Призма (геометрия)

Википедия — ирекле энциклопедия мәғлүмәте
Перейти к навигации Перейти к поиску
Призма
Рәсем
Дуален к бипирамида[d]
Commons-logo.svg Призма Викимилектә

Ҡалып:Күпҡыр При́зма (лат. prisma бор. грек. πρίσμα «бысып алынған нимәлер» һүҙенән) — ике ҡыры параллель яҫылыҡтарҙа ятҡан конгруэнт (тигеҙ) күпмөйөштәр, ә ҡалған ҡырҙары — был күпмөйөштәр менән уртаҡ яҡтары булған параллелограммдар булған күпҡыр. Был параллелограмдар призманың эргә ҡырҙары тип аталалар, ә ҡалған ике күпмөйөш уның нигеҙҙәре тип аталалар.

Нигеҙендә ятҡан күпмөйөш призманың исемен билдәләй: өсмөйөш — өсмөйөшлө призма, дүртмөйөш — дүртмөйөшлө; бишмөйөш — бишмөйөшлө (пентапризма) һ. б. ш.

Призма цилиндрҙың дөйөм мәғәнәләге айырым осрағы булып тора (түңәрәк булмаған).

Призманың төрҙәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Нигеҙе параллелограмм булған призма параллелепипед тип атала.
Тура призма — эргә ҡабырғалары нигеҙе яҫылығына перпендикуляр булған призма, бынан бөтә эргә ҡырҙары тура дүртмөйөштәр булыуы килеп сыға[1]. Башҡа призмалар ауыш тип аталалар.
Тура тура мөйөшлө призма шулай уҡ тура мөйөшлө параллелепипед тип атала. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Төҙөк призма — ул нигеҙе төҙөк күпмөйөш булған тура призма. Төҙөк призманың эргә ҡырҙары — тигеҙ тура дүртмөйөштәр.
Эргә ҡырҙары квадраттар булған төҙөк призмалар (бейеклеге нигеҙенең яғына тигеҙ) ярым төҙөк күпҡырҙар булалар. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Киҫелгән өсмөйөшлө призма

Нигеҙҙәре төҙөк күпмөйөштәр, ҡабырғалары тигеҙ оҙонлоҡта булған тура призмалар ике сикһеҙ ярым төҙөк күпҡырҙар эҙмә-эҙлелегенең береһен төҙөй, икенсе эҙмә-эҙлелекте антипризмалар төҙөй.

Киҫелгән призма — ул нигеҙҙәре параллель булмаған призма [2].

Призманың элементтары[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Исеме Билдәләмәһе Һүрәттә тамғаланышы Чертеж
Нигеҙҙәре Бер береһенә параллель яҫылыҡтарҙа ятҡан конгруэнт күпмөйөштәр булған ике ҡыры. ,
Призма
Эргә ҡырҙары Нигеҙҙәренән башҡа бөтә ҡырҙары. Һәр эргә ҡыры параллелограмм була. , , , ,
Эргә йөҙө Эргә ҡырҙарының берекмәһе.
Тулы йөҙө Нигеҙҙәре менән эргә йөҙөнөң берекмәһе.
Эргә ҡабырғалары Эргә ҡырҙарының уртаҡ яҡтары. , , , ,
Бейеклеге Призманың нигеҙҙәре ятҡан яҫылыҡтарҙы тоташтырыусы, һәм был яҫылыҡтарға перпендикуляр булған киҫек.
Диагональ


Призманың бер ҡырында ятмаған ике түбәһен тоташтырыусы киҫек.
Диагональ яҫылығы Призманың эргә ҡыры һәм нигеҙенең диагонале аша үтеүсе яҫылыҡ.
Диагональ киҫелеше Призманың һәм диагональ яҫылыҡтың киҫелеше. Киҫелештә параллелограмм барлыҡҡа килә, шул иҫәптән уның айырым осрағы — ромб, тура мөйөш, квадрат.
Перпендикуляр (ортогональ) киҫелеш Призманың һәм уның эргә ҡабырғаһына перпендикуляр булған яҫылыҡтың киҫелеше.

Призманың үҙсәнлектәре[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  • Призманың нигеҙҙәре тигеҙ күпмөйөштәр булалар.
  • Призманың эргә ҡырҙары параллелограмдар булалар.
  • Призманың эргә ҡабырғалары параллель һәм тигеҙ.
  • Призманың күләме уның бейеклеге менән нигеҙенең майҙаны ҡабатландығына тигеҙ:
  • Нигеҙе төҙөк n-мөйөш булған призманың күләме
(бында s — күпмөйөштөң яғы оҙонлоғо).
  • Призманың тулы йөҙөнөң майҙаны уның эргә йөҙөнөң майҙаны менән икеләтелгән нигеҙенең майҙаны суммаһына тигеҙ.
  • Ирекле призманың эргә йөҙөнөң майҙаны , бында  — перпендикуляр киҫелештең периметры,  — эргә ҡабырғаһының оҙонлоғо.
  • Тура призманың эргә йөҙөнөң майҙаны , бында  — призманың нигеҙенең периметры,  — призманың бейеклеге.
  • Нигеҙе төҙөк n-мөйөш булған призманың эргә йөҙөнөң майҙаны
-ҡа тигеҙ
  • Перпендикуляр киҫелеш призманың бөтә эргә ҡабырғаларына перпендикуляры.
  • Перпендикуляр киҫелештең мөйөштәре — ярашлы ҡабырғалар янындағы ике ҡырлы мөйөштәрҙең һыҙыҡлы мөйөштәре.
  • Перпендикуляр киҫелеш бөтә эргә ҡырҙарына перпендикуляр.
  • Тура призманың икенсе төрлө күпҡыры бипирамида була.

Шлегель диаграммалары[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Triangular prismatic graph.png
Өсмөйөшлө
призма
Cubical graph.png
4-мөйөшлө
призма
Pentagonal prismatic graph.png
5-мөйөшлө
призма
Hexagonal prismatic graph.png
6-мөйөшлөя
призма
Heptagonal prismatic graph.png
7-мөйөшлө
призма
Octagonal prismatic graph.png
8-мөйөшлө
призма

Симметрия[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Төҙөк нигеҙле тура n-мөйөшлө призманың симметрия төркөмө 4n тәртибендәге Dnh төркөмө була, 48 тәртибендәге Oh[en] симметрия төркөмө, аҫтөркөм сифатында өс D4h версияһы булған кубтан башҡа. Боролош төркөмө[en] булып 2n тәртибендәге Dn төркөмө тора, аҫтөркөм сифатында өс D4 версияһы булған, 24 тәртибендәге O[en] боролош төркөмө торған кубтан башҡа.

Dnh симметрия төркөмө үҙәк симметрияны n йоп булған осраҡта һәм тик шул осраҡта ғына үҙ эсенә ала.

Призматик күпҡырҙар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Призматик күпҡыр — 4 һәм унан юғары үлсәмле арауыҡта призманы дөйөмләштереү ул. n-үлсәмле призматик күпҡыр артабанғы үлсәмгә күсерелгән ике (n − 1)-үлсәмле күпҡырҙарҙан төҙөлә. Призматик n-үлсәмле күпҡырҙың элементтары (n − 1)-үлсәмле күпҡырҙың элементтарынан икеләтелә, аҙаҡ артабанғы кимәлдәге яңы элементтар булдырыла.

элементтары (i-үлсәмле ҡыры, i = 0, …, n) булған n-үлсәмле күпҡыр алайыҡ. Призматик ()-үлсәмле күпҡырҙың i үлсәмле (, булғанда) элементы була.

Үлсәм буйынса:

  • n түбәһе һәм n яғы булған күпмөйөш алайыҡ. 2n түбәле, 3n ҡабырғалы һәм ҡырлы призма табабыҙ.
  • v түбәһе, e ҡабырғаһы һәм f ҡыры булған күпҡыр алайыҡ. 2v түбәһе, ҡабырғаһы, ҡыры һәм ячейкаһы булған (4-үлсәмле) призма табабыҙ.
  • v түбәһе, e ҡабырғаһы, f ҡыры һәм c ячейкаһы булған 4-үлсәмле күпҡыр алайыҡ. 2v түбәле, ҡабырғаһы, (2-үлсәмле) ҡыры, ячейкаһы һәм гиперячейкаһы булған (5-үлсәмле) призма табабыҙ.

Бер төрҙәге призматик күпҡырҙар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Шлефли символы {p, q, ..., t} менән күрһәтелгән төҙөк n-ҡыр, ике: {p, q, ..., t}×{} Шлефли символының тура ҡабатландығы менән күрһәтелгән бер төрҙәге (n + 1) үлсәмле призматик күпҡыр барлыҡҡа килтерергә мөмкин.

Үлсәм буйынса:

  • 0-үлсәмле күпҡырҙан призма — ул буш Шлефли символы {} менән күрһәтелгән киҫек.
    • Complete graph K2.svg
  • 1-үлсәмле күпҡырҙан призма — ул ике киҫектән алынған тура дүртмөйөш. Был призма {}×{} Шлефли символдарының ҡабатландығы һымаҡ күрһәтелә. Әгәр призма квадрат булһа, яҙыуҙы ҡыҫҡартырға мөмкин: {}×{} = {4}.
    • Square diagonals.svgМиҫал: Квадрат, {}×{}, башҡа ике киҫек, яҡтары менән тоташтырылған ике параллель киҫек.
  • Күпмөйөшлө призма — ул тура дүртмөйөштәр менән бәйләнгән ике күпмөйөштән (береһе икенсеһен параллель күсереп табылған) алынған 3-үлсәмле призма. {p} төҙөк күпмөйөштән {p}×{} ҡабатландығы менән күрһәтелгән бер төрҙәге n-мөйөшлө призма алырға мөмкин. Әгәр p = 4 булһа, призма куб була: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-үлсәмле призма, 3-үлсәмле призматик ячейкалар менән бәйләнгән ике күпмөйөштән (береһе икенсеһен параллель күсереп табылған) алынған. {p, q} төҙөк күпмөйөштән {p, q}×{} ҡабатландығы менән күрһәтелгән бер төрҙәге 4-үлсәмле призма алырға мөмкин. Әгәр күпҡыр куб һәм призманың яҡтары ла кубтар булһа, призма тессеракт-ҡа әйләнә: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

Юғарыраҡ үлсәмле призматик күпҡырҙар шулай уҡ ике теләһә ниндәй күпҡырҙың тура ҡабатландыҡтары булараҡ бар. Призматик күпҡырҙың үлсәме ҡабатландыҡ элементтарының үлсәмдәре ҡабатландығына тигеҙ. Бындай ҡабатландыҡтың беренсе миҫалы 4-үлсәмле арауыҡта бар һәм дуопризмалар тип аталалар, улар ике күпмөйөштө ҡабатлап табылалар. Төҙөк дуопризмалар {p}×{q} символы менән күрһәтеләләр.

Ҡалып:Төҙөк призмалар

Ишелгән призма[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ишелгән призма — бер төрҙәге q-мөйөшлө призманан эргә ҡырҙарын диагонале менән бүлеү һәм өҫкө нигеҙен ғәҙәттә радианға ( градусҡа), яҡтары уйынҡы булырлыҡ йүнәлештә ишеүҙән килеп сыҡҡан ҡабарынҡы булмаған призматик күпҡыр ул[3][4].

Ишелгән призманы яңы түбәләр индермәйенсә тетраэдрҙарға бүлеп булмай. Иң бәләкәй осраҡ Шёнхардт күпҡыры тип атала.

Ишелгән призма антипризмаға топологик оҡшаш, ләкин симметрияларҙың яртыһына ғына эйә: 2n тәртибендәге Dn, [n,2]+. Был призманы, өсмөйөштәр парҙары араһындағы тетраэдрҙары алынған ҡабарынҡы антипризма тип ҡарарға була.

Өсмөйөшлө Дүртмөйөшлө 12-мөйөшлө
Schönhardt polyhedron.svg
Шёнхардт күпҡыры
SquareAntiprism.png
Ишелгән квадрат призма
Square antiprism.png
Квадрат антипризма
Twisted dodecagonal antiprism.png
Ишелгән ун ике мөйөшлө призма

Ҡушылмалы күпҡырҙар һәм мозаикалар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Ҡалып:Төҙөк призмалар

Ҡалып:Купола

Симметриялар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Призмалар топологик рәүештә бер төрҙәге конфигурациялы түбәле киҫелгән күпҡырҙар эҙмә-эҙлелегенең бер өлөшө булып торалар (3.2n.2n) һәм [n,3]. Ҡалып:Таблица-1 усечённых фигур

Призмалар топологик рәүештә ҡыйшайған түбәле фигуралы күпҡырҙар һәм гиперболик яҫылыҡта мозаикалар эҙмә-эҙлелегенең бер өлөшө булып торалар (3.4.n.4). Был фигураларҙың көҙгөләгесә симметрияһы бар (*n32).

Ҡалып:Киңәйтелгән мозаикаларҙың бәләкәй таблицаһы

Көпҡырҙарҙы тоташтырыу[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Өсмөйөшлө призмаларҙы 4 бер төрҙәге тоташтырыу бар:

дүрт өсмөйөшлө призманы тоташтырыу[en], һигеҙ өсмөйөшлө призманы тоташтырыу[en], ун өсмөйөшлө призманы тоташтырыу[en], ун ике өсмөйөшлө призманы тоташтырыу[en].

Кәрәҙҙәр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Өсмөйөшлө призма рәүешендәге күҙәнәктәре булған бер төрҙәге 9 кәрәҙ бар:

Ҡушылмалы күпҡырҙар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Өсмөйөшлө призма ярымтөҙөк күпҡырҙар[en] рәтендә беренсе күпҡыр булып тора. Һәр артабанғы бер төрҙәге күпҡырҙың[en] юғарылағы фигураһы сифатында алда килгән күпҡыр тора. Торольд Госсет[en] 1900 йылда төҙөк күп үлсәмле күпҡырҙарҙың бөтә фасеталарын, бөтә симплекстарын һәм ортоплекстарын (өсмөйөшлө призма осрағында төҙөк өсмөйөштәрен һәм квадраттарын) үҙ эсенә алған был серияны берҙәй тип таный. Коксетер нотацияһында өсмөйөшлө призма −121 символы менән бирелә. Ҡалып:Многогранники K 21

Дүрт үлсәмле арауыҡ[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Өсмөйөшлө призма, түбәндәгеләрҙе лә индереп, дүрт үлсәмле бер төрҙәге 4-үлсәмле күпҡырҙар[en] күмәклегендә ячейка булып хеҙмәт итә:

тетраэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
октаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
кубооктаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
икосаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
икосододекаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
киҫелгән додекаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
Tetrahedral prism.png Octahedral prism.png Cuboctahedral prism.png Icosahedral prism.png Icosidodecahedral prism.png Truncated dodecahedral prism.png
ромбоикоси-
додекаэдральная призма
[en]
Ҡалып:CDD
ромбокуб-
октаэдраль призма
[en]
Ҡалып:CDD
киҫелгән кубик призма[en]
Ҡалып:CDD
яҫы танаулы додекаэдраль призма[en]
Ҡалып:CDD
n-мөйөшлө антипризматик призма[en]
Ҡалып:CDD
Rhombicosidodecahedral prism.png Rhombicuboctahedral prism.png Truncated cubic prism.png Snub dodecahedral prism.png Square antiprismatic prism.png
ҡыйшайтылған 5-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған-киҫелгән 5-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
йышылған 5-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
йышылған-киҫелгән 5-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған тессеракт[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған-киҫелгән тессеракт[en]
Ҡалып:CDD
йышылған тессеракт[en]
Ҡалып:CDD
йышылған-киҫелгән тессеракт[en]
Ҡалып:CDD
4-simplex t02.svg 4-simplex t012.svg 4-simplex t03.svg 4-simplex t013.svg 4-cube t02.svg 4-cube t012.svg 4-cube t03.svg 4-cube t013.svg
ҡыйшайтылған 24-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған-киҫелгән 24-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
йышылған 24-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
струг-киҫелгән 24-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған 120-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
ҡыйшайтылған-киҫелгән 120-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
йышылған 120-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
йышылған-киҫелгән 120-ячейкалыҡ[en]
Ҡалып:CDD
24-cell t02 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t013 H3.png

Шулай уҡ ҡарағыҙ[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Иҫкәрмәләр[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

Әҙәбиәт[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

  • William F. Kern, James R. Bland Solid Mensuration with proofs — 1938.
  • Catherine A. Gorini The facts on file: Geometry handbook — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file).
  • Anthony Pugh Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Һылтанмалар[үҙгәртергә | вики-тексты үҙгәртергә]

 день))

Ҡалып:Многогранники