлөктәр тураһындағы мәсьәләләр һәм ҡулсалар теорияһы мәсьәләләре араһында ярашлылыҡ урынлаштыралар; бындай ярашлылыҡтарҙы ҡулланыу алгебраик геометрияның айырмалы һыҙаты булып тора.

Билдәләмә

Алгебраик күп төрлөлөктәрҙең төрлө типтары бар: аффин күп төрлөлөгө, проектив күп төрлөлөк, квазипроектив күп төрлөлөк. Алгебраик күп төрлөлөк дөйөм мәғәнәлә бер нисә квазипроектив күп төрлөлөктө йәбештереү юлы менән килеп сыға.

Аффин күп төрлөлөгө

k — алгебраик йомоҡ ялан (классик алгебраик геометрияла — комплекслы һандар яланы) булһын, ти; $\mathbb {A} ^{n}$ — k өҫтөндә n-үлсәмле аффин арауығы. Классик анализдың, $\mathbb {R} ^{n}$ йомоҡ күмәклектәре — нәҡ бөтә мөмкин булған сикһеҙ дифференциалланыусы функцияларҙың нулдәре күмәклектәре, тип раҫлаусы теоремаһы бар^[4] Зарисский топологияһы был үҙенсәлекте ниндәйҙер мәғәнәлә полиномиаль функциялар осрағына күсерә: Зарисский топологияһын билдәләгәндә һәр n үҙгәреүсәнле күпбыуындар күмәклегенә аффин арауығының бөтә был күмәклектәр нулгә тигеҙ булған нөктәләре күмәклеге ярашлы ҡуйыла:

Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

$\mathbb {A} ^{n}$ аффин арауығында Зарисский топологияһындағы йомоҡ күмәклектәр — ул бөтә Z(S) күренешендәге күмәклектәр, шулай уҡ был йомоҡ күмәклектәр алгебраик күмәклектәр тип аталалар. Аффин алгебраик күп төрлөлөк — ул ике бәләкәйерәк алгебраик күмәклектәрҙең берекмәһе рәүешендә күрһәтеп булмаған алгебраик күмәклек.

$V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ аҫкүмәклегенә был күмәклектә нулгә тигеҙ булған күпбыуындарҙан торған идеалды ярашлы ҡуйып була:

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

V — алгебраик күп төрлөлөк булған осраҡта, I(V) идеалы буйынса күпбыуындар ҡулсаһының факторҡулсаһы был күп төрлөлөктөң координатлы ҡулсаһы тип атала, ғәҙәттә k[V] тип тамғалана. V алгебраик күмәклеге, I(V) — ябай идеал (йәки, эквивалентлы рәүештә, координатлы ҡулса бөтөн) булғанда һәм тик шул саҡта ғына күп төрлөлөк булыуын билдәләп китәйек.

Проектив һәм квазипроектив күп төрлөлөктәр

k — алгебраик йомоҡ ялан һәм $\mathbb {P} ^{n}$ — k өҫтөндә n-үлсәмле проектив арауыҡ, йәғни $\mathbb {A} ^{n+1}$ -ҙе проектлау булһын, ти. Бер ниндәй күпбыуын да был арауыҡта функцияны билдәләмәй (сөнки бер нөктәнең төрлө күп бер төрлө координаталары бар), ләкин n + 1 үҙгәреүсәнле тиң күпбыуын өсөн күпбыуын нулгә тигеҙ булған нөктәләрҙе дөрөҫ билдәләргә мөмкин (сөнки пропорциональ бер төрлө координаталарға тиң күпбыуындың пропорциональ ҡиммәттәре ярашлы). Шулай итеп, S тиң күпбыуындар күмәклегенә, бөтә был күпбыуындар нулгә тигеҙ булған Z(S) нөктәләр күмәклеген ярашлы ҡуйып була, был проектив арауыҡта Зарисский топологияһын билдәләй. Проектив алгебраик күп төрлөлөк — ул $\mathbb {P} ^{n}$ проектив арауығының килтереп булмай торған йомоҡ (Зарисский топологияһында) аҫкүмәклеге. V күмәклегенә V күмәклегендә нулгә тигеҙ булған тиң күпбыуындар тыуҙырған тиң идеалды ярашлы ҡуйып була. уның буйынса факторҡулса тиң координатлы ҡулса тип атала.

Квазипроектив күп төрлөлөк — ул проектив күп төрлөлөктөң асыҡ аҫкүмәклеге. Атап әйткәндә, теләһә ниндәй аффин күп төрлөлөк квазипроектив күп төрлөлөккә изоморфлы^[5].

Абстракт алгебраик күп төрлөлөктәр

Классик алгебраик геометрияла тик квазипроектив күп төрлөлөктәр генә ҡарала. Был билдәләмәнең етешһеҙлеге, күп төрлөлөктөң проектив арауыҡҡа билдәле бер һалымын теркәргә тура килеүендә: мәҫәлән, $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ -ҙе, уның проектив арауыҡҡа һалымы бирелмәйенсә, күп төрлөлөк тип атап булмай (бындай һалымды биреү өсөн Сегре һалымын ҡулланырға тура килә). Етмәһә, әгәр алгебраик күп төрлөлөктө бер проектив арауыҡҡа һалырға мөмкин булһа, уны, Веронезе һалымы менән композицияны файҙаланып, бик күп башҡа проектив арауыҡтарға ла һалырға мөмкин. Әлбиттә, күп төрлөлөк үҙсәлектәре (күп төрлөлөктәр араһында сағылдырыуҙың даими булыу үҙсәлеге кеүек) бындай һалыуҙы һайлауға бәйле түгел.

Алгебраик күп төрлөлөктө абстракт рәүештә билдәләргә маташыу (йәғни проектив киңлеккә һалымды билдәләмәйенсә) тәүге тапҡыр Вейль Андре тарафынан яһала, ул Foundations of Algebraic Geometry исемле хеҙмәтендә күп төрлөлөктәрҙе нормалаштырыуҙар ярҙамында билдәләй. Шевалле Клод күп һандағы ситуацияларҙа эшләгән схема билдәләмәһен тәҡдим итә. Әммә схеманың Александр Гротендик биргән билдәләмәһе тағы ла дөйөмөрәк була һәм күберәк һандағы математиктар тарафынан таныла. Схемалар теорияһы телендә алгебраик күп төрлөлөктө ғәҙәттә алгебраик йомоҡ ялан өҫтөндәге һуңғы типтағы бөтөн айырылғыһыҙ схема итеп билдәләйҙәр^[6], шулай уҡ ҡайһы бер авторҙар алгебраик йомоҡлоҡ йәки килтереп булмаҫлыҡ талабын алып ташлайҙар.

Миҫалдар

Түбәндә алгебраик күп төрлөлөктәрҙең бер нисә миҫалы килтерелә (улай ғына түгел, улар бөтәһе лә алгебраик кәкреләр булып торалар). Башҡа бик күп миҫалдарҙы алгебраик кәкреләр категорияһында табып була.

Алгебраик күп төрлөлөктәрҙең айырым осраҡтары
Күп төрлөлөк үлсәме→ Күпбыуындың дәрәжәһе↓	0	1	2	…	k
1	Нөктә	Тура һыҙыҡ	Яҫылыҡ	…	Гиперяҫылыҡ
2		Коника	Икенсе тәртиптәге йөҙ	…	Квадрика
3		Кубика	Өсөнсө тәртиптәге йөҙ	…	3 тәртиптәге күп төрлөлөк
4		Квартика	Дүртенсе тәртиптәге йөҙ	…	4 тәртиптәге күп төрлөлөк
…		…	…	…	…
k		Алгебраик кәкре	Алгебраик йөҙ	…	Алгебраик күп төрлөлөк

Аффин тура һыҙығы

$\mathbb {C} [x,y]:$ ҡулсаһынан

f(x,y)=ax+by+c

күпбыуынын ҡарайыҡ.

Был күпбыуындың нулдәре күмәклеге — $\mathbb {C} ^{2}$ -та аффин тура һыҙығы. Аффин тура һыҙығы алгебраик күп төрлөлөк булыуын иҫбат итеү өсөн $ax+by+c$ күпбыуыны килтереп булмай торған, ә k[x, y] ҡулсаһы факториаль (факториаль ҡулсала килтереп булмай торған күпбыуын барлыҡҡа килтергән төп идеал, ябай) булыуына иғтибар итеү ҙә етә.

Квадрикалар

Бөтә эллипстар, параболалар һәм гиперболалар (йәғни бөтә үҙгәртелмәгән квадрикалар) комплекслы яҫылыҡтың алгебраик аҫ күп төрлөлөктәре булалар. Үҙгәртелгән квадрика һәр ваҡытта ла алгебраик күп төрлөлөк булмай: мәҫәлән, $xy$ квадрикаһын ике тура һыҙыҡтың берекмәһе итеп күрһәтеп була, был осраҡта бындай күрһәтеү берҙән-бер. Был осраҡлы түгел: теләһә ниндәй алгебраик күмәклек сикле һандағы алгебраик күп төрлөлөктәрҙең берекмәһе рәүешендә күрһәтелә ала (уларҙың береһе лә икенсеһенең аҫ күп төрлөлөгө түгел), һәм берҙән-бер ысул менән^[7].

Ишелгән кубика

$\mathbb {C} ^{3}$ арауығының, $(z,z^{2},z^{3})$ күренешендәге нөктәләре күмәклеге — аффин алгебраик күп төрлөлөк, һәм, ул ғына ла түгел, бер ниндәй яҫылыҡта ла ятмаған алгебраик кәкре^[8] Был күмәклек — юғарылағы иллюстрацияла һүрәтләнгән «ишелгән кубика» (теүәлерәк, уның өс үлсәмле ысын арауыҡҡа проекцияһы һүрәтләнгән). Уны ике тигеҙләмәнең уртаҡ нулдәре күмәклеге булараҡ бирергә мөмкин:

{\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Был күмәклектең килтереп булмай торған булыуын иҫбатлауҙың иң ябай ысулы — (x, y, z) → (x, y) проекцияһын ҡулланыу, ул сығарылыштар күмәклегендә инъектив һәм уның образы — килтереп булмай торған кәкре (парабола).

Ғәҙәттә ишелгән кубиканы $\mathbb {P} ^{3}$ -тағы Веронезе сағылышының образы булған проектив күп төрлөлөк итеп ҡарайҙар. Күп кенә дәреслектәрҙә ул проектив арауыҡта һыҙыҡлы булмаған кәкренең иң ябай миҫалы итеп килтерелә. Өҫтә ошо күп төрлөлөктөң аффин карталарҙың береһендә һүрәте ҡарала.

Бәйле билдәләмәләр

Регуляр сағылыш

Аффин күп төрлөлөктәр араһында регуляр сағылыш — ул күпбыуындар менән бирелгән сағылыш. Теүәлерәк, әгәр $X\in \mathbb {A} ^{n},Y\in \mathbb {A} ^{m}$ — аффин күп төрлөлөктәре булһа, регуляр сағылыш — ул $f=(f_{1},\dots ,f_{m})$ күренешендәге сағылыш, бында $f_{i}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$ , ә $f(X)\subseteq Y$ , йәғни X-тан теләһә ниндәй нөктәнең образы Y-те биргән тигеҙләмәләрҙе ҡәнәғәтләндерә.

Дөйөмөрәк, әгәр ƒ:U→V сикләүе — (аффин) күп төрлөлөктәрҙең регуляр сағылышы булырлыҡ x нөктәһенең U эргә-тирәһе һәм f(x) нөктәһенең V эргә-тирәһе булһа, квазипроектив күп төрлөлөктәрҙең ƒ:X→Y сағылышы x нөктәһендә регуляр була. Ул саҡта, әгәр сағылыш билдәләнеү өлкәһенең бөтә нөктәләрендә лә регуляр булһа, ул регуляр сағылыш була.

Регуляр сағылыш $\mathbb {A} ^{1}$ -ҙә регуляр функция тип атала. V аффин күп төрлөлөгөндә регуляр функциялар ҡулсаһы координатлы ҡулса k[V] тип атала. Был билдәләмә юғарыла бирелгән координатлы ҡулса билдәләмәһе менән тап килә, сөнки $\mathbb {A} ^{n}$ -ла ике регуляр функция, уларҙың айырмаһы $I(V)$ -ҡа ингәндә һәм бары тик шул саҡта ғына $V\in \mathbb {A} ^{n}$ -ла тап киләдәр. Шулай уҡ был ҡулса V-тың бөтә нөктәләрендә лә ҡиммәттәре сикле булған рациональ функциялар ҡулсаһы менән (был факттың иҫбатланышы күп төрлөлөктөң килтереп булмаусанлығын ҡуллана ^[9]), йәки, тағы ла абстрактлыраҡ, V-та структур шәлкемдең глобаль киҫелештәре ҡулсаһы менән тап килә (Спектр кольца, Схема мәҡәләләрен ҡарағыҙ). Шулай уҡ V алгебраик күп төрлөлөгөндә, V-та бирелгән бөтә рациональ функцияларҙан торған k(V) функциялар яланын ҡарарға мөмкин.

Регуляр сағылыштар, билдәләмә буйынса, асылда алгебраик күп төрлөлөктәр категорияһында морфизмдар. Атап әйткәндә, аффин схемалар категорияһы коммутатив ҡулсалар категорияһына ҡаршылыҡлы булыу фактынан, аффин күп төрлөлөктәр араһында регуляр сағылыштар уларҙың координатлы ҡулсалары гомоморфизмдары менән үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡта булыуы килеп сыға.

Кире сағылышы ла шулай уҡ регуляр булған әйләндерелмәле регуляр сағылыш, бирегуляр сағылыш тип атала. Алгебраик күп төрлөлөктәр, улар араһында бирегуляр сағылыш булғанда һәм бары тик шул саҡта ғына изоморфлы.

Сағылыштың регулярлығы ярайһы уҡ көслө шарт булып тора: мәҫәлән, Лиувилль теоремаһынан проектив күп төрлөлөктә берҙән-бер регуляр функциялар — константалар булыуы килеп сыға. Шул арҡала йыш ҡына көсһөҙерәк шарттар ҡулланыла — сағылыштың рационаллеге һәм күп төрлөлөктәрҙең бирациональ эквивалентлығы.

Күп төрлөлөк үлсәме

k[V] — V күп төрлөлөгөнөң координатлы ҡулсаһы булһын, ти. Ул саҡта V-ның үлсәме — ул k[V] ҡулсаһының, k яланының киңәйеүе булараҡ бүлендектәр яланының трансцендентлыҡ дәрәжәһе^[10].

Үлсәнештең эквивалентлы билдәләмәләре күп. Мәҫәлән, x — V күп төрлөлөгөнөң ирекле махсус булмаған нөктәһе булһын, ти, ул саҡта V-та R_x структуралы шәлкеме «x нөктәһендә рациональ функцияларҙың» максималь идеал m менән локаль ҡулсаһын асыҡларға мөмкинлек бирә. Ул саҡта күп төрлөлөктөң үлсәме — ул R_x/m яланы өҫтөндә векторлы арауыҡ булараҡ m/m² факторҡулсаһының үлсәме.

'Тағы ла бер билдәләмә: A аффин күп төрлөлөгөнөң үлсәме — ул $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$ аффин аҫ күп төрлөлөктәре сылбыры булғандағы супремум n.1 үлсәмле алгебраик күп төрлөлөктәр алгебраик кәкреләр тип аталалар. Йышыраҡ комплекслы алгебраик кәкреләр ҡарала, үҙенсәлекле булмаған нөктәнең эргә-тирәһендә улар ике үлсәмле ысын күп төрлөлөккә гомеоморфлы. Комплекслы алгебраик кәкренең төрө — ул ярашлы топологик йөҙҙөң төрө.

Ике үлсәмле алгебраик күп төрлөлөктө алгебраик йөҙҙәр тип атайҙар.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Схема (математика)

Иҫкәрмәләр

↑ Хартсхорн, 1981, с. 86−88
↑ Хартсхорн, 1981, с. 18
↑ Харрис, 2005, с. 17
↑ Джет Неструев. Гладкие многообразия и наблюдаемые. Глава 2, предложение 2.4.
↑ Хартсхорн, 1981, упражнение 2.9, с. 30
↑ Хартсхорн, 1981, с. 141
↑ Хартсхорн, 1981, с. 21
↑ Харрис, с. 24; неприводимость этого множества — упражнение у Хартсхорна, с. 24.
↑ Хартсхорн, 1981, с. 35
↑ Харрис, 2005, с. 171

Әҙәбиәт

Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. — ISBN 978-5-94057-195-7.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: МЦНМО, 2007. — 589 с. — ISBN 978-5-94057-085-1.
Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.

Һылтанмалар

Ravi Vakil, MATH 216: Foundations of algebraic geometry 2013 йыл 5 октябрь архивланған. (версия 11.06.2013) — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.
SURFER 2017 йыл 2 июль архивланған. — свободно распространяеммая программа для визуализации алгебраическикх поверхностей.

[Хартсхорн—1981——86−88-1] Хартсхорн, 1981, с. 86−88

[Хартсхорн—1981——18-2] Хартсхорн, 1981, с. 18

[Харрис—2005——17-3] Харрис, 2005, с. 17

[4] Джет Неструев. Гладкие многообразия и наблюдаемые. Глава 2, предложение 2.4.

[Хартсхорн—1981—упражнение_2.9—30-5] Хартсхорн, 1981, упражнение 2.9, с. 30

[Хартсхорн—1981——141-6] Хартсхорн, 1981, с. 141

[Хартсхорн—1981——21-7] Хартсхорн, 1981, с. 21

[8] Харрис, с. 24; неприводимость этого множества — упражнение у Хартсхорна, с. 24.

[Хартсхорн—1981——35-9] Хартсхорн, 1981, с. 35

[Харрис—2005——171-10] Харрис, 2005, с. 171

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]