Анализ (математика бүлеге)

Был мәҡәлә ҡала округы тураһында. Ҡала тураһында тулыраҡ бында ҡарағыҙ: Математик анализ.

Анализ математиканың хәҙерге заман бүлеге булараҡ — тарихи классик математик анализдан үҫеп сыҡҡан ^[⇨], һәм, классик өлөшкә ингән дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләрҙән тыш, ысын^[⇨] һәм комплекслы^[⇨] үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы, дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр^[⇨], вариацион иҫәпләмә^[⇨], гармоник анализ^[⇨], функциональ анализ^[⇨], динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория^[⇨], глобаль анализ^[⇨], стандарт булмаған анализ^[⇨] кеүек бүлектәрҙе солғап алған математиканың мөһим өлөшө — иң тәүҙә классик бүлектәрҙең альтернатив формализацияһы өсөн Моделдәр теорияһын ҡулланыусы, математик логика һәм анализ тоташҡан урындағы бүлек.

Алгебра һәм геометрия менән бер рәттән, математиканың өс төп йүнәлештәренең береһе тип иҫәпләнә. Анализдың башҡа йүнәлештәр менән сағыштырғанда айырып торған төп билдәһе — өйрәнеү предметы булып билдәһеҙ дәүмәлдәрҙең функцияһы тороуы. Шуның менән бергә, әгәр анализдың элементар бүлектәрен уҡыу программаларында һәм материалдарҙа йыш ҡына элементар алгебра менән берләштерһәләр (мәҫәлән, «Алгебра һәм анализ башланғыстары» тип аталған күп һандағы дәреслектәр һәм курстар бар), хәҙерге анализ һиҙелерлек дәрәжәлә хәҙерге геометрик бүлектәрҙең, иң беренсе, дифференциаль геометрия һәм топологияның ысулдарын ҡуллана.

Тарихы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Анализ бесконечно малых

"Сикһеҙ бәләкәйҙәр анализы"ның ябай дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариацион иҫәпләмә (Эйлер, Лагранж), аналитик функциялар теорияһы (Лагранж, Коши, аҙағыраҡ — Риман) кеүек айырым тармаҡтары, XVIII—XIX быуаттың беренсе яртыһында уҡ айырымлана башлайҙар. Әммә анализдың хәҙерге заманса үҙ аллы бүлек булараҡ төҙөлөүенең башы булып, XIX быуат урталарындағы анализдың төп төшөнсәләрен — ысын һан, функция, сикләнмә, интеграл — рәсмиләштереү буйынса, иң беренсе, Коши һәм Больцано хеҙмәттәре һанала, һәм 1870-се — 1880-се йылдарҙа Вейерштрасс, Дедекинд һәм Кантор хеҙмәттәрендә тамамланған форма ала^[1]. Бының менән бәйле ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы, һәм аналитик функциялар менән эшләү ысулдары үҫешендә, — комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы барлыҡҡа килә. Кантор XIX быуат аҙағында төҙөгән күмәклектәрҙең хәйләһеҙ теорияһы метрик һәм топологик арауыҡ төшөнсәләренең барлыҡҡа килеүенә этәргес була, был, өйрәнелеүсе объекттарҙың абстракцияһын арттырып һәм иғтибарҙы ысын һандарҙан һанлы булмаған төшөнсәләргә күсереп, анализ инструментарийын һиҙелерлек дәрәжәлә үҙгәртә.

XX быуат башында башлыса француз математика мәктәбенең көсө менән (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) үлсәм теорияһы барлыҡҡа килә, шуның арҡаһында интеграл төшөнсәһе дөйөмләштерелә, шулай уҡ ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы^[⇨] төҙөлә. Шулай уҡ XX быуат башында, топологик векторлы арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе функциональ анализ хәҙерге анализдың үҙаллы аҫбүлеге булараҡ төҙөлә башлай^[⇨]. XIX XX быуаттар сигендә итальян һәм француз математиктары төркөмө тарафынан (улар араһында — Вольтерра, Арцела) төҙөлгән вариацион иҫәпләмәнең тармағын билдәләп, Адамар «функциональ анализ» терминын индерә. 1900 йылда Фредгольм, интеграль тигеҙләмәләр^[⇨] теорияһы һәм интеграллауҙың дөйөм теорияһы үҫешенә (Лебег), шулай уҡ функциональ анализ формалашыуына этәргес биреүсе интеграль тигеҙләмәләр тураһында мәҡәлә баҫтырып сығара^[2]. 1906 йылда Гильберттың хеҙмәтендә спектраль теория тасуирлана, шул уҡ йылда Фрешеның хеҙмәте баҫылып сыға, унда беренсе тапҡыр анализға абстрактлы метрик арауыҡ индерелә^[3]. 1910-сы — 1920-се йылдарҙа айырылыусанлыҡ төшөнсәһе аныҡлана һәм анализға беренсе тапҡыр дөйөм топологик ысулдар ҡулланыла (Хаусдорф), функциональ арауыҡтар үҙләштерелә һәм дөйөм нормалаштырылған арауыҡтар теорияһын төҙөү башлана (Гильберт, Рис, Банах, Хан). 1929—1932 йылдар араһында Гильберт арауыҡтарының аксиоматик теорияһы төҙөлә (Джон фон Нейман, Маршалл Стоун, Рис). 1936 йылда Соболев, анализдың күп бүлектәрендә киң таралыу алған һәм ҡушымталарҙа киң ҡулланыу тапҡан дөйөмләштерелгән функция төшөнсәһен әйтеп бирә (һуңғараҡ 1940-сы йылдарҙа уға бәйһеҙ рәүештә шундай уҡ төшөнсәгә Лоран Шварц килә) (мәҫәлән, Дирактың $\delta$ -функцияһы дөйөмләштерелгән функция була). 1930-сы — 1950-се йылдарҙа функциональ анализда дөйөм алгебраик инструменттар ҡулланыу иҫәбенә ҙур нәтижәләргә өлгәшелә (векторлы рәшәткәләр, операторлы алгебралар, Банах алгебралары).

XX быуат уртаһында динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман) кеүек йүнәлештәр үҙаллы үҫеш алалар, дөйөм алгебраик саралар — топологик төркөмдәр һәм күрһәтмәләр (Вейль, Петер^[en], Понтрягин) ҡулланыу иҫәбенә гармоник анализ һөҙөмтәләре дөйөмләштерелә. 1940-сы — 1950-се йылдарҙан башлап функциональ анализ ысулдары ҡулланма өлкәлә ҡулланыу табалар, айырып әйткәндә, Канторовичтың 1930-сы — 1940-сы йылдарҙағы хеҙмәттәрендә иҫәпләү математикаһында һәм иҡтисадта (һыҙыҡлы программалау) функциональ анализ инструменттары ҡулланыла. 1950-се йылдарҙа Понтрягиндың һәм уның уҡыусыларының хеҙмәттәрендә вариацион иҫәпләмә ысулдары үҫешенә оптималь идара итеү теорияһы төҙөлә.

XX быуаттың икенсе яртыһынан башлап дифференциаль топология үҫешеү менән анализға яңы йүнәлеш — «глобаль анализ»^[⇨] исеме алған төрлөлөктәрҙә анализ ҡушыла, ул ысынында алдараҡ, 1920-се йылдарҙа Морс теорияһы сиктәрендә вариацион иҫәпләмәнең дөйөмләштерелеүе кеүек (Морс тарафынан «бөтөндә вариацион иҫәпләмә» тип аталған, ингл. variation calculus in large) барлыҡҡа килә. Был йүнәлешкә динамик системаларҙың бифуркациялар теорияһы үҫешенә (Андронов) төҙөлгән, 1970-се йылдарҙа Зиман һәм Арнольдтың хеҙмәттәрендә үҫеш алған үҙенсәлеклектәр теорияһы (Уитни, 1955 йыл) һәм катастрофалар теорияһы (Том, 1959 йыл һәм Мазер^[en], 1965 йыл) кеүек йүнәлештәрҙе индерәләр.

1960-сы йылдар башында Робинсон стандарт булмаған анализ^[⇨] — анализдың классик, шулай уҡ оҡшаш өлкәләренең моделдәр теорияһы инструментарийын ҡулланып альтернатив формализацияһын төҙөй. Әгәр башта стандарт булмаған анализ классик бүлектәрҙә насар формализацияланған төшөнсәләрҙе (иң беренсе, сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙул дәүмәлдәр) нигеҙләүҙең логик техникаһы итеп кенә ҡаралһа, 1970-се йылдар аҙағында Нельсон (ингл. Edward Nelson) тарафынан эске күмәклектәр теорияһы^[en] төҙөлөү һәм артабанғы дөйөмләштереүҙәрҙән һуң, стандарт булмаған анализдың конструкциялары, бөтә математик объекттарға тәбиғи хас булғанса, математиканың бөтә өлкәләрендә лә ҡулланыла ала икәне асыҡлана^[4]. Бынан тыш, стандарт булмаған анализ теленең аңлайышлығы арҡаһында, уның ысулдары ярҙамында классик анализда беленмәгән, ләкин шул уҡ ваҡытта стандарт, классик ысулдар менән дә асыҡланырға мөмкин булған, нәтижәләр асыҡлана^[5]. Шулай уҡ 1970-се — 1980-се йылдарҙа форсинг ысулы үҫешендә (Коэн тарафынан ZFC-та континуум-гипотезаның хәл иткеһеҙ булыуын иҫбатлау өсөн булдырылған) Соловейҙың, Скотт һәм Вопенканың (чех Petr Vopěnka) хеҙмәттәрендә Буль ҡиммәтле моделдәр^[en] теорияһы эшләнә, уның нигеҙендә стандарт булмаған анализдың үҙаллы тармағы — Буль ҡиммәтле анализ барлыҡҡа килә^[6].

Классик математик анализ

Төп мәҡәлә: Математик анализ

Классик математик анализ — тулыһынса тарихи «сикһеҙ бәләкәйҙәр анализына» тап килгән бүлек, ике төп компоненттан тора: дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәнән. Төп төшөнсәләре — функцияның сикләнмәһе, дифференциал, сығарылма, интеграл, төп нәтижәһе — аныҡ интегралды, алынманы, һәм Тейлор рәтен — нөктәнең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы функцияларҙы рәткә тарҡатыуҙы бәйләүсе Ньютон — Лейбниц формулаһы.

«Математик анализ» термины аҫтында ғәҙәттә тап ошо классик бүлекте аңлайҙар, шуның менән бергә ул башлыса уҡыу программаларында һәм материалдарында ҡулланыла. Шул уҡ ваҡытта анализ нигеҙҙәрен өйрәнеү күпселек урта белем биреү программаларына инә, ә фәнде әҙме-күпме тулы өйрәнеү күп, шул иҫәптән гуманитар һөнәрҙәр өсөн юғары белем биреү программаһының тәүге йылына индерелгән. Инглиз-америка белем биреү традицияһында классик математик анализды билдәләү өсөн «иҫәпләмә» термины ҡулланыла (ингл. calculus).

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы

«Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы» тураһында эҙләү ошонда йүнәлтелә. Был турала айырым мәҡәлә яҙырға.

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы (ҡайһы берҙә ҡыҫҡаса — функциялар теорияһы тип атала) ысын һандарҙы һәм функцияларҙы формализациялау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә^[7]: әгәр анализдың классик бүлектәрендә конкрет мәсьәләләрҙә, тәбиғи рәүештә барлыҡҡа килгән функциялар ғына ҡаралһа, функциялар теорияһында функциялар үҙҙәре өйрәнеү предметы булып китәләр, уларҙың үҙ-үҙен тотошо, үҙсәнлектәре нисбәте өйрәнелә. Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы үҙенсәлеген иллюстрациялаусы нәтижәләрҙең береһе ^[8] — өҙлөкһөҙ функцияның бер нөктәлә лә сығарылмаһы була алмауы факты (шуның менән бергә классик математик анализдың алдағы күҙаллауҙары буйынса бөтә өҙлөкһөҙ функцияларҙың дифференциалланыусанлығы шик аҫтына алынмай).

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының төп йүнәлештәре^[9]:

үлсәм теорияһы, төп инструмент сифатында күмәклек үлсәме һәм үлсәнмәле функция төшөнсәләре ҡулланыла, уларҙың нигеҙендә, классик анализдағынан дөйөмөрәк ысулдар менән, интеграллау һәм дифференциаллау индерелә һәм өйрәнелә, үҙенсәлекле рәүештә йыйылыусанлыҡ төшөнсәһе индерелә, өҙөклө функцияларҙың киң класы өйрәнелә;
ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың дескриптив теорияһы, функцияларҙы күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы саралары менән классификациялауҙы өйрәнә (төп нәтижәһе — Бэр кластары);
функцияларҙың конструктив теорияһы, ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың яҡынлашыу һәм интерполяция мәсьәләләрен тикшерә (Чебышёвтың һәм Бернштейндың хеҙмәттәрендә үҫеш алған^[10]).

Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы

Төп мәҡәлә: Комплекслы анализ

Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының өйрәнеү предметы — комплекслы яҫылыҡта $\mathbb {C} ^{1}$ йәки комплекслы $\mathbb {C} ^{n}$ Евклид арауығында бирелгән һанлы функциялар, шуның менән бергә математик анализдың ысынбарлыҡта бөтә тармаҡтары өсөн мөһим бәйләүсе роль уйнаған аналитик функциялар ентекләп өйрәнелә. Атап әйткәндә, аналитик функция төшөнсәһе ирекле Банах арауыҡтары өсөн дөйөмләштерелә, шуның менән комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының күп нәтижәләре функциональ анализда дөйөмләштереү таба.

Функциональ анализ

Төп мәҡәлә: Функциональный анализ

Функциональ анализ бүлек булараҡ, уларҙың өйрәнеү предметы булып топологик векторлы арауыҡтар һәм уларға һалынған төрлө алгебраик һәм топологик шарттар менән уларҙың сағылышы тороуы менән характерлана. ^{[[#cite_note-Дьёдонне—1981—One_may_give_many_definitions_of_«Functional_Analysis»._Its_name_might_suggest_that_it_contains_all_parts_of_mathematics_which_deal_with_functions,_but_that_would_practically_mean_all_mathematical_Analysis._We_shall_adopt_a_narrower_definition:_for_us,_it_will_be_the_study_of_topological_vector_spaces_and_of_mappings_'"`UNIQ--math-0000001F-QINU`"'_from_a_part_'"`UNIQ--math-00000020-QINU`"'_of_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000021-QINU`"'_into_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000022-QINU`"',_these_mappings_being_assumed_to_satisfy_various_algebraic_and_topological_conditions—1-11|[11]]]}. Функциональ анализда функциональ арауыҡтар үҙәк роль уйнайҙар, классик миҫал — $p$ -сы дәрәжәһе интегралланыусы бөтә үлсәнмәле функцияларҙың $L^{p}$ арауыҡтары; был ваҡытта $L^{2}$ — сикһеҙ үлсәмле арауыҡ (Гильберт арауығы), һәм сикһеҙ үлсәнешле арауыҡтар функциональ анализға шул тиклем хас, хатта ҡайһы берҙә бөтә бүлек математиканың сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе өлөшө һымаҡ билдәләнә^[12]. Функциональ анализдың классик бүлектәрендә арауыҡтарҙың мөһим формаһы булып Банах арауыҡтары — метрика буйынса тулы, норма менән барлыҡҡа килтерелгән, нормалаштырылған векторлы арауыҡтар торалар: практикала әһәмиәтле арауыҡтарҙың күпселек өлөшө шундай, улар араһында — бөтә Гильберт арауыҡтары, $L^{p}$ арауыҡтар, Харди арауыҡтары, Соболев арауыҡтары. Функциональ анализда Банах арауыҡтары булған алгебраик структуралар мөһим роль уйнайҙар — Банах рәшәткәләре һәм Банах алгебралары (шул иҫәптән — $C^{*}$ -алгебралар^[en], фон Нейман алгебралары).

Сикләнгән һыҙыҡлы операторҙарҙы өйрәнеүсе операторҙар теорияһы — функциональ анализдың эре аҫбүлеге, ул спектраль теорияны, төрлө операторҙар кластары теорияһын (айырып әйткәндә, компактлы, Фредгольм, йомоҡ операторҙар), махсус нормалаштырылған арауыҡтарҙа операторҙар теорияларын (Гильберт арауыҡтарында — үҙ эйәртеүле, нормаль, унитар, ыңғай операторҙар, функциональ арауыҡтарҙа — дифференциаль, псевдодифференциаль, интеграль һәм псевдоинтеграль операторҙар һәм башҡалар), инвариантлы аҫарауыҡтар теорияһын , операторҙар кластары теорияһын — операторлы алгебралар, операторлы ярым төркөмдәр һәм башҡаларҙы үҙ эсенә ала.

Вариацион иҫәпләмә

Төп мәҡәлә: Вариацион иҫәпләмә

Вариацион иҫәпләмәнең төп өйрәнең объекты — функционалдар вариациялары, улар ярҙамында бер йәки бер нисә үҙгәреүсән функцияларҙы һайлауға бәйле экстремаль мәсьәләләр сығарыла. Типик вариацион мәсьәлә — ниндәйҙер бирелгән функционалдың стационарлыҡ шартын ҡәнәғәтләндереүсе функцияны эҙләп табыу, йәғни шундай функцияны, уның сикһеҙ бәләкәй ҡуҙғыуы функционалдың һис юғы бәләкәйлектең беренсе тәртибендә үҙгәрешен тыуҙырмай. Классик вариацион иҫәпләмә физиканың күп бүлектәренә ҙур инструменталь йоғонто яһай (механиканың вариацион принциптарында, шулай уҡ электродинамикала, квант механикаһында киң ҡулланыу таба). Оптималь идара итеү теорияһы — вариацион иҫәпләмә ысулдарын мәсьәләләрҙең әһәмиәтле киң класына ҡулланыу: идара итеүсе параметрҙар сикке ҡиммәттәрҙе лә ҡабул итә алған шарттарҙа, системаларҙың иң яҡшы параметрҙарын билдәләү.

Гармоник анализ

Төп мәҡәлә: Гармоник анализ

Гармоник анализдың төп принцибы — анализ мәсьәләләрен гармоник функциялар һәм уларҙың дөйөмләштереүҙәре өсөн инструменттар менән тикшереүгә ҡайтарып ҡалдырыу. Классик гармоник анализ төп саралары сифатында тригонометрик рәттәр, Фурье үҙгәртеүҙәре, периодик тиерлек функциялар^[en], Дирихле рәттәре теорияларын үҙ эсенә ала^[13].

Абстрактлы гармоник анализда абстрактлы структуралар өсөн классик ысулдар Хаар үлсәме һәм төркөм күрһәтмәләре кеүек төшөнсәләр ҡулланып дөйөмләштерелгән^[14]. Коммутатив гармоник анализдың иң мөһим нәтижәһе — Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлығы тураһында теорема, уның арҡаһында гармоник анализдың бөтә классик һөҙөмтәләре сағыштырмаса ябай дөйөм алгебраик ысулдар менән тасуирланалар. Теорияның артабанғы үҫеше — квант механикаһына мөһим ҡушымталары булған коммутатив булмаған гармоник анализ.

Дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр

Дифференциаль тигеҙләмәләр менән бәйле анализда ике төп йүнәлеш айырылып сыға — ябай дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы һәм айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы (уҡыу материалдарында һәм ҡайһы бер классификацияларҙа «математик физика тигеҙләмәләре» тип йөрөтөлә, сөнки бындай класс тигеҙләмәләрен тикшереү математик физиканың төп тултырыуын тәшкил итә).

Интеграль тигеҙләмәләр теорияһында, сығарыуҙың классик ысулдарынан тыш, Фредгольм теорияһы кеүек, функциональ анализдың үҙ аллы бүлек булараҡ формалашыуына һиҙелерлек йоғонто яһаусы, айырып әйткәндә, Гильберт арауығы төшөнсәһе барлыҡҡа килеүгә булышлыҡ итеүсе йүнәлештәр айырылып тора.

Динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория

Дифференциаль тигеҙләмәләрҙе өйрәнеүҙең төп йүнәлештәренән үҙ аллы бүлектәр сифатында, механик системаларҙың ваҡыт эсендә үҙгәрешен өйрәнеүсе динамик системалар теорияһы, һәм, статистик физиканы нигеҙләүгә йүнәлтелгән эргодическая теория айырыла. Мәсьәләләрҙең ҡулланма характерҙа булыуына ҡарамаҫтан, был бүлектәргә дөйөм матемик әһәмиәтле төшөнсәләрҙең һәм ысулдарҙың киң ҡатламы ҡарай, атап әйткәндә, тотороҡлолоҡ һәм эргодичность төшөнсәләре шундайҙар.

Глобаль анализ

«Глобаль анализ» тураһында эҙләү ошонда йүнәлтелә. Был турала айырым мәҡәлә яҙырға.

Глобаль анализ — анализдың, функцияларҙы һәм дифференциаль тигеҙләмәләрҙе төрлөлөктәрҙә һәм векторлы ҡатламланыуҙарҙа өйрәнеүсе бүлеге^[15]; ҡайһы берҙә был йүнәлеш «төрлөлөктәрҙә анализ» тип билдәләнә.

Глобаль анализдың тәүге йүнәлештәренең береһе — Морс теорияһы һәм уның Риман төрлөлөктәрендә геодезик тураһында мәсьәләләргә ҡулланылыуы; йүнәлеш «дөйөм вариацион иҫәпләмә» исеме ала. Төп һөҙөмтәләре — шыма функцияларҙың шыма төрлөлөктәрҙә үҙгәрмәгән үҙенсәлекле нөктәләрҙә үҙен тотошон тасуирлаусы Морс леммаһы, һәм Люстерник — Шнирельман категорияһы кеүек шундай гомотопик инвариант. Конструкцияларҙың һәм раҫлауҙарҙың күбеһе сикһеҙ үлсәүле төрлөлөктәр осрағына дөйөмләштерелгән (Гильберт төрлөлөктәре^[en], Банах төрлөлөлөктәре^[en]). Айырым нөктәләрҙе глобаль анализлау сиктәрендә алынған нәтижәләр саф топологик мәсьәләләрҙе сисеү өсөн киң ҡулланыу таптылар, шулай, мәҫәлән, математиканың үҙ аллы бүлеге — $K$ -теория өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итеүсе Боттың периодлылыҡ теоремаһы^[en], шулай уҡ $h$ -кобордизм тураһында теорема, уның эҙемтәһе булып Пуанкаре гипотезаһының 4-тән ҙурыраҡ үлсәнеш өсөн үтәлеүе тора.

Глобаль анализ йүнәлештәренең, физикала һәм иҡтисадта киң ҡулланыу алған тағын бер эре блогы — үҙенсәлектәр теорияһы, бифуркациялар теорияһы һәм катастрофалар теорияһы; был блок тикшеренеүҙәренең төп йүнәлеше — һынылыш нөктәләре эргә-яғында дифференциаль тигеҙләмәләрҙең йәки функцияларҙың үҙ-үҙен тотошон классификациялау һәм ярашлы кластарҙың характерлы үҙенсәлектәрен асыҡлау.

Стандарт булмаған анализ

Төп мәҡәлә: Стандарт булмаған анализ

Стандарт булмаған анализ — анализдың төп төшөнсәләрен математик логика саралары менән формализациялау, төп идея — сикһеҙ ҙур һәм сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәрҙе формаль актуалләштереү,һәм улар менән манипуляцияларҙы логик формалләштереү. Был ваҡыттаа стандарт булмаған анализдың саралары бик уңайлы булып сыға: улар ярҙамында, элек күрһәтмәлелектең етешмәүе арҡаһында классик саралар менән табылмаған һөҙөмтәләр алынған^[5].

Стандарт булмаған анализ ике йүнәлешкә бүленә: теоретик-моделле инструменттар ҡулланыусы семантик һәм күмәклектәр теорияһының төрлө төрҙәге киңәйтеүҙәрен ҡулланыусы синтаксик йүнәлештәр. Семантик йүнәлеш үҙсәнлектәрҙе моделдәрҙең урындағы өлөштәренән бөтә моделгә күсерергә мөмкинлек биреүсе Мальцевтың локаль теоремаһына нигеҙләнә^[16]. Стандарт булмаған анализдың семантик йүнәлешенең эре үҙ аллы тармағы бар — en^{[Boolean-valued model]}^[17] төшөнсәһе тирәләй барлыҡҡа килтерелгән Буль ҡиммәтле анализ. Синтаксик йүнәлеш эске күмәклектәр теорияһына^[en] нигеҙләнә, уның төп идеяһы стандарт булмаған элементтарҙы һәм стандартлылыҡ предикатын индереү, һәм уларға хас сифаттарҙы аксиомалаштырыу. Синтаксик формализацияның икенсе варианты — Күмәклектәрҙең альтернатив теорияһы^[en]^[18].

Ҡушымталар

Иҫкәрмәләр

↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55
↑ Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, p. 97
↑ Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97
↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> 70-се йылдар аҙағында, Э. Нельсондың эске күмәклектәр теорияһы баҫылып сыҡҡандан һуң (һәм саҡ ҡына һуңғараҡ К. Хрбачек һәм Т. Каваиның тышҡы күмәклектәр теорияһы), стандарт булмаған анализдың урынына һәм роленә ҡараш тамырынан үҙгәрә һәм байый. Яңы асыштар күҙлегенән сығып стандарт булмаған элементтарҙы <…> теләһә ниндәй ғәҙәти математик объекттарҙың айырылмаҫ өлөшө итеп ҡарау мөмкин була башлай. Һәр күмәклек образовано стандарт һәм стандарт булмаған элементтарҙан төҙөлгән тигән күрһәтмә барлыҡҡа килә, с. viii
↑ ^5,0 ^5,1 Анализ (математика бүлеге) — Математической энциклопедии. Драгалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
↑ А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2.
↑ БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного
↑ БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке)
↑ Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56
[[#cite_ref-Дьёдонне—1981—One_may_give_many_definitions_of_«Functional_Analysis»._Its_name_might_suggest_that_it_contains_all_parts_of_mathematics_which_deal_with_functions,_but_that_would_practically_mean_all_mathematical_Analysis._We_shall_adopt_a_narrower_definition:_for_us,_it_will_be_the_study_of_topological_vector_spaces_and_of_mappings_'"`UNIQ--math-0000001F-QINU`"'_from_a_part_'"`UNIQ--math-00000020-QINU`"'_of_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000021-QINU`"'_into_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000022-QINU`"',_these_mappings_being_assumed_to_satisfy_various_algebraic_and_topological_conditions—1_11-0|↑]] Дьёдонне, 1981, One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings $u:\Omega \to F$ from a part $\Omega$ of a topological vector space $E$ into a topological vector space $F$ , these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions, p. 1
↑ Функциональный анализ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Гармонический анализ — Математической энциклопедии. Е. М. Никитин
↑ Гармонический анализ абстрактный — Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн
↑ Smale S. What is Global Anaysis? (инг.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Т. 76. — № 1. — С. 4—9. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2316777
↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат «основополагающего значения для нашей теории», с. 11
↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, с. xii
↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.

Әҙәбиәт

Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9.
Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3.

Ҡалып:Математиканың бүлектәре

[Математика—1956—§7._Современная_математика_//_А._Д._Александров—55-1] Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, с. 55

[Дьёдонне—1981—§1._Fredholm's_discovery—97-2] Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, p. 97

[Дьёдонне—1981—Chapter_V._Crucial_years_and_definition_of_Hilbert_space—97-3] Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97

[Гордон,_Кусраев,_Кутателадзе—2011—…нестандартный_анализ_рассматривали_как_довольно_тонкую_и_даже_экзотическую_логическую_технику,_предназначенную_для_обоснования_метода_актуальных_бесконечно_больших_и_бесконечно_малых_чисел_<…>_70-се_йылдар_аҙағында,_Э._Нельсондың_эске_күмәклектәр_теорияһы_баҫылып_сыҡҡандан_һуң_(һәм_саҡ_ҡына_һуңғараҡ_К._Хрбачек_һәм_Т._Каваиның_тышҡы_күмәклектәр_теорияһы),_стандарт_булмаған_анализдың_урынына_һәм_роленә_ҡараш_тамырынан_үҙгәрә_һәм_байый._Яңы_асыштар_күҙлегенән_сығып_стандарт_булмаған_элементтарҙы_<…>_теләһә_ниндәй_ғәҙәти_математик_объекттарҙың_айырылмаҫ_өлөшө_итеп_ҡарау_мөмкин_була_башлай._Һәр_күмәклек_образовано_стандарт_һәм_стандарт_булмаған_элементтарҙан_төҙөлгән_тигән_күрһәтмә_барлыҡҡа_килә—viii-4] Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> 70-се йылдар аҙағында, Э. Нельсондың эске күмәклектәр теорияһы баҫылып сыҡҡандан һуң (һәм саҡ ҡына һуңғараҡ К. Хрбачек һәм Т. Каваиның тышҡы күмәклектәр теорияһы), стандарт булмаған анализдың урынына һәм роленә ҡараш тамырынан үҙгәрә һәм байый. Яңы асыштар күҙлегенән сығып стандарт булмаған элементтарҙы <…> теләһә ниндәй ғәҙәти математик объекттарҙың айырылмаҫ өлөшө итеп ҡарау мөмкин була башлай. Һәр күмәклек образовано стандарт һәм стандарт булмаған элементтарҙан төҙөлгән тигән күрһәтмә барлыҡҡа килә, с. viii

[dragalin-5] 5,0 ^5,1 Анализ (математика бүлеге) — Математической энциклопедии. Драгалин А. Г. С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа

[6] А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2.

[БСЭ,_Математика—1978—В_результате_систематического_построения_математического_анализа_на_основе_строгой_арифметической_теории_иррациональных_чисел_и_теории_множеств_возникла_новая_отрасль_М._—_теория_функций_действительного_переменного—-7] БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного

[БСЭ,_Математика—1978—для_теории_функций_действительного_переменного_типичен_интерес_к_полному_выяснению_действительного_объёма_общих_понятий_анализа_(в_самом_начале_её_развития_Б._Больцано_и_позднее_К._Вейерштрассом_было,_например,_обнаружено,_что_непрерывная_функция_может_не_иметь_производной_ни_в_одной_точке)—-8] БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке)

[9] Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[Математика—1956—§7._Современная_математика_//_А._Д._Александров)—56-10] Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), с. 56

[Дьёдонне—1981—One_may_give_many_definitions_of_«Functional_Analysis»._Its_name_might_suggest_that_it_contains_all_parts_of_mathematics_which_deal_with_functions,_but_that_would_practically_mean_all_mathematical_Analysis._We_shall_adopt_a_narrower_definition:_for_us,_it_will_be_the_study_of_topological_vector_spaces_and_of_mappings_'"`UNIQ--math-0000001F-QINU`"'_from_a_part_'"`UNIQ--math-00000020-QINU`"'_of_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000021-QINU`"'_into_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000022-QINU`"',_these_mappings_being_assumed_to_satisfy_various_algebraic_and_topological_conditions—1-11] [[#cite_ref-Дьёдонне—1981—One_may_give_many_definitions_of_«Functional_Analysis»._Its_name_might_suggest_that_it_contains_all_parts_of_mathematics_which_deal_with_functions,_but_that_would_practically_mean_all_mathematical_Analysis._We_shall_adopt_a_narrower_definition:_for_us,_it_will_be_the_study_of_topological_vector_spaces_and_of_mappings_'"`UNIQ--math-0000001F-QINU`"'_from_a_part_'"`UNIQ--math-00000020-QINU`"'_of_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000021-QINU`"'_into_a_topological_vector_space_'"`UNIQ--math-00000022-QINU`"',_these_mappings_being_assumed_to_satisfy_various_algebraic_and_topological_conditions—1_11-0|↑]] Дьёдонне, 1981, One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings $u:\Omega \to F$ from a part $\Omega$ of a topological vector space $E$ into a topological vector space $F$ , these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions, p. 1

[12] Функциональный анализ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[13] Гармонический анализ — Математической энциклопедии. Е. М. Никитин

[14] Гармонический анализ абстрактный — Математической энциклопедии. Е. А. Горин, А. И. Штерн

[15] Smale S. What is Global Anaysis? (инг.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Т. 76. — № 1. — С. 4—9. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2316777

[Гордон,_Кусраев,_Кутателадзе—2011—А._Робинсон_опирался_на_локальную_теорему_А._И._Мальцева,_выделяя_её_как_результат_«основополагающего_значения_для_нашей_теории»—11-16] Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат «основополагающего значения для нашей теории», с. 11

[Гордон,_Кусраев,_Кутателадзе—2011——xii-17] Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, с. xii

[18] П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]